考研高等數(shù)學上冊函數(shù)與極限ppt

1、基礎考研第一章基礎考研第一章函數(shù)與極限（函數(shù)與極限（1 1） 2考研：考研：早開始早開始比任何事情都重要比任何事情都重要. .1.函數(shù)定義：函數(shù)定義：)(xfy Dx , Dx 0)(0 xf0 x一、函數(shù)一、函數(shù) ( , )( ),Cx yyf xxD( ( 一般為曲線一般為曲線 ) )(xfy yxoD2.函數(shù)定義的兩要素：函數(shù)定義的兩要素：3.兩個函數(shù)相同的條件：兩個函數(shù)相同的條件：22( )( )12xxf xg xxx 如如：與與是是否否相相同同？2222( )sincos( )f xxxxg tt與與+1+1是是否否相相同同？3433( )-( )-1f xx xg xxx與與是是

2、否否相相同同？不同不同相同相同相同相同 定義域定義域: 對應規(guī)律的表示方法對應規(guī)律的表示方法: 解析法解析法、圖象法、圖象法、列表法、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.4.定義域的求法：定義域的求法：分母不等于零的自變量的值分母不等于零的自變量的值.2( ),nu x( )0u x 須須使使；ln ( ),u x( )0u x 須須使使；(4)arcsin( ),arccos ( ),u xu x( )1u x 須須使使；使函數(shù)解析式有意義的自變量的使函數(shù)解析式有意義的自變量的 取值范圍是函數(shù)的（自然）定義域取值范圍是函數(shù)的（自然）定義域.(5

3、)tan ( ),sec ( ),u xu x( ), =0,1,2,2u xkk 須須使使(6)cot ( ),csc ( ),u xu x( ), =0,1,2,u xkk 須須使使是其各自定義域的交集是其各自定義域的交集.5.5.函數(shù)的四種特性函數(shù)的四種特性(1)函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:( )f xI在在 上上有有界界( )f xI在在 上上無無界界0( ).MxIMf xM 使使，都都有有- -000().MxIf xM ，使使得得設函數(shù)設函數(shù)( ),yf xxD 區(qū)間區(qū)間.DI 1( )1,2f xx 如如：在在上上有有界界嗎嗎？11x ，12x 呢呢？說明：說明：1.1.界不唯一

4、界不唯一,不一定找最小的界不一定找最小的界.2.2.函數(shù)的有界性是局部概念函數(shù)的有界性是局部概念.3.區(qū)分無界與無窮大，區(qū)分無界與無窮大， 無窮大一定無界，無窮大一定無界，但無界不一定但無界不一定是無窮大是無窮大.11( )sin( 1,0)(0,1)f xxx 如如：在在上上無無界界， 但但它它不不是是無無窮窮大大. .73.區(qū)分無界與無窮大，區(qū)分無界與無窮大， 無窮大一定無界，無窮大一定無界，但無界不一定但無界不一定是無窮大是無窮大.11( )sin( 1,0)(0,1)f xxx 如如：在在上上無無界界. .122xk 當當時時，( )(2)sin(2)22f xkk (2)2k 0,

5、1, 2, 3,k 其其中中：12xk 而而當當時時，( )2sin(2)0f xkk ，( )(2).2Mf xkM 找找不不到到使使11( )sin( 1,0)(0,1)f xxx 所所以以：在在上上不不是是無無窮窮大大. .4.4.還可定義有上界、有下界還可定義有上界、有下界有界的充分必要條件是既有上界又有下界有界的充分必要條件是既有上界又有下界(2) 單調(diào)性單調(diào)性設函數(shù)設函數(shù)( ),yf xxD,ID 區(qū)區(qū)間間12,xxI 12xx 當當時時12()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為 I 上的上的單調(diào)單調(diào)增增函數(shù)函數(shù) ;xy1x2x12()(),f xf x 若若稱稱 (

6、)f x為為 I 上的上的單調(diào)單調(diào)減減函數(shù)函數(shù) ;注意注意: :(1)(1)這里是嚴格單調(diào)這里是嚴格單調(diào)(2)(2)單調(diào)性是局部概念單調(diào)性是局部概念.2(0,)yx 在在內(nèi)內(nèi)是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的，(,0)在在內(nèi)內(nèi)是是單單調(diào)調(diào)減減少少. .I,Dx 1()( )fxf x ），2()( )fxf x ），是整體概念；是整體概念；偶函數(shù)偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于y 軸對稱軸對稱；tan2yxxk 如如：在在時時是是奇奇函函數(shù)數(shù)嗎嗎？是是(3) 奇偶函數(shù)的定義域不一定是奇偶函數(shù)的定義域不一定是R.(4) 若若( )f x在在 x = 0 有定義有定義 ,(0) 0.f ( )f x為奇函數(shù)時為奇函數(shù)時, ,

7、則當則當則則(5)( ),f xD設設函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域 關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱( )f x則則一一定定可可以以.表表示示成成奇奇函函數(shù)數(shù)與與偶偶函函數(shù)數(shù)的的和和事事實實上上 11( )=( )() +( )+ ()22f xf xfxf xfx ( )=+f x奇奇函函數(shù)數(shù) 偶偶函函數(shù)數(shù)(4) 周期性周期性,0,xDl 且且,xlD )()(xflxf則稱則稱( )f x為為周期函數(shù)周期函數(shù) ,若若稱稱 l 為為周期周期.例如例如, 常量函數(shù)常量函數(shù)( )f xC 狄里克雷函數(shù)狄里克雷函數(shù)( )f x x 為有理數(shù)為有理數(shù)x 為無理數(shù)為無理數(shù), 1,0說明：說明：10周期函數(shù)的定義域

8、是無限的點集周期函數(shù)的定義域是無限的點集.20周期函數(shù)不一定存在最小正周期周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .都都是是周周期期函函數(shù)數(shù)但但都都沒沒有有最最小小的的正正周周期期. .結(jié)論：結(jié)論：( )f xT若若以以 為為最最小小正正周周期期，()Tfx 則則以以為為0. 最最小小正正周周期期，設函數(shù)設函數(shù)( ),yf xxD cos ( )=sin(1)xf xxx exR 是是( (例例 ) )( ); ( ); ( ); ( ).ABCD有有界界函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)周周期期函函數(shù)數(shù)偶偶函函數(shù)數(shù)解解注意：注意：考考查查函函數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)時時， 會會根根據(jù)據(jù)函函數(shù)數(shù)的的特特征征， 迅

9、迅速速將將其其限限定定在在某某個個范范圍圍內(nèi)內(nèi), ,其其一一般般方方法法如如下下：(1)(1)表表達達式式中中含含有有絕絕對對值值符符號號的的函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)一一般般不不具具有有單單調(diào)調(diào)性性，(2)(2)若若在在自自變變量量的的某某變變化化過過程程中中, , 函函數(shù)數(shù)表表達達式式中中含含有有“ ”因子而無因子而無“0”因子因子,則則此此函函數(shù)數(shù)必必無無界界, , 但但不不一一定定是是 ，.nx(3)(3)含含有有冪冪函函數(shù)數(shù)因因子子的的函函數(shù)數(shù)必必不不是是周周期期函函數(shù)數(shù)cos()()=sin()=xfxxx e cossin=xxx e( )f x()D選選D12例例2.設在

10、區(qū)間設在區(qū)間(,)( )0,f xk 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)且且當當 為為大大于于0 0的的常常1(),(,)( )( )f xkf xf x 數(shù)數(shù)時時有有則則在在內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)是是( )( )(2 )f xk解解C( ); ( ); ( ); ( ).ABCD奇奇函函數(shù)數(shù)偶偶函函數(shù)數(shù)周周期期函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù) ()fxkk1()f xk 11( )f x ( ),f x(2 )f xk( )f x(,)( )f x 在在內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)是是周周期期函函數(shù)數(shù). .sin ( )=3tan,( )xf xxxef x設設函函數(shù)數(shù)則則是是例例（ ）( ); ( ); ( ); ( ).ABCD偶偶函函數(shù)數(shù)無

11、無界界函函數(shù)數(shù)周周期期函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)解解2lim( )=xf x sin2limtan=xxxxe ，( ).f x故故無無界界( )B選選6.反函數(shù)反函數(shù)( )( ),yf xxy 由由( )( )xyyf x 則則叫叫的的反反函函數(shù)數(shù)，.( )yf x 叫叫直直接接函函數(shù)數(shù)11( )( )( ) ,()yf xxfyyfxxf D習習慣慣上上：sinarcsin arcsinyxxyyx 如如：記記作作：(1)定義定義1( ).xfy 記記作作: :(2)性質(zhì)性質(zhì)其反函數(shù)其反函數(shù)(減減)(減減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增1( ),yfx 存存在在且也單調(diào)遞增且也單調(diào)

12、遞增 2) 函數(shù)函數(shù)( )yf x 與其反函數(shù)與其反函數(shù)1( )yfx 的圖形關(guān)于直線的圖形關(guān)于直線yx 對稱對稱 .（注意：對單值函數(shù)而言的）（注意：對單值函數(shù)而言的）7. 復合函數(shù)復合函數(shù) 1( ),yf uuD( ),ug xxD1()g DD 且且則則 ( ),yf g xxD設有函數(shù)鏈設有函數(shù)鏈稱為由稱為由, 確定的確定的復合函數(shù)復合函數(shù) , u 稱為稱為中間變量中間變量. 注意注意: 構(gòu)成復合函數(shù)的條件構(gòu)成復合函數(shù)的條件 1()g DD 不可少不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈函數(shù)鏈 :arcsin ,yu 22 1,ux 2arcsin21,yxxD 32 1, 32,1 但函數(shù)鏈但函

13、數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復合函數(shù)不能構(gòu)成復合函數(shù) .可定義復合可定義復合函數(shù)函數(shù)23322211 1,1xx 8. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)初等函數(shù)由由常數(shù)及基本初等函數(shù)常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為否則稱為非初等函數(shù)非初等函數(shù) . 例如例如 ,2xy y0,xx0,xx并并可用一個式子表示可用一個式子表示的函數(shù)的函數(shù) ,經(jīng)過經(jīng)過有限次四則運算有限次四則運算和和復合復合步步驟所構(gòu)成驟所構(gòu)成 ,稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù) .可表為可表為故為初等函

14、數(shù)故為初等函數(shù).,12arcsin2xy為初等函數(shù)為初等函數(shù).yx xya sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,cscyx yx yxyx yx yxarcsin ,arccos ,arctan ,arccotyx yxyx yxlogayx 非初等函數(shù)舉例非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)符號函數(shù)sgnyx當當 x 0,1當當 x = 0,0當當 x 0,1xyo11,xR 對對有有sgnxx x 取整函數(shù)取整函數(shù)當當 yx 1,nxnnZ-4 3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-3-4oxy注意：注意：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)分段函數(shù)一般不是初等函數(shù). f 解解(5)f(

15、)f 103 (10)f(7)f f (12)f( )f 123 (9)f . 6 1,1( ), ( )=_.0,1 5 xf xf f xx 設設函函數(shù)數(shù)例例則則 1,( )1( )0,( )1f xff xf x ，( )1f x 而而， ( )=1.f f x則則解解3,8( )(5). (5) ,84xxf xfff xx ，求求例例設設函函數(shù)數(shù) 1,1( ), ( ) 1 =0,xf xff f xx 設設例例6 6函函數(shù)數(shù)則則（ ）解解1101( ) ; ( ) ; ( ); ( ).0,11,1xxABCDxx ，0 01 1 1,( )1( )0,( )1f xff xf x

16、 ，( )1f x 而而， ( )=1.f f x則則 ( ) =1.ff f x于于是是( )B選選22-cos ,0,0( ), ( )=,lg ,01-, 07x xxxf xg xx xx x 設設函函數(shù)數(shù)例例 (-2) .g f求求(-2)=4,f (-2) =g f則則1- 4= -1.解解 注注意意：( ), ( ),f x g x已已知知 ( )( )f g xg f x求求或或時時，一一般般,用用代代入入法法逐逐次次復復合合即即可可( )g x應應特特別別注注意意的的是是的的( ).f x值值域域與與的的定定義義域域的的對對應應關(guān)關(guān)系系21例例8. 設函數(shù)設函數(shù)31,1( )

17、, ( ).,1xxf xf f xxx 求求解解 ( )f f x 3 ( )1,( )1f xf x( ),( )1f xf x = 3(31)1,311xx1x 且且，31x ， 31x 1 11x 且且，,x1x = 94,0 xx 31,x 01x,1xx 221( ),( )1 ( )0, ( )1g xg xf g xg x 1,1(0,19), x xf xx 函函數(shù)數(shù)例例 設設,2( ),2,2x xg xx x ( ).f g x求求1, x 解解1x 2-1x 1+(2- ),x0,其其它它2x 且且2x 且且1, -11=xx 23x3- , x0,其其它它例例102s

18、in(2)( )(1)(2)xxf xx xx 函函數(shù)數(shù)在在下下列列哪哪個個區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有界界（ ）( )( 1,0); ( )(0,1); ( )(1,2); ( )(2,3).ABCD 解解-13xx 和和不不需需要要求求0,1,2,( )xf x 時時連連續(xù)續(xù)，0lim( )=xf x sin2,4 20sin(2)lim=(1)(2)xxxx xx 0lim( )=xf x 而而sin2,420sin(2)lim=(1)(2)xxxx xx 1lim( )=xf x21sin(2)lim(1)(2)xxxx xx , 24例例102sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx 函函數(shù)數(shù)在在下下列列哪哪個個區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有界界（ ）( )( 1,0); ( )(0,1); ( )(1,2); ( )(2,3