結(jié)構(gòu)動力學(xué)很好很有用

1、結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 動動 力力 學(xué)學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)（）授授 課課 內(nèi)內(nèi) 容容13.2 單自由度體系的自由振動13.6 一般多自由度體系的自由振動13.1 動力計算的特點和動力自由度 13.5 兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 13.7 多自由度體系在任意荷載下的強迫振動13.8 計算頻率的近似法 13.3 單自由度體系的強迫振動 13.4 兩個自由度體系的自由振動 13.1.1 13.1.1 動力計算的特點動力計算的特點13.1 13.1 動力計算的特點和動力自由度動力計算的特點和動力自由度 13.1.2 13.1.2 動力荷載的分類動力荷載的分類 13.1.3 13.1.3 動力計算的自由度動力計算的

2、自由度13.1.1 13.1.1 動力計算的特點動力計算的特點 結(jié)構(gòu)動力學(xué)：結(jié)構(gòu)動力學(xué)： 研究結(jié)構(gòu)在研究結(jié)構(gòu)在動力荷載動力荷載作用下的作用下的動力反應(yīng)。動力反應(yīng)。（1 1）地震現(xiàn)場錄像）地震現(xiàn)場錄像（2 2）地震振動臺實驗錄像）地震振動臺實驗錄像例如地震荷載：例如地震荷載：動力荷載：荷載的動力荷載：荷載的大小、方向、作用位置大小、方向、作用位置 隨時間而變化。隨時間而變化。（1 1）TacomaTacoma大橋風(fēng)毀錄像大橋風(fēng)毀錄像（2 2）南浦大橋風(fēng)洞實驗錄像）南浦大橋風(fēng)洞實驗錄像例如風(fēng)荷載：例如風(fēng)荷載：13.1.1 13.1.1 動力計算的特點動力計算的特點荷載的變化周期是結(jié)構(gòu)自振周期荷載的

3、變化周期是結(jié)構(gòu)自振周期5 5倍以上，則可看成靜荷載。倍以上，則可看成靜荷載。用于教學(xué)演示的小型振動臺，鋁質(zhì)和有機玻璃模型用于教學(xué)演示的小型振動臺，鋁質(zhì)和有機玻璃模型用于教學(xué)演示的用于教學(xué)演示的小型振動臺，小型振動臺，鋁質(zhì)和有機玻璃模型鋁質(zhì)和有機玻璃模型鋁質(zhì)模型的自由鋁質(zhì)模型的自由振動記錄振動記錄有機玻璃模型的有機玻璃模型的自由振動記錄自由振動記錄用于教學(xué)演示的用于教學(xué)演示的小型振動臺，小型振動臺，鋁質(zhì)和有機玻璃模型鋁質(zhì)和有機玻璃模型有機玻璃模型的有機玻璃模型的自由振動記錄自由振動記錄鋁質(zhì)模型的自由鋁質(zhì)模型的自由振動記錄振動記錄動力計算與靜力計算的區(qū)別：動力計算與靜力計算的區(qū)別：加速度：加速度：

4、 可否忽略可否忽略 動力計算的內(nèi)容：動力計算的內(nèi)容：1）結(jié)構(gòu)本身的動力特性：自振頻率、阻尼、振型自振頻率、阻尼、振型2）荷載的變化規(guī)律及其動力反應(yīng)動力反應(yīng) （自由振動） （受迫振動）1）牛頓運動定律2）慣性力 動靜法動靜法（達朗伯原理）特點：考慮慣性力，形式上瞬間的動平衡動平衡！建立微分方程，, ,y y y 13.1.1 13.1.1 動力計算的特點動力計算的特點 如何考慮如何考慮13.1.2 13.1.2 動力荷載的分類動力荷載的分類1 1）周期荷載）周期荷載2 2）沖擊荷載）沖擊荷載3 3）隨機荷載）隨機荷載P(t )tPt簡諧荷載簡諧荷載P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(

5、t)t爆炸荷載爆炸荷載1 1爆炸荷載爆炸荷載2 2突加荷載突加荷載地震波地震波一般周期荷載一般周期荷載結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）13.1.2 13.1.2 動力荷載的分類動力荷載的分類結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸入輸入（動力荷載）（動力荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動力反應(yīng)）（動力反應(yīng)）輸入輸入（動力荷載）（動力荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動力反應(yīng)）（動力反應(yīng)）控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)（裝置、能量）（裝置、能量）13.1.2 13.1.2 動力荷載的分類動力荷載的分類13.1.2 13.1.2 動力荷載的分類動力荷載的分類 建筑抗震設(shè)計原則建筑抗震設(shè)計原則 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)“小震不破壞，中震

6、可修復(fù)，大震不倒塌。小震不破壞，中震可修復(fù)，大震不倒塌?！?y13.1.3 13.1.3 動力計算的自由度動力計算的自由度確定全部質(zhì)量的位置，所需獨立幾何參數(shù)的個數(shù)。 動力自由度：動力自由度：這是因為：慣性力取決于質(zhì)量分布質(zhì)量分布及其運動方向運動方向。mE、A、I、 R體系振動自由度為？無限自由度無限自由度( (忽略忽略 ) )m三個自由度三個自由度忽略軸向變形忽略轉(zhuǎn)動慣量自由度為？單自由度單自由度m0,0mEAR例：簡支梁：例：簡支梁：m13.1.3 13.1.3 動力計算的自由度動力計算的自由度集中質(zhì)量法：集中質(zhì)量法： 將分布質(zhì)量集中到某些位置。無限無限 有限有限例例1 1：2EIEIEI

7、y(a)(a)單自由度單自由度y1y2(b)(b)兩個自由度兩個自由度例例2 2：(t)(c)(c)三個自由度三個自由度( )m x(d)(d)無限自由度無限自由度( , )y x tx13.1.3 13.1.3 動力計算的自由度動力計算的自由度例例3 3：u(t)v(t)例例4 4：確定體系的振動自由度時，一般忽略梁和剛架的軸向變形，和集中質(zhì)量的慣性矩的影響集中質(zhì)量法幾點注意：集中質(zhì)量法幾點注意： 1）體系動力自由度數(shù)不一定等于質(zhì)量數(shù)。一個質(zhì)點一個質(zhì)點兩個兩個DOFDOF兩個質(zhì)點兩個質(zhì)點一個一個DOFDOF兩個質(zhì)點兩個質(zhì)點三個三個DOFDOF 2）體系動力自由度與其超靜定次數(shù)無關(guān)。 3）體系

8、動力自由度決定了結(jié)構(gòu)動力計算的精度。m1m2yxxx13.1.3 13.1.3 動力計算的自由度動力計算的自由度改變改變水平振動時的計算體系水平振動時的計算體系 3 3個自由度個自由度 4 4個自由度個自由度 m1m2m32 2個自由度個自由度 自由度與質(zhì)量數(shù)自由度與質(zhì)量數(shù) 不一定相等不一定相等 y1y2y1y3y2y3y4y1y213.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動微分方程建立單自由度體系自由振動微分方程建立13.2 13.2 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動13.2.2 13.2.2 單自由度體系自由振動微分方程解答單自由度體系自由振動微分方程解答13.2.3 13

9、.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率13.2.4 13.2.4 阻尼對自由振動的影響阻尼對自由振動的影響一一、自由振動自由振動 （體系在振動過程中沒有動荷載的作用，只有慣性力）（體系在振動過程中沒有動荷載的作用，只有慣性力） 1.1.自由振動產(chǎn)生原因自由振動產(chǎn)生原因 體系在初始時刻體系在初始時刻（t=0）受到外界的干擾。受到外界的干擾。 靜平衡位置靜平衡位置m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 y2.2.研究單自由度體系的自由振動重要性研究單自由度體系的自由振動重要性 （1 1）它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。）它代表了許多實際工程問題，如水塔、單

10、層廠房等。 （2 2）它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。）它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。 自由振動反映了體系的固有動力特性自由振動反映了體系的固有動力特性 自振頻率和振型自振頻率和振型 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動微分方程建立單自由度體系自由振動微分方程建立13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動微分方程建立單自由度體系自由振動微分方程建立以一懸臂柱為對象：以一懸臂柱為對象：自由振動 初始位移初始速度同時作用y(t)kmymmy 模型模型2 2隔離體隔離體理解理解兩模兩模型中型中 “k” 含義含義my mky模型模型1 1“彈簧小車彈

11、簧小車”kyky建立自由振動的微分方程建立自由振動的微分方程: : 兩種方法： 1）剛度法 力的平衡力的平衡2）柔度法 位移協(xié)調(diào)位移協(xié)調(diào) 1 1k1P 建立方程1 1）剛度法：）剛度法：以質(zhì)量為隔離體以質(zhì)量為隔離體00Xmyky1k模型模型2 2模型模型1 1剛度系數(shù) k柔度系數(shù) 概念理解概念理解 my kyy13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動微分方程建立單自由度體系自由振動微分方程建立建立自由振動的微分方程建立自由振動的微分方程: : 兩種方法： 1）剛度法 力的平衡力的平衡2）柔度法 位移協(xié)調(diào)位移協(xié)調(diào) 建立方程2 2）柔度法：）柔度法：M點位移ykymy ky13.2.1 1

12、3.2.1 單自由度體系自由振動微分方程建立單自由度體系自由振動微分方程建立ymFi ymFyi 0 yym 慣性力建立方程建立方程1 1）剛度法：）剛度法：mykyW0y 0kymyWstdyyy()()0stdstdk yym yyW0ststkyWy0ddkymy0kymy以質(zhì)量為隔離體以質(zhì)量為隔離體my 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動微分方程建立單自由度體系自由振動微分方程建立建立方程建立方程2 2）柔度法：）柔度法：mkymy Wstdyyy()stdstdstyym yyy 0sty 0ymy以梁為對象建立位移方程以梁為對象建立位移方程( )y tkykymyW

13、ymyW stWyddymy ky13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動微分方程建立單自由度體系自由振動微分方程建立（1 1）剛度法）剛度法 研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立 平衡方程，需要用到剛度系數(shù)。平衡方程，需要用到剛度系數(shù)。 方法小結(jié)方法小結(jié) （2 2）柔度法）柔度法 研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程，研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程， 需要用到柔度系數(shù)。需要用到柔度系數(shù)。剛度法剛度法 柔度法柔度法 （3 3）方法選擇）方法選擇 誰較簡單？誰較簡單？ 誰較容易求得。誰較容易求得。 取決于結(jié)構(gòu)的取決于結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)柔度系數(shù) 剛度系

14、數(shù)剛度系數(shù) 超靜定結(jié)構(gòu)，查表（形常數(shù)）超靜定結(jié)構(gòu)，查表（形常數(shù)） 靜定結(jié)構(gòu)，圖乘法求靜定結(jié)構(gòu)，圖乘法求 順利求解剛（柔）度系數(shù)是自由振動分析的關(guān)鍵！順利求解剛（柔）度系數(shù)是自由振動分析的關(guān)鍵！ 0myky原方程：原方程：0kyym2()km令：通解為：通解為：12( )sincosy tCtCt 由由初始條件：初始條件：020(0) yyCy001(0)vyvC00( )cossinvy tytt解為：解為：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t0v0v13.2.2 13.2.2 單自由度體系自由振動微分方程解答單自由度體系自由振動微分方程解答化

15、成單項三角函數(shù)的形式化成單項三角函數(shù)的形式: :解又可表達為：解又可表達為：將其展開：將其展開：( )sincoscossiny tatat00( )cossinvy tytt相比較得：相比較得：0sinya0cosva22100020tanvyayv ( )sin()y tat則：振幅則：振幅T0y(t)taa0y自由振動總位移：自由振動總位移：初始相位角初始相位角13.2.2 13.2.2 單自由度體系自由振動微分方程解答單自由度體系自由振動微分方程解答13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率( )sin()y tat由式由式: :可知可知時間時間經(jīng)經(jīng)

16、后，質(zhì)量完成了一個振動周期。后，質(zhì)量完成了一個振動周期。2T用用T 表示周期，表示周期， 周期函數(shù)的條件周期函數(shù)的條件: : y(t+T )=y(t )12fT1)1)自振周期計算公式：自振周期計算公式：2mTk2m2Wg2stg2)2)自振頻率計算公式：自振頻率計算公式：1stkggmmW秒內(nèi)的振動次數(shù)秒內(nèi)的振動次數(shù)2用用 表示圓頻率：表示圓頻率：用用 表示頻率：每秒鐘內(nèi)的振動次數(shù)表示頻率：每秒鐘內(nèi)的振動次數(shù)f 泛美大廈，泛美大廈，6060層層鋼結(jié)構(gòu)，南北方向鋼結(jié)構(gòu)，南北方向的基本固有周期為的基本固有周期為2.902.90秒，秒， 大壩，大壩，400400英尺高的混凝土重力壩的英尺高的混凝土

17、重力壩的基本固有周期由強迫振動試驗測得在蓄基本固有周期由強迫振動試驗測得在蓄水為水為310310英尺和英尺和345345英尺十分別為英尺十分別為0.2880.288秒和秒和0.3060.306秒，秒， 金門大橋，金門大橋，金門大橋橋墩跨距金門大橋橋墩跨距1280.21280.2米全橋總米全橋總長長2737.42737.4米的米的懸索橋，其橫向振動的基本基本固懸索橋，其橫向振動的基本基本固有周期為有周期為18.2018.20秒，豎向振動的基本基本固有周期秒，豎向振動的基本基本固有周期為為10.9010.90秒，縱向振動的基本基本固有周期為秒，縱向振動的基本基本固有周期為3.813.81秒，扭轉(zhuǎn)振

18、動的基本基本固有周期為秒，扭轉(zhuǎn)振動的基本基本固有周期為4.434.43秒秒 例例13.113.1 求圖示梁結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率。求圖示梁結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率。mEIl/2l/21P l/4解：為求柔度系數(shù)，在質(zhì)點 上加單位力1（圖乘法）348lEI32248mlTmEI 思考思考 比較圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率348EIl ml/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(a)(b)(b)(c)(c)(a)(b)(c)(a)(b)(c)13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 例例13.213.2 圖示機器與基礎(chǔ)總重量圖示機器與基礎(chǔ)總重量W=60kN，基礎(chǔ)

19、下，基礎(chǔ)下土壤的抗壓剛度系數(shù)為土壤的抗壓剛度系數(shù)為 cz=0.6N/cm3，基礎(chǔ)底面積，基礎(chǔ)底面積 A=20m2。試求機器連同基礎(chǔ)作豎向振動時振頻率。試求機器連同基礎(chǔ)作豎向振動時振頻率。W解: 讓振動質(zhì)量向下單位位移 需施加的力為：3112 109.844.2760kkgsmW k = cz A= 0.610320 =12103 kN/m自振頻率為：13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 例例13.313.3 如圖所示簡支梁，將一重為如圖所示簡支梁，將一重為W的物體從高的物體從高h處自由釋放，落到梁的中點處，求該系統(tǒng)的振動規(guī)律。處自由釋放，落到梁的中點處，

20、求該系統(tǒng)的振動規(guī)律。hyyystW 解:自由落體后，梁以一定的 初速度上下作自由振動， 其振動平衡位置為 yst 。sin()yAt設(shè)：其中：stgy22002100tanvAyyv振幅：初始相位角：初始條件：002styyygh ststyW13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率1.例如設(shè): 則0.4,10stycm hcm98049.5/0.4stgrad sy20.42 10 0.42.86Acm 0.4()0.1410.142 10arctgarctgrad 則振動規(guī)律為：2.86sin(49.50.14)yt具體例子比較具體例子比較: :13.2

21、.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率h0.4stAycm()2arctg 0.4sin(49.5)2yt13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率2.2. 如圖所示簡支梁，將一重為如圖所示簡支梁，將一重為W的物體將物體無初速的物體將物體無初速地放置在梁中點，求該系統(tǒng)的振動規(guī)律。地放置在梁中點，求該系統(tǒng)的振動規(guī)律。98049.5/0.4stgrad syststyW2.86sin(49.50.14)yt比較結(jié)果可知，比較結(jié)果可知，h10cm時的振幅位移是時的振幅位移是h0的的7倍倍則振動規(guī)律為：11 求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。求圖示結(jié)

22、構(gòu)的自振頻率。LL/2EIk作業(yè)作業(yè)LEIEIEILmm22 列出圖示結(jié)構(gòu)的運動方程。列出圖示結(jié)構(gòu)的運動方程。kEI 2mL/2L/3L/2m思考題思考題P286P286頁頁13-113-1，13-213-2，13-413-4，13-513-5，13-613-6，13-713-7作業(yè)作業(yè) 例例13.413.4 求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。LL/2EIkL/2kP=1M1圖圖31313L33()22222222222984LLLLLLEIkLEIk解：解：畫畫M1 1圖；由圖；由M1圖圖求得求得 ；由；由 求得求得 。3/2319(84LmEIk13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的

23、自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 例例13.513.5 求圖示結(jié)構(gòu)的頻率。求圖示結(jié)構(gòu)的頻率。解解1 1： 是單自由度體系，作水平振動。求柔度時由于是單自由度體系，作水平振動。求柔度時由于結(jié)構(gòu)對稱，可取半剛架計算。結(jié)構(gòu)對稱，可取半剛架計算。342EImL311212()22223222324LLLLLLLEIEILEIEIEILmmM圖圖L/2L/2P=1/2P=1/22 2L/2L/2EIEIEI13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率P=1 例例13.613.6 列出圖示結(jié)構(gòu)的運動方程。列出圖示結(jié)構(gòu)的運動方程。kEI 2mL/2L/3L/2m12

24、my2my 1k2( ) t解：是單自由度體系。解：是單自由度體系。 以以 建立位移方程。建立位移方程。( ) t1122( )( 2)()tmymyP=1k121/2P=1k124/3k121/L112L243L12Ly243Ly14441( )( 2)()223318LLtmmmLL 13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率M=113.2.4 13.2.4 阻尼對自由振動的影響阻尼對自由振動的影響mky1) 不考慮阻尼0y(t)taamky=0c2) 考慮阻尼阻尼是客觀存在的阻尼是客觀存在的 振幅隨時間減小，這表明在振動過程中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為阻尼阻

25、尼。 （1 1）產(chǎn)生阻尼的原因）產(chǎn)生阻尼的原因1)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦2)材料之間的內(nèi)摩擦3)周圍介質(zhì)的阻力 （2 2）阻尼力的確定）阻尼力的確定1)與質(zhì)點速度成正比2)與質(zhì)點速度平方成正比3)與質(zhì)點速度無關(guān)粘滯阻尼粘滯阻尼( )R tcy y(t)mykymy kmccy 有阻尼模型有阻尼模型建立動平衡方程0mycyky標(biāo)準化得:km2cm0ckyyymm其中: 稱為阻尼比二階常微分方程可變?yōu)椋?20yyy設(shè)特解為：tyCe特征方程為：2220解為：2(1) 111 、（1）1 令：21r則代數(shù)方程解：ri 討論討論: :13.2.4 13.2.4 阻尼對自由振動的影響阻尼對自由振動的影響

26、討論討論: :111 、小阻尼、臨界阻尼、過阻尼的自由振動則微分方程通解為：12cossintrryeCtCt000cossintrrryyeytt220000200()sin() , trrrvyyyeataytgvy，也可:tyyktyaeyk+1tkT1)1)是一種衰減振動是一種衰減振動2)2)對自振頻率的影響對自振頻率的影響21rr 當(dāng)0.2,則 0.96r/1在工程結(jié)構(gòu)問題中0.010.1此時，阻尼的影響可以忽略。討論討論: :實部初始條件初始條件虛部13.2.4 13.2.4 阻尼對自由振動的影響阻尼對自由振動的影響討論討論: :阻尼對自由振動的影響1)1)是一種衰減振動是一種衰減

27、振動討論討論: :阻尼對固有振動蘋率的影響阻尼對自由振動阻尼對自由振動衰減速率的影響衰減速率的影響如圖右如圖右2)2)對自振頻率的影響對自振頻率的影響 當(dāng)0.2,則 0.96r/1在工程結(jié)構(gòu)問題中0.01)引起的動力反應(yīng)微分沖量微分沖量01( )( )sin()ty tPtdm13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)一般動荷載的動力反應(yīng)一般動荷載的動力反應(yīng): :杜哈梅積分杜哈梅積分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 為零為零（1 1）突加荷載）突加荷載 P(t)tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)

28、stPtytmysty(t)t023質(zhì)點圍繞靜力平衡質(zhì)點圍繞靜力平衡 位置作簡諧振動位置作簡諧振動ystyst舉例說明舉例說明000( ) 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdm13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)max ( )2sty ty動力系數(shù)：動力系數(shù)： （2 2）短時荷載）短時荷載 P(t)tPou000( )00tP tPtutu 1 1）方法一：）方法一：00011( )( )sin()()tuy tPtdPSintdmm2sinsin()22stuuyt13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)一般

29、荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)( )(1 cos)sty tyt 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載同突加荷載：直接采用直接采用 Duhamel 積分積分 階段階段 ( (t u) )：P(t)tPou000( )00tP tPtutu 階段階段 ( (t u) )：體系以：體系以 作自由振動。作自由振動。( ), ( )y uy u 2 2）方法二：）方法二： 利用突加荷載結(jié)論，分段利用突加荷載結(jié)論，分段討論。討論。( )(1 cos)sty tyt( )sinsty uyu ( )cos()cossty tytut2sinsin()22stuuyt13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下

30、結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng) 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載同突加荷載：( )(1 cos)sty uyu 3 3）方法三：）方法三：由兩個突加荷載疊加而成。由兩個突加荷載疊加而成。P(t)tPP(t)tPu( )(1 cos)sty tyt( )1 cos()sty tytu1)1)當(dāng)當(dāng)0 u(cos()cos)stytut2sinsin()22stuuyt1 cos()stytu( )(1 cos)sty tyt13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)P(t)tPuy(t)t023討論主要針對u展開ystT/21 1）當(dāng)）

31、當(dāng)u T/2，最大動最大動 位移發(fā)生在階段位移發(fā)生在階段max ( )2sty ty 2 2）當(dāng)）當(dāng)0u )引起的動力反應(yīng)：P(t)td( )dSPdt微分沖量微分沖量()( )sin()trrPddyetm()0( )sin()ttrrPdyetm有阻尼杜哈梅積分有阻尼杜哈梅積分地震作用地震作用有阻尼的平穩(wěn)振動:有阻尼的瞬時振動（自由振動）：有阻尼的瞬時振動（自由振動）：00y 初位移：00初速度:13.4.1 13.4.1 兩個自由度體系自由振動微分方程的建立兩個自由度體系自由振動微分方程的建立13.4 13.4 兩個自由度體系的自由振動兩個自由度體系的自由振動13.4.2 13.4.2

32、頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性13.4.4 13.4.4 兩個自由度體系自由振動方程的一般解兩個自由度體系自由振動方程的一般解13.4.1 13.4.1 兩個自由度體系自由振動方程建立兩個自由度體系自由振動方程建立（1 1）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系多層房屋、多層房屋、 不等高排架等不等高排架等（2 2）為滿足計算精度的要求）為滿足計算精度的要求煙囪、煙囪、 高聳建筑物等高聳建筑物等 基本方法基本方法剛度法：剛度法：柔度法：柔度法： 按結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件建立運動方程按結(jié)構(gòu)的位移

33、協(xié)調(diào)條件建立運動方程按質(zhì)量的力平衡條件建立運動方程按質(zhì)量的力平衡條件建立運動方程（1 1）柔度法）柔度法y1y2（m1m222m y211121P 22121212建立方程：建立方程：111111222( )( )( )y tm y tm y t221112222( )( )( )y tm y tm y t13.4.1 13.4.1 兩個自由度體系自由振動方程建立兩個自由度體系自由振動方程建立柔度系數(shù)：柔度系數(shù)：注意注意柔度柔度系數(shù)系數(shù) 物理物理意義意義11P 11m y（2 2）剛度法）剛度法質(zhì)量隔離體質(zhì)量隔離體m2m12K111( )0m y tK222( )0m y tK列平衡方程：列平

34、衡方程：1K2K1y122y如何確定？如何確定？13.4.1 13.4.1 兩個自由度體系自由振動方程建立兩個自由度體系自由振動方程建立22m y 11m y 1Ky1y2（m1m22K1K彈彈性性力力慣慣性性力力剛度系數(shù)剛度系數(shù): :k k1K2K122y1yk11k21112k12k22112得到運動方程：得到運動方程：11111122( )0m y tk yk y22211222( )0m y tk yk y2211222Kk yk y1111122Kk yk y111( )0m y tK222( )0m y tK注意注意 物理意義物理意義ijk13.4.1 13.4.1 兩個自由度體系

35、自由振動方程建立兩個自由度體系自由振動方程建立13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率111112212211212222( )( )( )( )( )( )y tm y tm y ty tm y tm y t 設(shè)各質(zhì)點按相同頻率和初相角作簡諧振動，即：設(shè)各質(zhì)點按相同頻率和初相角作簡諧振動，即：（1 1）柔度法）柔度法微分方程：微分方程：211222()()yYSintyY Sint （2 2）求得：求得：1122()()yYSintyY Sint（1 1）把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程：221 11121221221211222

36、22()()()0()()()0mYSintmY SintYSintmYSintmY SintY Sint 13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY齊次線性方程組齊次線性方程組: :非零解非零解頻率方程頻率方程1 112121212220mmDmm關(guān)于關(guān)于的二次代數(shù)方程的二次代數(shù)方程1 11222121212()()0mmmm得：得：系數(shù)行列式系數(shù)行列式 應(yīng)等于零應(yīng)等于零1221112221112221122122112()()4()2mmmmm m 方程兩正根為方程兩正根為: :112211自振頻

37、率自振頻率1213.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率第一頻率第一頻率 （基頻）第二頻率第二頻率（2 2）剛度法）剛度法1112112222211222( )0( )0m y tk yk ym y tk yk y微分方程：微分方程：設(shè)解為：設(shè)解為：13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率1122()()yYSintyY Sint（1 1）211222()()yYSintyY Sint （2 2）把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程：21111 112222221 1222()()()0()()()0mY Sint

38、k Y Sintk Y SintmY Sintk Y Sintk Y Sint可求得：可求得：頻率方程：頻率方程：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y齊次線性方程組：齊次線性方程組：自振頻率：自振頻率：2211221122112212211,21212124()12kkkkk kk kmmmmm m13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率非零解非零解2111122212220kmkDkkm較小的較小的 第一頻率（基頻），第一頻率（基頻）， 為第二頻率。為第二頻率。1213.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的

39、正交性（1 1）主振型）主振型1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY(1)1212(1)21 11211YmYm Y1(1)Y2(1)m1m2(柔度法)121221 1121YmYm 22221211mm1 1 1）當(dāng)）當(dāng)?shù)谝恢髡裥偷谝恢髡裥?1)1(1)21YY若：若：13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性m1m2（1 1）主振型）主振型1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY121221 1121YmYm (2)1212(2)21 11221YmYm (柔度法)22221211mm2 2 2

40、）當(dāng)）當(dāng)?shù)诙髡裥偷诙髡裥?2)1(2)21YY 若：若：Y1(2)Y2(2)21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：(1)112(1)221111(2)112(2)221121YkYkmYkYkm 平衡方程：平衡方程：（2 2）主振型）主振型 (剛度法)13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性21122222211121YkkmYkmk 兩種方法是等價的兩種方法是等價的（3 3）主振型的正交性）主振型的正交性13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及

41、主振型的正交性m1m211m y22m y運動方程：運動方程：按按 振動時：振動時：1 位移與加速度同時達到最大，因此位移與加速度同時達到最大，因此 可以看作可以看作是最大慣性力產(chǎn)生的靜位移。是最大慣性力產(chǎn)生的靜位移。 (1)(1)12YY1122()()yYSintyY Sint(1)111(1)221()()yYSintyYSint2(1)11112(1)2121()()yYSintyYSint 作自由振動時，體系上承受的是慣性力。作自由振動時，體系上承受的是慣性力。準備準備1 1：13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性1P111222111222PPTP

42、準備準備2 2： 功的互等定理。功的互等定理。1 12 22P1112221P1 12 22P211222在梁上先作用在梁上先作用P P1 1, ,再作用再作用P P2 2, ,整個過程中體系做的功為：整個過程中體系做的功為：在梁上先作用在梁上先作用P P2 2, ,再作用再作用P P1 1, ,整個過程中體系做的功為：整個過程中體系做的功為：222111222122PPTP12TT 1 1號力在號力在2 2號力引起的位移上做的功號力引起的位移上做的功112221PP功的互等定理功的互等定理2 2號力在號力在1 1號力引起的位移上做的功號力引起的位移上做的功（3 3）主振型的正交性）主振型的正

43、交性用功的互等定理來證明。用功的互等定理來證明。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型功的互等定理功的互等定理2(1)(2)2(1)(2)2(2)(1)2(2)(1)11 11122221 112222()()()()mYYm YYmYYm YY整理得：整理得：22(1)(2)(1)(2)121 11222()()0mY Ym Y Y12第一正交關(guān)系第一正交關(guān)系虛功虛功1 1虛功虛功2 2(1)(2)(1)(2)1 112220mY Ym Y YY1(1)Y2(1)m1m22(1)122m Y2(1)11 1mYm1m22(2)21 1mY2(2)222m Y13.4.3 13.4.3 主振

44、型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性Y1(2)Y2(2)如何解釋正交性？如何解釋正交性？利用第一正交關(guān)系利用第一正交關(guān)系1) 1) 同乘同乘212(1)(2)2(1)(2)11112122()()0mYYmYY虛功虛功1 10 02) 2) 同乘同乘222(2)(1)2(2)(1)12112222()()0mYYmYY虛功虛功2 20 0 這表明體系在振動過程中，各主振型的能量不會轉(zhuǎn)移這表明體系在振動過程中，各主振型的能量不會轉(zhuǎn)移到其他主振型上，也不會引起其他主振型的振動。因此，到其他主振型上，也不會引起其他主振型的振動。因此，各主振型能單獨存在而不相互干擾。各主振型能單獨存在而不相互干擾

45、。13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性(1)(2)(1)(2)1 112220mY Ym Y Y1221112221112221122122112()()4()2 mmmmmm11112mm21112mm 例例13.1513.15 求簡支梁的自振頻率和主振型，并驗證主求簡支梁的自振頻率和主振型，并驗證主振型的正交性。振型的正交性。l/3l/3l/3 P=1 P=129l29l解：解：1 1）求柔度系數(shù)）求柔度系數(shù)311224243lEI312217486lEI2 2）代入方程）代入方程3 3）自振頻率）自振頻率13115.69EIml232122EIml12

46、mmEI1M2M13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性l/3l/3l/3mm4 4）主振型）主振型(1)1122(1)1111211 YmmY(2)1122(2)1112211 YmmY第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型5 5）驗證主振型的正交性）驗證主振型的正交性(1)( 2 )(1)( 2 )1112220m YYm YY?(1)(2)(1)(2)1112221(1)1( 1)0 m YYm YYmm即：故滿足正交性條件故滿足正交性條件13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性利用對稱性另解：利用對稱性另解： 若結(jié)構(gòu)本身

47、和質(zhì)量分布都是對稱的，則主振型不是若結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對稱的，則主振型不是對稱就是反對稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計算。對稱就是反對稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計算。l/3l/3l/312mmEIl/31l/91解：解： 1 1）簡化）簡化2 2）圖乘）圖乘3115162lEI131115.69EImml322486lEI2322122EImml3 3）自振頻率）自振頻率對稱對稱反對稱反對稱13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 例例13.1613.16 求圖示剛架的自振頻率和主振型，并驗證主求圖示剛架的自振頻率和主振型，并驗證主振型的正交性。振型的正交性。m2m1k2k1解

48、：解：1 1）求剛度系數(shù)）求剛度系數(shù)k22k12k11=k1+k2 , k21= -k2 k22=k2 , k12= -k2k21k112111122212220kmkDkkm2 2）頻率方程）頻率方程13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性11m2m1k2k1m2m1k2k1222(2)()0km kmk若：若：m1=m2=m，k1=k2=k21135 0.6182kkmm，22235 1.618 2kkmm，3)3)主振型主振型(1)112(1)22111111.618 YkYkm第一主振型第一主振型(2)112(2)22112110.618 YkYkm第二

49、主振型第二主振型Y2(1)=1.618Y1(1)=1Y2(2)=0.618Y1(1)=113.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性若：m1=nm2，k1=nk2討論討論2212221141(2)2knnmn2 2）主振型）主振型(1)2211(1)212212:YkYkm1124n(2)2212(2)212222:YkYkm1124n取取 n=9010191222121222()()0kkmkmk1 1）頻率方程）頻率方程22222222(1)()0nknmkmk3 3）驗證主振型的正交性）驗證主振型的正交性(1)(2)(1)(2)111222221(1)10(

50、9)0 m YYm YYmm 9013.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 稱為“鞭梢效應(yīng)”13.4.4 13.4.4 兩個自由度體系自由振動方程的一般解兩個自由度體系自由振動方程的一般解結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式主振型主振型: :1122( )sin()( )sin()y tYtytYt= =常數(shù)常數(shù)設(shè)設(shè) 解解實際上是像一個單自由度體系在振動特殊形式特殊形式1122( )( )y tYy tYY1Y2條條 件件初始位移和初始速度應(yīng)與此主振型相對應(yīng)初始位移和初始速度應(yīng)與此主振型相對應(yīng) 實際上，初始時刻的 y0 或 v0 通常不能

51、完全 與某一振型相對應(yīng)。一般解一般解(1)(2)111112122(1)(2)212112222( )sin()sin()( )sin()sin()y tAYtA Yty tAYtA Yt第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法13.5 13.5 兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動13.5.2 13.5.2 剛度法剛度法13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動柔度法柔度法（1 1）建立振動微分方程）建立振動微分方程22m y11m yPy1y21m2mtP

52、sintP sin1P2P位移方程位移方程11 11122121()()sinPymym yt 21 12122222()()sinPymym yt 1 1 1122 12111 1 2122 2222sinsinPPmym yytmym yyt（2 2）動位移的解答及討論）動位移的解答及討論齊次解（齊次解（ ）特解（）特解（ ）r設(shè)特解：設(shè)特解：1122( )sin( )siny tYty tYt2211112122122121122222(1)0(1)0 PPmYmYmYmY方程的解：方程的解：22111212022121222(1)(1) mmDmm其中：其中：21212122222(1

53、) PPmDm21111221212(1) PPmDm討討 論論 01122D1 D, D PP，01)1)當(dāng)當(dāng)時時靜荷載作用靜荷載作用 2)2)當(dāng)當(dāng)時時422012D,D,D120, 0YY1121, PPYY來不及反應(yīng)來不及反應(yīng)12 或3)3)當(dāng)當(dāng)時時22111212022121222(1)(1) mmDmm0D0且且 不全為零時不全為零時12DD，12, YY共振共振13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法121200DDYYDD振幅：振幅：（3 3）動內(nèi)力幅值的計算）動內(nèi)力幅值的計算由由Y1 、Y2值可求得位移和慣性力值可求得位移和慣性力位移：位移：慣性力：慣性力：1122sinsin

54、yYtyYt21112222sinsinmymYtmymYt外荷載：外荷載：sinPt慣性力幅值慣性力幅值21112222ImYImYPI1I212max1 122( )PM tM IM IM疊加公式疊加公式 動內(nèi)力有正負號，疊加要注意！動內(nèi)力有正負號，疊加要注意！13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法位移、慣性力和荷載同時達位移、慣性力和荷載同時達到幅值，動內(nèi)力也同時達到到幅值，動內(nèi)力也同時達到最大。求內(nèi)力時可將動荷載最大。求內(nèi)力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，按靜力法求解作用于結(jié)構(gòu)，按靜力法求解 例例13.1713.17 求圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)點求圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)

55、點1 1和和2 2點的動位移幅值和動彎點的動位移幅值和動彎矩幅值圖。已知：矩幅值圖。已知：121,0.75mmm EICl/4l/2l/412m1m2EItP sin I1=11M I2=12M解：解：1 1）求柔度系數(shù)）求柔度系數(shù)311223256lEI312217768lEI2 2）求頻率）求頻率136.93EIml自振頻率自振頻率荷載頻率荷載頻率35.198EIml313256PPlEI327768PPlEIPPM316Pl316l13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法3 3）計算）計算012DDD、21212122222(1) PPmDm21111221212(1) PPmDm221

56、11212022121222(1)(1) mmDmm0.406530.01025PlEI30.00911PlEI4 4）位移、慣性力幅值）位移、慣性力幅值31100.0252DPlYDEI32200.0224DPlYDEI21110.6808ImYP22220.6051ImYP13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法5 5）求質(zhì)點）求質(zhì)點1 1、2 2處彎矩幅值處彎矩幅值max1 122( )PM tM IM IM1max2max( )0.3530 ( )0.2185M tPlMtPlP0.6808P120.6051P120.3530Pl0.2185PlM6 6）質(zhì)點）質(zhì)點1 11y1M111

57、2.150yPY11max1( )1.883MstM tM11yM 在兩自由度體系中在兩自由度體系中 沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法13.5.2 13.5.2 剛度法剛度法m1m21sinPt2sinPt2y1y11121122( )0m y tk yk y22211222( )0m y tk yk y1sinPt2sinPt（1 1）建立微分方程）建立微分方程（2 2）設(shè)特解）設(shè)特解 只考慮平穩(wěn)振動只考慮平穩(wěn)振動1122( )sin( )siny tYty tYt設(shè)：211111221221 122222()()km Yk YPk Ykm YP（

58、3 3）求）求D1，D2和和D32111120221222kmkDkkm112122222()PkDPkm211112212kmPDkP（4 4）求位移幅值）求位移幅值Y1=D1/D0Y2=D2/D0有關(guān)動內(nèi)有關(guān)動內(nèi)力計算，力計算，同柔度法同柔度法靜力法靜力法 例例13.1813.18 二層剛架，求其動力反應(yīng)譜。二層剛架，求其動力反應(yīng)譜。m2m1k2k1sinPt解：解：1 1）求剛度系數(shù)）求剛度系數(shù)k11=k1+k2 , k21= -k2 , k22=k2 , k12= -k22111120221222kmkDkkm112122222()PkDPkm211112212kmPDkP2 2）求位

59、移幅值）求位移幅值2221100P kmDYDD22200Dk PYDD221222122+ kkkkmmP0P013.5.2 13.5.2 剛度法剛度法m2m1k2k1sinPt13.5.2 13.5.2 剛度法剛度法3 3）討論：）討論：考察考察 m1=m2=m，k1=k2=k 的情況的情況21100P kmDYDD2200DkPYDD2220 2 Dkmkmk2242023()kkDmmm22222012()()Dm2211,方程方程 D00 0 的根的根22222121223, kkmm211222212222222121(1)(1)1(1)(1)mYkPkYPk3.0-2.0-3.0

60、00.6183.01.6182.01.0-1.01PkYkm3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.02PkYkm212222121(1)(1)(1)mk22222121(1)(1) 可見在兩個自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。兩質(zhì)點的位移兩質(zhì)點的位移動力系數(shù)不同動力系數(shù)不同120.6181.618kkmm和13.5.2 13.5.2 剛度法剛度法如圖示對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，討論其共振情況。如圖示對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，討論其共振情況。l/3l/3l/312mmEItP sin11221221,kkkk1