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1、. 1. 利用格林公式計(jì)算下列曲線積分: (1), 其中L是由y=0, x=1, y=x所圍成區(qū)域的正向邊界; 解 這里P=x2+y2, Q=y2-x2, , 由格林公式 . (2), 其中L為正向星形線(a0); 解 這里, , , 由格林公式 . (3), 其中L為在拋物線2x=py2上由點(diǎn)(0, 0)到的一段弧; 解 這里, , . 由格林公式 , 其中L、OA、OB、及D如圖所示. 故 . (4)計(jì)算曲線積分, 其中L為圓周(x-1)2+y2=2, L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向. 解 這里, . 當(dāng)x2+y20時(shí) . 在L內(nèi)作逆時(shí)針方向的e小圓周 l : x=ecosq, y=esinq(0q

2、2p), 在以L和l為邊界的閉區(qū)域De上利用格林公式得 , 即 . 因此 . 2. 驗(yàn)證曲線積分在整個(gè)xOy面內(nèi)與路徑無關(guān), 并計(jì)算積分值. 解 這里P=yexy+1, Q=xexy+1. 因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 并且, 所以此曲線積分與路徑無關(guān). . 3. 驗(yàn)證下列P(x, y)dx+Q(x, y)dy在整個(gè)xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分, 并求這樣的一個(gè)u(x, y): (1)2xydx+x2dy ; 解 因?yàn)? 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x, y)的全微分. . (5). 解 因?yàn)? 所以P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x, y)的全微分. . 4. 利用曲線積分求由橢圓9x2+16y2=144所圍圖形的面積: 解 橢圓9x2+16y2 =144的參數(shù)方程為 x=4cosq, y =3sinq, 0q2p. . 6. 證明在力作用下, 質(zhì)點(diǎn)在右半平面內(nèi)移動(dòng), 該力所做的功與路徑無關(guān). 并求從點(diǎn)(2, 1)到點(diǎn)(1, 2)所做的功. 解 令, , 則F=Pi+Qj, F沿曲線L所做的功為 . 因?yàn)樵谟野肫矫鎯?nèi),

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