薄板的屈曲方喻飛

1、主講：張系斌板的失穩(wěn)有如下幾個特點：板的失穩(wěn)有如下幾個特點：作用于板中面的外力，不論是一個方向作用有外力還是在兩個作用于板中面的外力，不論是一個方向作用有外力還是在兩個方向同時作用有外力，屈曲時板產生的都是出平面的凸曲現(xiàn)方向同時作用有外力，屈曲時板產生的都是出平面的凸曲現(xiàn)象，產生雙向彎曲變形，因此在板的任何一點的彎矩象，產生雙向彎曲變形，因此在板的任何一點的彎矩M Mx x、M My y和和扭矩扭矩 M Mxyxy以及板的撓度以及板的撓度w w都與此點的坐標都與此點的坐標（x x，y y）有關。有關。 板的平衡方程屬于二維偏微分方程，除了均勻受壓的四邊簡板的平衡方程屬于二維偏微分方程，除了均勻

2、受壓的四邊簡支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷載外，對于其他支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷載外，對于其他受力條件和邊界條件的板，用平衡法很難求解?？梢杂媚芰渴芰l件和邊界條件的板，用平衡法很難求解。可以用能量法（如瑞利法（如瑞利里茲法，伽遼金法）或者數(shù)值法（如差分法、里茲法，伽遼金法）或者數(shù)值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷載，在彈塑性階段，用數(shù)值法可以有限元法等）求解屈曲荷載，在彈塑性階段，用數(shù)值法可以得到精度很高的板屈曲荷載。得到精度很高的板屈曲荷載。理想薄板失穩(wěn)屬于穩(wěn)定分岔失穩(wěn)。對于有剛強側邊支承的板，理想薄板失穩(wěn)屬于穩(wěn)定分岔失穩(wěn)。對于有剛強側邊支承的板，凸屈后板的中面會

3、產生薄膜應變，從而產生薄膜應力。如果凸屈后板的中面會產生薄膜應變，從而產生薄膜應力。如果在板的一個方向有外力作用而凸曲時，在另一個方向的薄膜在板的一個方向有外力作用而凸曲時，在另一個方向的薄膜拉力會對它產生支持作用，增強板的抗彎剛度進而提高板的拉力會對它產生支持作用，增強板的抗彎剛度進而提高板的強度，這種凸屈后的強度提高稱為屈曲后強度。強度，這種凸屈后的強度提高稱為屈曲后強度。按照小撓度理論分析只能得到板的分岔屈曲荷載，而按照有限按照小撓度理論分析只能得到板的分岔屈曲荷載，而按照有限撓度理論，或稱為大撓度理論分析才能得到板的屈曲后強度撓度理論，或稱為大撓度理論分析才能得到板的屈曲后強度和板的撓

4、度。和板的撓度。 小撓度理論板的彈性曲面微分方程小撓度理論板的彈性曲面微分方程 采用小撓度理論的三個假定 （1）垂直于中面方向的正應變 z極微小，可以忽略。取 z=0,由z=0得： w=w(x,y)上式說明板的任何一點的撓度w只與坐標x和y有關，即在中面的任何一根法線上，薄板全厚度內的所有各點具有相同的撓度。 （2）應力分量 z,zx和 zy遠小于 x, y和 xy，因此可以忽略不計它們產生的正應變z,剪應變 zx,和zy （2）應力分量 z,zx和 zy遠小于 x, y和 xy，因此可以忽略不計它們產生的正應變z,剪應變 zx,和zy 因為不計,zx和 zy引起的剪應變，則 0zuxzx0z

5、vyzy從而得xzuyzv因為不計z，引起的正應變，則由物理方程有 yxxE1xyyE1xyxyE12由上式可見，薄板小撓度彎曲問題的物理方程和薄板平面應力問題的物理方程相同，即薄板小撓度彎曲問題可簡化為平面應力問題。（3）薄板彎曲時，中面內各點不產生平行于中面的應變，即00 xuzx00yvzy00yuxvzxy說明中面的任意一部分雖然彎曲成為彈性曲面的一部分，但它在xy平面上的投影形狀保持不變。彈性曲面微分方程彈性曲面微分方程 薄板的小撓度彎曲問題是按位移求解，薄板的撓度為基本未知函數(shù)，根據幾何方程，物理方程和力的平衡關系，將其它物理量都用表示，就可以建立小撓度理論板的彈性曲面微分方程。就

6、圖所示微面元dxdy，可以得到22222442244422yNyxNxNyyxxDyxyx22222442244422yNyxNxNyyxxDyxyx23112EtD板的抗彎剛度 Nx、Ny板中面沿 x、y軸方向單位長度上的應力； Nxy板中面單位長度上的剪力。 板在各種中面力(Nx、Ny、 Nxy)作用下，其失穩(wěn)為分岔失穩(wěn)。板的彈性曲面微分方程屬二維偏微分方程，除了均勻受壓的四邊簡支的理想的矩形板可以直接求出其分岔失穩(wěn)荷載外，對其他受力條件和邊界條件的板用平衡法很難直接求解，經常采用能量法或數(shù)值法求解。 單向均勻受壓簡支板的彈性失穩(wěn)荷載圖示單向均勻受壓四邊簡支板 0 xyyNN2222244

7、2244422yNyxNxNyyxxDyxyx02224422444xNyyxxDx邊界條件0 xax 時0022x0yby 0時022y符合這些邊界條件的板的撓曲面可用二重三角級數(shù)表示11sinsinmnmnbynaxmA02224422444xNyyxxDx11sinsinmnmnbynaxmA代入方程11222444224224440sinsin2mnxmnbynaxmamDNbnbanmamA滿足式的無窮項之和恒為零的唯一條件是每一項系數(shù)中括弧內的式子為零，即板的失穩(wěn)條件為0222244422422444amDNbnbanmamx22222222bnammDaNx由于臨界荷載應是板保持

8、微彎狀態(tài)的最小荷載，因而取1n2222222,1bammDaNcrx2222222,1bammDaNcrx22bDk式中k為屈曲系數(shù)，且 2mmk其中ba0dmdk解出 m代入式得 4mink0122mmm由k與之間關系見圖，由式可得最小臨界荷載 22,4minbDNcrx22,4minbDNcrxbam 是整數(shù)時，才可得到式（1） （1）如果不是整數(shù)，則計算屈曲荷載的m應取與比值a/b接近且使Nk,cr較小的整數(shù)?？汕蟀宓那鷳?222,112tbEktNcrxcrx可知，均勻受壓板的屈曲應力與板的寬厚比(b/t)的平方成反比，而與板的長度無關。這與軸心受壓構件的屈曲應力是不同的，它與構件

9、長細比的平方成反比，當構件截面尺寸一定時，它與構件長度的平方成反比。能量法計算板的彈性失穩(wěn)荷載能量法計算板的彈性失穩(wěn)荷載板在微彎狀態(tài)時的總勢能是板的應變能U和外力勢能V之和，即 = U + V abyxyxyxyxDU0022222222222dd122 abxyyxyxyxNyNxNV002dd221瑞利瑞利里茲法里茲法瑞利里茲法求解板的失穩(wěn)荷載時要求假定的撓曲面函數(shù)符合板的幾何邊界條件。假定撓曲面函數(shù)為 11,mnmnyxA代入板總勢能的計算公式，積分后利用勢能駐值原理，建立線性代數(shù)方程組 0001211mnAAA方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，則得到板的屈曲方程，可求出板的屈曲荷載

10、?！纠}例題】 用瑞利里茲法求解圖所示單向均勻受壓矩形板的屈曲荷載。板的兩個加載邊和一個非加載邊簡支，另一非加載邊自由。0 xyypp解解：因為 可得板的總勢能表達式 abxabyxxpyxyxyxyxD0020022222222222dd21dd122假定板的撓曲面函數(shù)axmAysin可驗證符合幾何邊界條件：代入式積分后得 322222222222212162abamApababmamADx由勢能駐值原理 0ddA有01322222222abmpabmabDmAx0A2232216bDabmpx令m=1，可得px的最小值 22,bDkpcrx222216abk3 . 022425. 0abk

11、由勢能駐值原理 0ddA有01322222222abmpabmabDmAx0A2232216bDabmpx令m=1，可得px的最小值 22,bDkpcrx222216abk3 . 022425. 0abkba 當425. 0k通過計算可知，在x和y方向該板都是以一個半波發(fā)生凸曲。迦遼金法迦遼金法已知板的平衡偏微分方程為 0L若符合板的幾何和自然邊界條件的撓曲面函數(shù)為niiiyxA1,則可建立迦遼金方程組 0dd,0dd,0dd,00002001abnababyxyxLyxyxLyxyxL方程組積分后，可以得到對A1,A2An 的線性方程組，為保證Ai有非零解，系數(shù)行列式必為零，則得到板的屈曲方

12、程，由此解出屈曲荷載。【例題【例題】用迦遼金方法求解圖所示單向均勻受壓板的屈曲荷載。板的兩加載邊簡支，兩非加載邊固定。解：板的平衡微分方程 02224422444xpyyxxDLx假定撓曲面函數(shù)byaxmA2sinsin可以驗證此函數(shù)符合幾何邊界條件也符合力學邊界條件則建立迦遼金方程 0ddsinsin002 abyxbyaxmL則建立迦遼金方程 0ddsinsin002 abyxbyaxmL積分后得到2222222231638bmaabmbDpx0dd2mpx得到 22234bam 代入得最小值 22,283. 7bDpcrx與精確解 22,97. 6bDpcrx只相差4%。如果由一項增加為

13、兩項，就可以提高解的精度。 通過對不同邊界條件的單向均勻受壓矩形板的屈曲分析，可以得到屈曲系數(shù)k與=a/b的規(guī)律通過對不同邊界條件的單向均勻受壓矩形板的屈曲分析，可以得到屈曲系數(shù)k與=a/b的變化規(guī)律。 從圖中可以看出，對單向均勻受壓的狹長板，用橫向加勁肋減小值以提高屈曲函數(shù)k效果并不明顯，且橫向加勁肋間距小于2b很不經濟。對于很寬的薄板，采用縱向加勁肋以減小t/b的比值是有效的。 單向非均勻受壓板的彈性失穩(wěn)單向非均勻受壓板的彈性失穩(wěn)（略）（略）軸心受力時，構成軸心受壓柱截面的各板件趨于均勻受壓，而對偏心受壓或純彎矩作用下的構件，其腹板可能處于圖1的受力狀態(tài)，梁受純剪力作用的截面，腹板受力狀態(tài)如圖2。因此為了分析組成構件的各板件的局部屈曲性質，不但要確定板件均勻受壓時的屈曲荷載，而且要分析非均勻受壓及純剪應力狀態(tài)下板件的臨界荷載，這樣才能進行板件局部穩(wěn)定設計。 2、均勻受剪四邊簡支扳屈曲 1 、非均勻受壓簡支板 幾種邊緣荷載共同作用下薄板的臨界條件幾種邊緣荷載共同作用下薄板的臨界條件1,22crcccrcr此臨界狀態(tài)的相關方程為 用橫向加勁肋加強的梁腹板用橫向加勁肋加強的梁腹板同時用橫向加勁肋和縱向加勁肋加強的梁腹板同時