曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線

1、2022-7-512.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線1.1.函函數(shù)數(shù)的的凹凹凸凸性性與與拐拐點(diǎn)點(diǎn)121( ),f xIIx x定定義義 ：設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間 上上連連續(xù)續(xù)，如如果果對對于于 上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)，恒恒有有1212()()(),22xxf xf xf ( )f xI則則稱稱在在 上上的的圖圖形形是是( (向向上上) )凹凹的的( (凹凹弧弧) )；如如果果恒恒有有1212()()(),22xxf xf xf ( )f xI則則稱稱在在 上上的的圖圖形形是是( (向向上上) )凸凸的的( (凸凸弧弧) )。1xxOy122xx 2x12()2xxf 1(

2、)f x2()f x12()()2f xf x 1xxOy122xx 2x12()2xxf 1()f x2()f x12()()2f xf x 2022-7-52axOybxOyabtan( )fx 由由上上述述兩兩圖圖可可見見，向向上上凹凹( (凸凸) )的的曲曲線線斜斜率率，其其( )xfx 中中 為為切切線線的的傾傾角角，隨隨著著 的的增增大大而而增增大大( (減減小小) )，即即函函數(shù)數(shù)( )( )fxfx 為為單單調(diào)調(diào)增增( (減減) )的的。而而的的單單調(diào)調(diào)性性可可由由的的正正負(fù)負(fù)來來判判定定，由由此此可可得得曲曲線線凹凹凸凸的的判判別別法法。1( ) , ( , )f xa ba

3、 b定定理理 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，則則(2)( , )( )0, , a bfxa b 若若在在內(nèi)內(nèi)則則曲曲線線在在上上是是向向上上凸凸的的。(1)( , )( )0, , a bfxa b 若若在在內(nèi)內(nèi)則則曲曲線線在在上上是是向向上上凹凹的的；2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-53231yxyx例例 判判定定曲曲線線和和的的凹凹凸凸性性。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-542ln(1)yxx例例 判判定定曲曲線線的的凹凹凸凸性性。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線

4、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-553arctanyxx 例例 判判定定曲曲線線的的凹凹凸凸性性。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-56連連續(xù)續(xù)曲曲線線由由上上凹凹轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向上上凸凸或或由由上上凸凸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向上上凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)。( )fx 由由拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義可可知知，拐拐點(diǎn)點(diǎn)左左右右兩兩側(cè)側(cè)鄰鄰近近的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必( )fx 定定異異號號，所所以以尋尋找找拐拐點(diǎn)點(diǎn)，只只要要找找到到符符號號發(fā)發(fā)生生變變化化的的分分( )( , )f xa b界界點(diǎn)點(diǎn)即即可可。如如果果在在內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)

5、導(dǎo)數(shù)數(shù)，那那么么在在( )0( )fxf x 這這樣樣的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)處處必必然然有有。此此外外，的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不( )fx 存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)，也也有有可可能能是是的的符符號號發(fā)發(fā)生生變變化化的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)。:( )()Cyf xxI因因此此，曲曲線線的的凹凹凸凸性性及及拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的求求法法：(1)( )fx 計計算算；(2)( )0( )fxfx 求求出出方方程程的的根根和和不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)；(3)這這些些點(diǎn)點(diǎn)把把函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域分分成成若若干干個個小小區(qū)區(qū)間間，確確定定二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在各各個個小小區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的符符號號，并并據(jù)據(jù)此此判判定定曲曲線線的的凹凹凸凸性

6、性與與拐拐點(diǎn)點(diǎn)。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-5724xye 例例 求求曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-5825ln(1)yx例例 判判定定曲曲線線的的凹凹凸凸性性和和拐拐點(diǎn)點(diǎn)。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-592.2.曲曲線線的的漸漸近近線線2定定義義 ：如如果果曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)沿沿曲曲線線趨趨于于無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)時時，該該點(diǎn)點(diǎn)與與某某條條直直線線的的距距離離趨趨于于零零，則則稱稱此此直直線線為為曲曲線線的的漸漸近近線線。(1)(

7、1)水水平平漸漸近近線線(2)(2)垂垂直直漸漸近近線線(3)(3)斜斜漸漸近近線線( )yf x 若若曲曲線線的的定定義義與與是是無無限限區(qū)區(qū)間間，且且lim( )lim( ),xxf xCf xC或或( )yCyf x則則直直線線是是曲曲線線的的水水平平漸漸近近線線。0( )yf xx 若若曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處間間斷斷，且且00lim( )lim( ),xxxxf xf x 或或0( )xxyf x則則直直線線是是曲曲線線的的垂垂直直漸漸近近線線。( )yaxbyf x則則直直線線是是曲曲線線的的斜斜漸漸近近線線。( )lim,lim ( ),xxf xaf xaxbx若若2.4.2 曲線

8、的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-510( )lim( )lim,lim ( )( )xxxf xxf xaf xaxxyf x 注注 如如果果(1)(1)不不存存在在；(2)(2)但但不不存存在在，則則可可以以判判斷斷不不存存在在斜斜漸漸近近線線。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-5116arctanyx 例例 求求反反正正切切曲曲線線的的水水平平漸漸近近線線。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-5127xya 例例 求求指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的水水平平漸漸近近線線。2.4.2 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線2022-7-5137tanyx 例例