概率論的定義以及公式

1、 §2 隨機事件的概率，古典概型與概率的加法公式 2000/7/31一 概率的統(tǒng)計定義：頻率：隨機事件在一次具體的試驗是否發(fā)生，盡管不能預先明白，然而，當大量重復同一試驗時，隨機現(xiàn)象卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律, 即所謂統(tǒng)計規(guī)律性如：歷史上有人作過成千上萬次投擲硬幣，下表列出他們的試驗記錄：隨機事件 1。隨機事件及其概率 2。古典概型容易看出，投擲次數(shù)越多正面向上的頻率越接近，其中事件發(fā)生的次數(shù)頻數(shù)事件發(fā)生的頻率試驗總次數(shù)試驗總次數(shù)我們將事件發(fā)生的可能性大小只停留在定性了解不夠的，下面給出事件發(fā)生的可能性大小的客觀的定量的描述，稱為事件發(fā)生的概率隨機事件的概率：（） 定義：在不變的一組條件下，重

2、復作次試驗，記是次試驗中事件發(fā)生的次數(shù)當試驗的次數(shù)專門大時，假如頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值的附近擺動，而且一來隨著試驗次數(shù)增多，這種擺動的幅度越變越小，則稱數(shù)值為事件在條件下發(fā)生的概率，記作 那個地點，頻率的穩(wěn)定性是概率一個直觀樸素的描述，通常稱為概率的統(tǒng)計定義但必須指出，事件的頻率是帶有隨機性的，這是由事件本身的隨機性所決定。而事件的概率，卻是一個客觀存在的實數(shù)，是不變的。二古典概型：定義：假如隨機現(xiàn)象滿足下列三個條件：(1) 一次試驗可能結果只有有限個，即所有差不多事件只有有限個： ，(2) 每一個差不多事件發(fā)生的可能性是相等的(3) 差不多事件是兩兩互不相容 滿足以上三個條件的隨機現(xiàn)象模型，稱為

3、古典概型 在古典概型中，假如n為差不多事件總數(shù)， m為事件A包含的差不多事件數(shù), 那么事件A的概率 法國數(shù)學家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作為概率的一般定義現(xiàn)在通常稱它為概率的古典概型的定義，因為它只適用于古典概型場合 古典概型公式的運用舉例：【例1】 袋里有2個白球和3個黑球從袋任取出一球，求它是白球的概率 解 ： 容易看出，“從袋里任取一球”這一試驗是古典概型的，且差不多事件總數(shù)n5，取到白球的差不多事件數(shù)m2，故 把白球換為合格產(chǎn)品，黑球換為廢品，則那個摸球模型就能夠描述產(chǎn)品抽樣檢驗問題這種模型化的方法把表面上不同的問題歸類于相同的模型之小中，能使問題更消楚，更易于計算。

4、【例2】把a, b兩個球隨機地放到編號為I, 的三只盒子里，求盒子I中沒有球的概率。解：這是一個古典概型問題，把a, b兩個球隨機地放到編號為I, 的三只盒子里，差不多事件總數(shù)設“盒子I中沒有球”，則事件A包含的差不多事件數(shù) 【例3】有一個口袋，內(nèi)裝a只白球，b只黑球，它們除顏色不同外，外形完全一樣, 從袋了中任不同外，外形完全一樣. 現(xiàn)任意模出2個球時，求：（）模出2個球差不多上白球的概率；（）模出一個白球一個黑球的概率解:這口袋共有a+b只球，從袋了中任意模出2個球的差不多事件總數(shù)，（） 模出2個球差不多上白球差不多事件數(shù)，模出2個球差不多上白球的概率；（） 模出一個白球一個黑球的差不多事

5、件數(shù)，模出一個白球一個黑球的概率 若把黑球作為廢品，白球作為好品，則那個摸球模型就能夠描述產(chǎn)品抽樣按如產(chǎn)品分為更多等級，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等則可用裝有多種顏色的球的口袋的摸球模型來描述【例3】 列 【例4】1無放回抽樣：2有放回抽樣：，【例5】 有一個口袋內(nèi)裝可分辨4個黑球，6個白球, 它們除顏色不同外，外形完全一樣. 現(xiàn)按兩種取法；（）無放回；（）有放回連續(xù)從袋中取出個球，分不求下面事件的概率：（） “取出個球差不多上白的”；（） “取出個黑球，個白球”解：（）無放回：連續(xù)從袋中取出個球的差不多事件總數(shù)，（）取出個球差不多上白的差不多事件數(shù)， ；（）取出個黑球，個白球，注

6、意到取出黑球的次序，事件的差不多事件數(shù)，因而（）有放回：連續(xù)從袋中取出個球的差不多事件總數(shù)，（） 取出個球差不多上白的差不多事件數(shù)， ；（） 取出個黑球，個白球，注意到黑球黑球的次序，事件的差不多事件數(shù)，因而【例】設有k個球，每個球都能以同樣的概率落到N個格子(Nk)的每個格子中，試求：下列事件的概率 (1) A=”某指定的k個格子中各有一個球”；(1) B=”任何k個格子中各有一個球”；(3) C=“k個球落到同一個格子中”.解: 這是一個古典概型問題，由于每個球可落入N個格子中的任一個，因此n個球在N個格子差不多事件總數(shù) (1) k個球在那指定的k個格子中全排列，總數(shù)為n!，因而所求概率

7、（2）n個格子能夠任意，即能夠從N個格子中任意選出n個來，這種選法共有 又關于每種選定的n個格子，共有n! 排列，因而所求概率 【例】【例】 三。概率的性質：四概率加法公式： 概率加法公式：（） 假如事件A， B是互不相容，則 P（A+B）=P（A）+P（B），特不地，； （）特不地，（1）假如A與B是兩個互斤事件，則 ， （2） (3) 若 B A ，則 P（AB）P（A）P（B） 2 逆事件概率：【例7】在浴池的鞋柜中亂放著10雙號碼不同的托鞋今隨意取來三只，求有一雙配對的概率 解法I： 設10雙鞋的號碼為t號至10號鞋我們有下列事件等式，“三只鞋中有一雙配對”“三只中1號鞋配對” +“三只中2號鞋配對” + +“三支中10號鞋配對”相應地可設事件為 把1號鞋看成廢品，其他鞋看成合格品，由超幾何分布的概率公式，有解法1的特點是把較復雜的事件分解成較簡單的事件和【例8】 【例9】一個聞名問題匹配問題： 張卡門分不標著1，2，3，4，面朝下放在桌子上 一個自稱有透視能力的人將用他超感受能力講出卡片上的號數(shù)，假如他是冒