自動控制原理及應用課件(第四章)

1、第第4章章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法本章小結本章小結4.4 應用實例應用實例4.3 利用根軌跡法分析控制系統(tǒng)的性能利用根軌跡法分析控制系統(tǒng)的性能4.2 根軌跡繪制的基本規(guī)則根軌跡繪制的基本規(guī)則4.1 根軌跡的基本概根軌跡的基本概念念教學目標：教學目標：v理解根軌跡的概念，掌握繪制根軌跡的基本法理解根軌跡的概念，掌握繪制根軌跡的基本法則則; v熟悉利用閉環(huán)主導極點法分析系統(tǒng)的性能熟悉利用閉環(huán)主導極點法分析系統(tǒng)的性能;v理解開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響。理解開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響。4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 1948年，伊萬斯首次提出了根軌跡分析法年，伊

2、萬斯首次提出了根軌跡分析法直接由直接由開環(huán)傳遞函數求取閉環(huán)特征根的圖解法。根軌跡法簡單、實開環(huán)傳遞函數求取閉環(huán)特征根的圖解法。根軌跡法簡單、實用，已成為經典控制理論的基本分析方法之一，在工程實踐用，已成為經典控制理論的基本分析方法之一，在工程實踐中也獲得了廣泛的應用。中也獲得了廣泛的應用。 根軌跡是指當系統(tǒng)中某個參數從零變到無窮大時，系統(tǒng)根軌跡是指當系統(tǒng)中某個參數從零變到無窮大時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在平面上變化的軌跡。閉環(huán)特征根在平面上變化的軌跡。這里所說的某個參數，通這里所說的某個參數，通常是指與開環(huán)傳遞系數常是指與開環(huán)傳遞系數 成比例的成比例的 而言，而言， 稱為根軌跡稱為根軌跡增益。除增益。

3、除 外，有時也可為其它可變的參數。外，有時也可為其它可變的參數。 KgKgKgK4.1.1 根軌跡的概念根軌跡的概念 一個二階系統(tǒng)的結構如圖一個二階系統(tǒng)的結構如圖4-1所示，其開所示，其開環(huán)傳遞函數為：環(huán)傳遞函數為：式中，式中， 為開環(huán)增益。為開環(huán)增益。 系統(tǒng)開環(huán)極點有兩個，分別為系統(tǒng)開環(huán)極點有兩個，分別為p1=0，p2=-1。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為 于是，特征方程式為于是，特征方程式為 特征根為特征根為 ) 1()(ssKsGK2( )(1)KKss sKssK02KssKs4121212, 1圖4-1 二階系統(tǒng)方框圖 當從零變化到無窮大時，將當從零變化到無窮大時，將 的

4、數值分別列出，如表的數值分別列出，如表4-1所示。將這些數值標注在所示。將這些數值標注在 上，用光滑的粗實線連接起上，用光滑的粗實線連接起來，即為系統(tǒng)的根軌跡，如圖來，即為系統(tǒng)的根軌跡，如圖4-2所示。根軌跡上箭頭表示所示。根軌跡上箭頭表示隨著隨著 值的增加，根軌跡的變化趨勢，而標出的數值則代表值的增加，根軌跡的變化趨勢，而標出的數值則代表與閉環(huán)極點位置相對應的開環(huán)增益與閉環(huán)極點位置相對應的開環(huán)增益 。 2, 1sKsK圖圖4-2系統(tǒng)根軌跡圖系統(tǒng)根軌跡圖 根軌跡圖直觀反映了參數根軌跡圖直觀反映了參數K與閉環(huán)特征根的分布關系，由與閉環(huán)特征根的分布關系，由圖圖4-2可得如下分析結果：可得如下分析結

5、果： 1）當開環(huán)增益從零變到無窮大時，根軌跡不會越過虛軸進）當開環(huán)增益從零變到無窮大時，根軌跡不會越過虛軸進入右半入右半 s平面，因此，系統(tǒng)對所有大于平面，因此，系統(tǒng)對所有大于K零的值是穩(wěn)定的。零的值是穩(wěn)定的。 2）當）當 ，閉環(huán)特征根為兩個不相等的負實數根，閉環(huán)特征根為兩個不相等的負實數根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應無超調，具有單調非周期性；系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應無超調，具有單調非周期性；當當 ，閉環(huán)特征根為兩個相等的負實根，系統(tǒng)呈臨界阻尼，閉環(huán)特征根為兩個相等的負實根，系統(tǒng)呈臨界阻尼狀態(tài)，其階躍響應仍為單調非周期性過程；當狀態(tài)，其階躍響應仍為單調非周期性過程；當 ，閉環(huán)，閉環(huán)特征根為一

6、對共軛復根，其實部恒等于特征根為一對共軛復根，其實部恒等于 ，系統(tǒng)呈欠阻尼狀，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，階躍響應具有振蕩衰減特性。態(tài)，階躍響應具有振蕩衰減特性。 25. 00 K25. 0K K15. 05 . 0 3）系統(tǒng)為）系統(tǒng)為型系統(tǒng)，故根軌跡上的型系統(tǒng)，故根軌跡上的K值是靜態(tài)速度誤值是靜態(tài)速度誤差系數。這樣，如果給定穩(wěn)態(tài)誤差，則由根軌跡可確定閉環(huán)差系數。這樣，如果給定穩(wěn)態(tài)誤差，則由根軌跡可確定閉環(huán)極點容許的范圍。極點容許的范圍。 以上分析表明，以上分析表明，根軌跡和系統(tǒng)的性能之間有著密切的根軌跡和系統(tǒng)的性能之間有著密切的關系。關系。然而，對于高階系統(tǒng)，用解析法逐點繪制系統(tǒng)的根軌然而，對于高階系

7、統(tǒng)，用解析法逐點繪制系統(tǒng)的根軌跡圖是不現實的。根軌跡法是根據反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數和跡圖是不現實的。根軌跡法是根據反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數和閉環(huán)傳遞函數之間的關系，由開環(huán)傳遞函數直接繪制閉環(huán)根閉環(huán)傳遞函數之間的關系，由開環(huán)傳遞函數直接繪制閉環(huán)根軌跡的總體規(guī)律的圖解分析法。軌跡的總體規(guī)律的圖解分析法。 設控制系統(tǒng)的一般結構圖如圖設控制系統(tǒng)的一般結構圖如圖4-3所示，其閉環(huán)傳遞函數為所示，其閉環(huán)傳遞函數為式中，式中， 為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。數。 開環(huán)傳遞函數可表示為開環(huán)傳遞函數可表示為( )( )1( )( )G ssG s H s)()(sHsG1n1(1)( )( )(1)mjji

8、iKsG s H ssTs圖圖4-3 控制系統(tǒng)的一般結構圖控制系統(tǒng)的一般結構圖4.1.1 根軌跡的根軌跡的方程方程 將其轉換為零極點形式為將其轉換為零極點形式為式中，式中，zj為開環(huán)傳遞函數的零點，為開環(huán)傳遞函數的零點，pi為開環(huán)傳遞函數的極點，為開環(huán)傳遞函數的極點，Kg為根軌跡增益，與開環(huán)增益為根軌跡增益，與開環(huán)增益K成正比，即有成正比，即有 （4-1）式稱為開環(huán)傳遞函數的零極點表達式。）式稱為開環(huán)傳遞函數的零極點表達式。 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 11()( )( )()()mgjjniiKszG s H smnsp(4-1)11mjjgniiKKT(4-2)0)()(1sHs

9、G(4-3) 由（由（4-3）式可知，滿足開環(huán)傳遞函數）式可知，滿足開環(huán)傳遞函數 的的s即即是閉環(huán)特征根是閉環(huán)特征根 。將（。將（4-1）式代入（）式代入（4-3）式，可得）式，可得 稱（稱（4-4）式為）式為根軌跡方程根軌跡方程。由于。由于s為復變量，因此根軌跡方為復變量，因此根軌跡方程又分解如下兩個方程描述：程又分解如下兩個方程描述：其中，（其中，（4-5）式稱為）式稱為幅值條件幅值條件，（，（4-6）式稱為）式稱為相角條件相角條件。( )( )1Gs Hs 11()1()mgjjniiKszsp (4-4)111mjjngiiszKsp) 12()()(11kpszsniimjj(4-5

10、)(4-6), 0k, 1, 2 4.2 根軌跡繪制的基本規(guī)則 1.根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點 根軌跡根軌跡起點是指根軌跡增益起點是指根軌跡增益 的根軌跡點的根軌跡點，當，當 時，時，（4-5）式的等號右邊為）式的等號右邊為，左邊僅當，左邊僅當 時為時為，因此根，因此根軌跡起始于開環(huán)極點。而終點則是指軌跡起始于開環(huán)極點。而終點則是指 的根軌跡點，當的根軌跡點，當 時，（時，（4-5）式的等號右邊為）式的等號右邊為0，左邊僅當，左邊僅當 時為時為0，因此，因此根軌跡終止于開環(huán)零點根軌跡終止于開環(huán)零點。 2. 根軌跡的分支數根軌跡的分支數 當當 變化時，由起點移至終點的一條根軌跡稱為一個

11、變化時，由起點移至終點的一條根軌跡稱為一個分支。分支。根軌跡的分支數等于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的極點數根軌跡的分支數等于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的極點數n（nm時），也等于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的階次時），也等于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的階次。 gKjjsz0gK0gKiispgK4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則 gK 3. 根軌跡的連續(xù)性和對稱性根軌跡的連續(xù)性和對稱性 根軌跡的各條分支是連續(xù)的。這是因為當根軌跡的各條分支是連續(xù)的。這是因為當 連續(xù)變化時，連續(xù)變化時，閉環(huán)特征方程的系數是連續(xù)變化的，故其根的變化也是連續(xù)的，閉環(huán)特征方程的系數是連續(xù)變化的，故其根的變化也是連續(xù)的，即根軌跡具有連續(xù)性。另外閉環(huán)

12、特征方程的根只有實根和成對即根軌跡具有連續(xù)性。另外閉環(huán)特征方程的根只有實根和成對出現的共軛復根兩種，因此出現的共軛復根兩種，因此根軌跡必然對稱于實軸根軌跡必然對稱于實軸。 4.實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡 在實軸上任取一點，若其右邊的開環(huán)實數零、極點個數之在實軸上任取一點，若其右邊的開環(huán)實數零、極點個數之和為奇數，則該該點所在的區(qū)間必為實軸上的根軌跡。這一結和為奇數，則該該點所在的區(qū)間必為實軸上的根軌跡。這一結論可由相位條件加以證明。依據該規(guī)則，可以方便地確定論可由相位條件加以證明。依據該規(guī)則，可以方便地確定s平面平面的實軸上的根軌跡。的實軸上的根軌跡。 gK 5.根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線

13、 系統(tǒng)的開環(huán)極點數系統(tǒng)的開環(huán)極點數n大于零點數大于零點數m時，有時，有 條根軌跡分條根軌跡分支趨近于支趨近于s平面的無窮遠處，平面的無窮遠處，故需要確定這些根軌跡是按什么走故需要確定這些根軌跡是按什么走向趨于無窮遠的，而這取決于根軌跡的漸近線傾角和漸近線與向趨于無窮遠的，而這取決于根軌跡的漸近線傾角和漸近線與實軸的交點。實軸的交點。 漸近線的傾角是指根軌跡的漸近線與實軸正方向的夾角，漸近線的傾角是指根軌跡的漸近線與實軸正方向的夾角，用用 表示表示 漸近線與實軸的交點，用漸近線與實軸的交點，用 表示表示 mn a1, 1 , 0,) 12(mnkmnkaamnzpnimjjia11(4-7)(4

14、-8) 【例例4-1】 單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為試繪制根軌跡的漸近線。試繪制根軌跡的漸近線。 解：系統(tǒng)開環(huán)極點為：解：系統(tǒng)開環(huán)極點為：p1=0，p2=-4，p3,4=-1j1，開環(huán)零點為：，開環(huán)零點為：z1=-1。n=4，m=1，n-m=3，應有，應有3條漸近線，條漸近線，有有3條根軌跡趨于無窮遠處。條根軌跡趨于無窮遠處。 漸近線與實軸的交點及夾角分別為漸近線與實軸的交點及夾角分別為 )22)(4() 1()(2sssssKsGg(0411 11)( 1)5413ajj 03(21)14113akkkk 圖圖4-4 【例例4-1】根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線 圖圖4

15、-5 根軌跡的分離點根軌跡的分離點 6.根軌跡上的分離點根軌跡上的分離點 兩條或兩條以上根軌跡分支在兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點，平面上相遇又立即分開的點，a叫叫做根軌跡的分離點或會合點，分離做根軌跡的分離點或會合點，分離點用點用d表示。大部分的分離點與會表示。大部分的分離點與會合點出現在實軸上，并將根軌跡離合點出現在實軸上，并將根軌跡離開實軸進入開實軸進入s平面的點稱為分離點；平面的點稱為分離點；根軌跡離開根軌跡離開s平面進入實軸的點稱平面進入實軸的點稱為會合點。為會合點。 一般情況下，如果根軌跡在兩相鄰開環(huán)極點或兩相鄰開一般情況下，如果根軌跡在兩相鄰開環(huán)極點或兩相鄰

16、開環(huán)零點（其中一個可能為無窮遠處零點）之間，則在此相鄰環(huán)零點（其中一個可能為無窮遠處零點）之間，則在此相鄰極點或相鄰零點之間至少存在一個分離點或會合點。極點或相鄰零點之間至少存在一個分離點或會合點。 根軌跡的分離點或會合點實質上是閉環(huán)特征方程取得重根軌跡的分離點或會合點實質上是閉環(huán)特征方程取得重根的點根的點，可以此作為計算分離點的依據。分離點，可以此作為計算分離點的依據。分離點d的坐標可的坐標可由公式（由公式（4-9）求得）求得 mjniijpdzd1111(4-9) 【例例4-2】 已知系統(tǒng)的結構如圖已知系統(tǒng)的結構如圖4-6所示。試求系統(tǒng)根軌跡所示。試求系統(tǒng)根軌跡的分離點，并繪制系統(tǒng)的根軌跡

17、。的分離點，并繪制系統(tǒng)的根軌跡。 (2)( )(1)(4)K sG ss ssKKg0 , 12, 4 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為零極點表達式，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為零極點表達式，則有則有 。 系統(tǒng)開環(huán)極點為：系統(tǒng)開環(huán)極點為：p1=0，p2=-1，p3=-4；開環(huán)零點為：；開環(huán)零點為：z1=-2。n=3，m=1，n-m=2，應有，應有3條根軌跡，條根軌跡，2條漸條漸近線，近線，2條根軌跡趨于無窮遠處。條根軌跡趨于無窮遠處。 根據規(guī)則根據規(guī)則4，實軸上的區(qū)間，實軸上的區(qū)間 和和 是根軌跡。是根軌跡。 圖圖4-6 【例例4-2】系統(tǒng)結構圖系統(tǒng)結構圖 根據規(guī)則根

18、據規(guī)則5，根軌跡的漸近線與實軸的交點和夾角為，根軌跡的漸近線與實軸的交點和夾角為根據規(guī)則根據規(guī)則6，分離點坐標為，分離點坐標為整理得整理得解得解得 ， ， 。(014)( 2)3312a (21)(0,1)3 12akk 2141111dddd0)24)(4(2ddd41d4 . 32d6 . 03d 兩個極點之間必有分離點，因兩個極點之間必有分離點，因此分離點位于實軸此分離點位于實軸 之間之間,故分故分離點為離點為 。6 .03d 1,0圖4-7 【例4-2】系統(tǒng)的根軌跡 7.根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角 根軌跡的出射角是指起始于開環(huán)復數極點的根軌跡在起點根軌跡的出射角是指起

19、始于開環(huán)復數極點的根軌跡在起點處的切線與正實軸的夾角。根軌跡的入射角是指終止于開環(huán)復處的切線與正實軸的夾角。根軌跡的入射角是指終止于開環(huán)復數零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸的夾角。它們分別描數零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸的夾角。它們分別描述了根軌跡以什么姿態(tài)離開極點和以什么姿態(tài)進入零點。述了根軌跡以什么姿態(tài)離開極點和以什么姿態(tài)進入零點。 設根軌跡離開某開環(huán)復數極點設根軌跡離開某開環(huán)復數極點 時的出射角為時的出射角為 ，根軌，根軌跡進入某開環(huán)復數零點跡進入某開環(huán)復數零點 時的入射角為時的入射角為 ，則這兩個角度可則這兩個角度可按如下關系式求出：按如下關系式求出：ipkpjzkz11()(

20、)kmnpkjkijii kpzpp 11()()knmzkikjijj kzpzz (4-10)(4-11) 【例例4-3】 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數零、極點分布如圖設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數零、極點分布如圖4-8所所示，確定根軌跡離開共軛極點示，確定根軌跡離開共軛極點 、 的出射角。的出射角。 10.51.5pj 1p79)()(1804313211p2p79圖4-8 【例4-3】開環(huán)零、極點分布圖 根據根軌跡的對稱性，根軌跡根據根軌跡的對稱性，根軌跡離開離開 的出射角為的出射角為 。 解：作各開環(huán)零、極點到復數極解：作各開環(huán)零、極點到復數極點向量點向量 ，并測出相應角度，并測出相應角度，如圖如圖4-8

21、所示。按式（所示。按式（4-10）計算根）計算根軌跡在極點軌跡在極點 的出射角為的出射角為1p2p 8.根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點 若若根軌跡與虛軸相交根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)特征方程出現純虛根，則表示閉環(huán)特征方程出現純虛根，其交點對應于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)其交點對應于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時有必要求出根軌跡。這時有必要求出根軌跡與虛軸的交點及與虛軸的交點及 的值。的值。 設與虛軸相交的閉環(huán)極點為設與虛軸相交的閉環(huán)極點為 ，代入閉環(huán)特征方程，代入閉環(huán)特征方程，則有則有令（令（4-12）方程的實部和虛部分別為零，有）方程的實部和虛部分別為零，有 解方程組便可求出根軌跡與虛軸交點的

22、坐標解方程組便可求出根軌跡與虛軸交點的坐標及其相應的及其相應的 值。值。gKjs 0)()(1jHjG0)()(1RejHjG0)()(1ImjHjGgK(4-12)(4-13)(4-14) 9.根之和根之和 當當 時，時， 系統(tǒng)系統(tǒng)n個開環(huán)極點之和等于個開環(huán)極點之和等于n個閉環(huán)極個閉環(huán)極點之和，即點之和，即式中，式中， 閉環(huán)極點。閉環(huán)極點。 上式表明，對于一個給定系統(tǒng)，開環(huán)極點之和為一常數，上式表明，對于一個給定系統(tǒng)，開環(huán)極點之和為一常數，故其閉環(huán)極點也將為一常數，即滿足故其閉環(huán)極點也將為一常數，即滿足 的反饋系統(tǒng)，的反饋系統(tǒng)，當當 變化使閉環(huán)某些極點在變化使閉環(huán)某些極點在s平面上向左移動，

23、則必有另一些平面上向左移動，則必有另一些閉環(huán)極點在閉環(huán)極點在s平面上向右移動，以保持極點和為常數，使根軌平面上向右移動，以保持極點和為常數，使根軌跡的重心不變。跡的重心不變。 2 mn11nniiiipsis2 mngK(4-15) 【例例4-4】 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試繪制系統(tǒng)的根軌跡。試繪制系統(tǒng)的根軌跡。 解：開環(huán)傳遞函數為零極點表達式，則有解：開環(huán)傳遞函數為零極點表達式，則有 。繪制。繪制根軌跡的步驟如下：根軌跡的步驟如下： （1）系統(tǒng)開環(huán)極點為：系統(tǒng)開環(huán)極點為：p1=0，p2=-1，p3=-2；開環(huán)無零點。；開環(huán)無零點。n=3，m=0，n-m=3，因此，因此

24、3條根軌跡都趨向于無窮遠處。條根軌跡都趨向于無窮遠處。 （2）確定實軸上的根軌跡：實軸上）確定實軸上的根軌跡：實軸上 和和 的區(qū)間的區(qū)間必為根軌跡。必為根軌跡。 )2)(1()()(sssKsHsGKKg0 , 12,（4）確定分離點確定分離點d：由于實軸：由于實軸-1和和0兩個開環(huán)極點之間存在根兩個開環(huán)極點之間存在根軌跡，故必有分離點，根據規(guī)則軌跡，故必有分離點，根據規(guī)則6，可求得分離點，可求得分離點d=-0.42。 03(21)1323akkkk（3）確定根軌跡的漸近線：由于）確定根軌跡的漸近線：由于 ，故有，故有3條漸條漸近線。漸近線與實軸的交點及夾角分別為近線。漸近線與實軸的交點及夾角

25、分別為3 mn（5）確定根軌跡與虛軸的交點：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為）確定根軌跡與虛軸的交點：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令令 ，代入特征方程式得，代入特征方程式得化為實部和虛部，并分別令其等于化為實部和虛部，并分別令其等于0，則有，則有 解得解得 和和 ，相應，相應 的和的和 6。其中，。其中， 不不屬于所討論的根軌跡與虛軸的交點。當屬于所討論的根軌跡與虛軸的交點。當 時，根軌時，根軌跡與虛軸相交，其交點坐標為跡與虛軸相交，其交點坐標為 。 為根軌跡的為根軌跡的臨界增益，當臨界增益，當Kg6時，系統(tǒng)將有兩個閉環(huán)極點分布在時，系統(tǒng)將有兩個閉環(huán)極點分布在s平面的右半部，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。平面的右半部，此時系統(tǒng)不穩(wěn)

26、定。 02323gKsssjs 0)(2)(3)(23gKjjj233020gK020gK0gK6gK2j6gK圖圖4-9 【例例4-4】系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡 系統(tǒng)根軌跡反映了閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）隨根軌跡增系統(tǒng)根軌跡反映了閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）隨根軌跡增益益 的變化規(guī)律，而系統(tǒng)的閉環(huán)極點與系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)的變化規(guī)律，而系統(tǒng)的閉環(huán)極點與系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能有密切的關系。因此，利用系統(tǒng)根軌跡可直觀、方便地性能有密切的關系。因此，利用系統(tǒng)根軌跡可直觀、方便地分析系統(tǒng)性能。分析系統(tǒng)性能。 根軌跡分析法是一種圖解的方法，與時域分析法相比，根軌跡分析法是一種圖解的方法，與時域分析法相比，避免了繁

27、瑣的數學運算，更重要的是適合于高階系統(tǒng)的分析。避免了繁瑣的數學運算，更重要的是適合于高階系統(tǒng)的分析。 4.3 利用根軌跡法分析控制系統(tǒng)利用根軌跡法分析控制系統(tǒng)gK 系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點在系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點在s平面上如何分平面上如何分布?，F將系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點的位置與系統(tǒng)動態(tài)響應的定性布?，F將系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點的位置與系統(tǒng)動態(tài)響應的定性關系歸納如下：關系歸納如下： （1）若所有閉環(huán)極點位于）若所有閉環(huán)極點位于s平面的左半平面，則系統(tǒng)的動平面的左半平面，則系統(tǒng)的動態(tài)響應收斂，系統(tǒng)必定穩(wěn)定。態(tài)響應收斂，系統(tǒng)必定穩(wěn)定。 （2）若要提高系統(tǒng)快速性，閉環(huán)極點應遠離虛軸。）若要

28、提高系統(tǒng)快速性，閉環(huán)極點應遠離虛軸。 （3）若要減小系統(tǒng)超調量，閉環(huán)極點應靠近實軸，共軛復）若要減小系統(tǒng)超調量，閉環(huán)極點應靠近實軸，共軛復數極點應設置在數極點應設置在s平面上與負實軸成平面上與負實軸成45夾角線（稱為最佳夾角線（稱為最佳阻尼線）的附近。阻尼線）的附近。 4.3.1 閉環(huán)零、極點分布與動態(tài)響應的關系閉環(huán)零、極點分布與動態(tài)響應的關系 例如二階系統(tǒng)在欠阻尼（例如二階系統(tǒng)在欠阻尼（01）情況下，閉環(huán)極點）情況下，閉環(huán)極點為一對實部為負共軛復數極點，即為一對實部為負共軛復數極點，即 復數極點的參數與系統(tǒng)階躍響應及性能指標的關系為復數極點的參數與系統(tǒng)階躍響應及性能指標的關系為式中，式中，

29、， 21,21nnsj 2e( )1sin()1ntdc tt 21dncosarc21%e100%3snt 可以看出，閉環(huán)極點與負實軸的夾角（可以看出，閉環(huán)極點與負實軸的夾角（）反映了系統(tǒng)的）反映了系統(tǒng)的超調量，當閉環(huán)復數極點靠近超調量，當閉環(huán)復數極點靠近=45夾角線時，可使得夾角線時，可使得0.707（最佳阻尼比），從而保證系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速（最佳阻尼比），從而保證系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性。閉環(huán)極點的實部（性。閉環(huán)極點的實部（-n）反映了系統(tǒng)的調整時間，提高）反映了系統(tǒng)的調整時間，提高系統(tǒng)響應的快速性，即減小調節(jié)，應增大系統(tǒng)響應的快速性，即減小調節(jié)，應增大n，也就是閉環(huán)，也就是閉環(huán)極點極點s1

30、,2應遠離虛軸。應遠離虛軸。 （4）主導極點對系統(tǒng)動態(tài)性能起決定性作用。）主導極點對系統(tǒng)動態(tài)性能起決定性作用。 在閉環(huán)極點中離虛軸最近且附近沒有零點的閉環(huán)極點稱為在閉環(huán)極點中離虛軸最近且附近沒有零點的閉環(huán)極點稱為閉環(huán)主導極點。閉環(huán)主導極點對系統(tǒng)性能影響最大，對系統(tǒng)性閉環(huán)主導極點。閉環(huán)主導極點對系統(tǒng)性能影響最大，對系統(tǒng)性能起著主導作用。通常，其他極點離虛軸的距離比主導極點離能起著主導作用。通常，其他極點離虛軸的距離比主導極點離虛軸的距離大虛軸的距離大5倍以上，而且附近也無閉環(huán)零點，是構成閉環(huán)主倍以上，而且附近也無閉環(huán)零點，是構成閉環(huán)主導極點的條件。導極點的條件。 （5）閉環(huán)零點可以消弱或抵消其附

31、近閉環(huán)極點的作用。）閉環(huán)零點可以消弱或抵消其附近閉環(huán)極點的作用。 當一對閉環(huán)零、極點相距的很近，它們便稱為一對偶極子。當一對閉環(huán)零、極點相距的很近，它們便稱為一對偶極子。一般情況下，偶極子對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響可以忽略。但是，一般情況下，偶極子對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響可以忽略。但是，當偶極子的位置十分接近坐標原點時，其影響往往需要考慮，當偶極子的位置十分接近坐標原點時，其影響往往需要考慮，但這并不影響主導極點的地位。但這并不影響主導極點的地位。 采用主導極點法時，在全部閉環(huán)極點中，選擇最靠近虛采用主導極點法時，在全部閉環(huán)極點中，選擇最靠近虛軸又不十分接近閉環(huán)零點的閉環(huán)極點作為閉環(huán)主導極點，略軸又不十

32、分接近閉環(huán)零點的閉環(huán)極點作為閉環(huán)主導極點，略去不十分接近坐標原點的偶極子，以及比主導極點距虛軸遠去不十分接近坐標原點的偶極子，以及比主導極點距虛軸遠倍以上的閉環(huán)零、極點。這樣，大多數的高階系統(tǒng)都可簡化倍以上的閉環(huán)零、極點。這樣，大多數的高階系統(tǒng)都可簡化成為低階系統(tǒng)進行分析。成為低階系統(tǒng)進行分析。4.3.2 利用主導極點法分析系統(tǒng)性能利用主導極點法分析系統(tǒng)性能 【例例4-5】 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若主導極點具有阻尼比試用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若主導極點具有阻尼比 ，求，求系統(tǒng)的性能指標。系統(tǒng)的性能指標。 解：（解：

33、（1）繪制根軌跡。繪制步驟見例）繪制根軌跡。繪制步驟見例4-4，根軌跡如圖，根軌跡如圖4-10所示。所示。 （2）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由例）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由例4-4可知，根軌跡與虛軸相可知，根軌跡與虛軸相交時，交時， ，為根軌跡的臨界增益。因此，可得出要使系統(tǒng)，為根軌跡的臨界增益。因此，可得出要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則開環(huán)增益穩(wěn)定，則開環(huán)增益K的范圍為的范圍為 。 （3）根據阻尼比的要求確定主導極點的位置。）根據阻尼比的要求確定主導極點的位置。 在根軌跡上作出在根軌跡上作出 的阻尼線，使其與實軸負方向的夾的阻尼線，使其與實軸負方向的夾角角 ，阻尼線與根軌跡的交點為，阻尼線與根軌跡的交點為s1。從根軌跡

34、圖上。從根軌跡圖上可得可得 ， 。 )2)(1()()(sssKsHsG5 . 06gKK60 K5 . 060arccos58. 033. 01js58. 033. 02js 應用幅值條件，可求出點應用幅值條件，可求出點s1對應的開環(huán)增益對應的開環(huán)增益K。 根據閉環(huán)特征方程根據閉環(huán)特征方程 ， ，可求，可求出出 。因為。因為 ，即，即s3遠離主導極點遠離主導極點。 經計算可得經計算可得 ， ，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數近，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數近似為似為 于是，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為于是，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為 ， 。 06. 176. 188. 066. 0312111pspspsKKg06. 1gK

35、02323gKsss06. 1gK58. 033. 02, 1js33.23s733. 0/33. 25 . 066. 0n436. 066. 0436. 0)(2sss3%16. %9.1sst 圖4-10 【例4-5】系統(tǒng)根軌跡圖 圖4-11 【例4-6】系統(tǒng)零、極點分布圖 【例例4-6】 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數試估算系統(tǒng)的性能指標。試估算系統(tǒng)的性能指標。 解：系統(tǒng)有三個極點：解：系統(tǒng)有三個極點： ， ；有一個；有一個零點：零點： 。 極點極點p1與與z1十分接近，構成偶極子，故主導極點為十分接近，構成偶極子，故主導極點為p2，3，則系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)，即為，則系統(tǒng)可近似為二階

36、系統(tǒng)，即為 計算可得，系統(tǒng)的阻尼比計算可得，系統(tǒng)的阻尼比 ，無阻尼自然振蕩頻，無阻尼自然振蕩頻率率 rad/s。系統(tǒng)的性能指標為。系統(tǒng)的性能指標為 ， 。 2(0.591)( )(0.671)(0.010.081)sssss5 . 11p2 . 943 , 2jp7 . 11z21( )0.010.081sss4 . 010n5%2 %0.75sst 1.增加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響增加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 為了分析方便為了分析方便， ， 。若在系統(tǒng)增加一個開環(huán)若在系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數變?yōu)榱泓c，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數變?yōu)?)()

37、()(21pspssKsHsGg(4-17)11p22p)()()()(21pspsszsKsHsGg(4-16)4.3.3 增加開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響增加開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響 圖圖4-12 附加不同開環(huán)零點對根軌跡的影響附加不同開環(huán)零點對根軌跡的影響 若增加一個開環(huán)零點，對系統(tǒng)根軌跡產生的影響如下：若增加一個開環(huán)零點，對系統(tǒng)根軌跡產生的影響如下： （1）將改變根軌跡在實軸上的分布；）將改變根軌跡在實軸上的分布； （2）將改變根軌跡漸近線的條數、漸近線與實軸的夾角）將改變根軌跡漸近線的條數、漸近線與實軸的夾角及分離點；及分離點； （3）使得根軌跡的曲線向左偏移，有利于改善系統(tǒng)動態(tài)

38、）使得根軌跡的曲線向左偏移，有利于改善系統(tǒng)動態(tài)性能，且零點越靠近虛軸，對系統(tǒng)影響越明顯。性能，且零點越靠近虛軸，對系統(tǒng)影響越明顯。 （4）適當選擇附加開環(huán)零點在）適當選擇附加開環(huán)零點在s平面的位置，使其與有平面的位置，使其與有損系統(tǒng)性能的極點構成一對開環(huán)偶極子，可抵消不利極點對損系統(tǒng)性能的極點構成一對開環(huán)偶極子，可抵消不利極點對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。 2. 增加開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響增加開環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 當系統(tǒng)開環(huán)極點當系統(tǒng)開環(huán)極點 時，若增加一個穩(wěn)定的開環(huán)極點，時，若增加一個穩(wěn)定的開環(huán)極點，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為則系統(tǒng)

39、的開環(huán)傳遞函數為 1( )( )()gKG s H ss sp11p 12( )( )()()gKG s H ss spsp(4-19)(4-18)圖圖4-13 附加開環(huán)極點對系統(tǒng)根軌跡的影響附加開環(huán)極點對系統(tǒng)根軌跡的影響 若增加一個開環(huán)極點，對系統(tǒng)根軌跡產生的影響如下：若增加一個開環(huán)極點，對系統(tǒng)根軌跡產生的影響如下： （1）將改變根軌跡在實軸上的分布；）將改變根軌跡在實軸上的分布； （2）將改變根軌跡漸近線的條數、漸近線與實軸的夾角）將改變根軌跡漸近線的條數、漸近線與實軸的夾角及分離點；及分離點； （3）將改變根軌跡的分支數；）將改變根軌跡的分支數； （4）根軌跡曲線將向右半平面彎曲，不利于

40、改善系統(tǒng)的）根軌跡曲線將向右半平面彎曲，不利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，且當增加的極點越靠近虛軸時，這種影響就越大。動態(tài)性能，且當增加的極點越靠近虛軸時，這種影響就越大。 3. 增加開環(huán)偶極子對系統(tǒng)性能的影響增加開環(huán)偶極子對系統(tǒng)性能的影響 一對開環(huán)負實數零極點若滿足：極點比零點更靠近坐標一對開環(huán)負實數零極點若滿足：極點比零點更靠近坐標原點；零極點的間距很小，且非?？拷鴺嗽c，通常它們原點；零極點的間距很小，且非常靠近坐標原點，通常它們的中心距到坐標原點的距離比閉環(huán)主導極點的負實部要小一的中心距到坐標原點的距離比閉環(huán)主導極點的負實部要小一個數量級，則這樣的零極點對被稱為開環(huán)偶極子。個數量級，則這樣的

41、零極點對被稱為開環(huán)偶極子。 圖圖4-14 增加開環(huán)偶極子前后的根軌跡增加開環(huán)偶極子前后的根軌跡 例如，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為例如，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 則系統(tǒng)在單位斜坡響應作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為則系統(tǒng)在單位斜坡響應作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 若增加一對開環(huán)偶極子，如取零點為若增加一對開環(huán)偶極子，如取零點為z=-0.1，極點為，極點為p=-0.01，則開環(huán)傳遞函數變?yōu)椋瑒t開環(huán)傳遞函數變?yōu)?可得系統(tǒng)開環(huán)增益為可得系統(tǒng)開環(huán)增益為K=5，則穩(wěn)態(tài)誤差為，則穩(wěn)態(tài)誤差為 1( )(1)(2)G ss ss11( )20.5veK 0.1( )(1)(2)(0.01)sG ss sss11( )0.25veK 4.4 應用實例

42、應用實例圖圖4-15 激光操縱控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖激光操縱控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖要求：要求：利用根軌跡分析法確定系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益利用根軌跡分析法確定系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的范圍，的范圍，且選取且選取K值，滿足系統(tǒng)在單位斜坡輸入值，滿足系統(tǒng)在單位斜坡輸入(r(t)=t)下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess0.1mm。 電動機和控制器參數選取為電動機和控制器參數選取為 ， ，則系統(tǒng)的開，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函環(huán)傳遞函數數為為10.1sT 20.2sT 012( )(1)(1)(0.11)(0.21)KKG ss TsT ssss系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為321250( )(1)(1)155050KKss