概率論與數(shù)理統(tǒng)計1

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)概率論是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的一門學科律的一門學科特點：研究對象的不確定性特點：研究對象的不確定性第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率概率論是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學分支。其起源概率論是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學分支。其起源于十七世紀中葉，當時在誤差、人口統(tǒng)計、人壽保險于十七世紀中葉，當時在誤差、人口統(tǒng)計、人壽保險等范疇中，需要整理和研究大量的隨機數(shù)據(jù)資料，這等范疇中，需要整理和研究大量的隨機數(shù)據(jù)資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學就孕育出一種專門研究大量隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學，但當時刺激數(shù)學家們首先思考概

2、率論的問題，卻是，但當時刺激數(shù)學家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博者的問題。來自賭博者的問題。樣本空間樣本空間 一個隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合，記為一個隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合，記為 。 其中每一個元素，即每次試驗結(jié)果稱為一個樣本其中每一個元素，即每次試驗結(jié)果稱為一個樣本點點 。第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率 , 隨機試驗隨機試驗 E 試驗結(jié)果的多種可能性，事先知道試驗結(jié)果的多種可能性，事先知道 結(jié)果的不能預(yù)測性結(jié)果的不能預(yù)測性隨機試驗隨機試驗E 的樣本空間的樣本空間 的子集，稱為的子集，稱為E的隨機事件，或事的隨機事件，或事件，用大寫字母件，用大寫字母A，B，C

3、, , 表示表示 由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。 樣本空間有兩個特殊子集：樣本空間有兩個特殊子集： 必然事件必然事件 ，和不可能事件，和不可能事件 隨機事件隨機事件 例如例如E E1 1 拋硬幣試驗拋硬幣試驗E E2 2 連拋兩個硬幣連拋兩個硬幣E E4 4 進入超市的人數(shù)進入超市的人數(shù)E E5 5 測試電視機壽命測試電視機壽命E E6 6 觀測天氣觀測天氣0|2, 1 , 054321大雨大雨中雨，中雨，小雨，小雨，陰，陰，多云，多云，少云，少云，晴，晴，為自然數(shù)為自然數(shù)正面，反面正面，反面 ttnn第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率包含

4、包含A發(fā)生必然導致發(fā)生必然導致B發(fā)生發(fā)生相等相等 和事件和事件積事件積事件差事件差事件互逆（對立）互逆（對立）互不相容互不相容第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率事件間的關(guān)系和運算事件間的關(guān)系和運算 BAABABABABABAAABwAwwBwAwwBwAwwABBA |,且且或第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率運算規(guī)律運算規(guī)律交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律對偶律對偶律BABABABAACABCBACABABCACABBCACBACBABAABABBA ,)()()()()(,)()(,第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率例例1. 1. 設(shè)設(shè)A，B，C是隨機事件，則事

5、件是隨機事件，則事件“A 與與 B 發(fā)生，發(fā)生，C 不發(fā)生不發(fā)生”“A，B，C 至少兩個發(fā)生至少兩個發(fā)生”“A，B，C 恰好兩個發(fā)生恰好兩個發(fā)生”“A，B，C 不多于一個事件發(fā)生不多于一個事件發(fā)生”例例2. 2. 用集合表示下面隨機試驗中的樣本空間與隨機事件用集合表示下面隨機試驗中的樣本空間與隨機事件A某地溫度上下限為某地溫度上下限為T0 到到T1，一晝夜內(nèi)出現(xiàn)的最高最低氣，一晝夜內(nèi)出現(xiàn)的最高最低氣溫為溫為(x, y)；事件；事件 A = “ “一晝夜內(nèi)該地的溫差為一晝夜內(nèi)該地的溫差為 10”例題例題第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率概率概率 一次試驗中事件一次試驗中事件 A 發(fā)生的可

6、能性，成為事發(fā)生的可能性，成為事件件 A 的概率，記為的概率，記為 P(A)。概率看成頻率的穩(wěn)定值概率看成頻率的穩(wěn)定值概率的計算概率的計算（1）古典概型古典概型: 事件事件A A包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)/ /樣本空間中樣本空間中的事件數(shù)的事件數(shù) P(A) = nA / n （2）幾何概型幾何概型: 事件事件A A的區(qū)域面積的區(qū)域面積/ /樣本空間的區(qū)域面樣本空間的區(qū)域面積積 P(A) = SA / S 例例 圓中的弦通過半徑減半的同心圓的概率圓中的弦通過半徑減半的同心圓的概率第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)1 1. P() = 1, P() = 0, 0

7、P(A) 12.（有限可加性）若（有限可加性）若A1, A2, A3 兩兩互不相容兩兩互不相容 P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)3. 若若A B, 則則P(BA) = P(B)P(A), P(B)P(A)4. P( ) = 1P(A)5. （加法公式）對任兩個事件加法公式）對任兩個事件 P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)A第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率例例1. . P(A) = 0.3, P(AB) = 0.6; P( ) = ?例例2. . P(A) = P(B) = 0.5, 求證求證 P(AB) = P( )例例3. . 袋中

8、袋中 4 只白球，只白球，2 只黑球，無放回依次摸只黑球，無放回依次摸 2 只球，試求取只球，試求取到兩只球：到兩只球：（1 1）都是白球的概率；（）都是白球的概率；（2 2）同色球的概率）同色球的概率（3 3）至少一只白球的概率）至少一只白球的概率例例4. n . n 個球隨機放入個球隨機放入 N（N n）個盒子中去，求每個盒子至多個盒子中去，求每個盒子至多有一個球的概率，恰有有一個球的概率，恰有 n n 個盒子中各有一個球的概率個盒子中各有一個球的概率例例5 （Buffen 投針問題）平行線距離為投針問題）平行線距離為 a(a 0)，投擲一枚長，投擲一枚長 (L 0，在事件，在事件 B 發(fā)

9、生的條件下發(fā)生的條件下事件事件 A 發(fā)生的概率稱為條件概率，記為發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)由于樣本空間不同由于樣本空間不同 一般地一般地 P(A) P(A|B) 若事件若事件 B 已發(fā)生已發(fā)生, 則為使則為使 A 也也發(fā)生發(fā)生 , 試驗結(jié)果必須是既在試驗結(jié)果必須是既在 B 中又中又在在 A 中的樣本點中的樣本點 , 即此點必屬于即此點必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道由于我們已經(jīng)知道 B 已發(fā)生已發(fā)生, 故故 B變成了新的樣本空間變成了新的樣本空間 。 設(shè)設(shè) A、B 是兩個事件，且是兩個事件，且 P(B) 0, 則稱則稱)()()|(BPABPBAP 2. 條件概率的計算條件概率的計

10、算為在為在事件事件 B 發(fā)生發(fā)生的條件下的條件下,事件事件 A 的發(fā)生概率的發(fā)生概率.概率樹計算條件概率概率樹計算條件概率B BB BAAA AAAP(B)P(B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)()|()(BPBAPBAP )()|()(BPBAPBAP )()|()(BPBAPBAP )()|()(BPBAPBAP 第一級互斥第一級互斥事件事件上一級情況下上一級情況下的下一級事件的下一級事件發(fā)生發(fā)生不發(fā)生不發(fā)生例例1 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出已知第一顆擲出 6 點點,問問“擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于 10 ”的概率是多少的概率是多少? 解法解法

11、1)()()|(BPABPBAP 解法解法2 2163)|( BAP解：解： 設(shè)設(shè)A = 擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10 B = 第一顆擲出第一顆擲出6點點求求 P(A|B)= ？應(yīng)用計算公式應(yīng)用計算公式在在 B 發(fā)生后的縮減樣本發(fā)生后的縮減樣本空間中計算空間中計算21366363 由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若 P(B) 0, 則則 P(AB) = P(B) P(A|B)()()|(BPABPBAP若已知若已知P(B), P(A|B)時時, 可以反求可以反求P(AB).將將A、B 的位置對調(diào)，有的位置對調(diào)，有若若 P(A) 0, 則則 P(BA) = P(A) P(

12、B|A) 都稱為乘法公式都稱為乘法公式, 利用它們可計算利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率兩個事件同時發(fā)生的概率 例例2 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)甲、乙兩廠共同生產(chǎn) 1000 個零件，其中個零件，其中 300 件是乙廠件是乙廠生產(chǎn)的生產(chǎn)的. 而在這而在這 300 個零件中，有個零件中，有 189 個是標準件，現(xiàn)從這個是標準件，現(xiàn)從這1000 個零件中任取一個，求個零件中任取一個，求(1) 求的是求的是P(AB).甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)1000 個個189個是個是標準件標準件300個個乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)設(shè)設(shè) B=零件是乙廠生產(chǎn)零件是乙廠生產(chǎn),A=是標準件是標準件(2) 求的是求的是 P(A|B) .

13、B 發(fā)生發(fā)生, 在在 P(AB) 中作為結(jié)果中作為結(jié)果;在在 P(A|B) 中作為條件中作為條件.條件概率條件概率 P(A|B) 與與 P(AB) 的區(qū)別的區(qū)別1. 這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率？2. 發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的, , 問它是標準件的概率是多少問它是標準件的概率是多少? ? 例例3 設(shè)某種動物由出生算起活到設(shè)某種動物由出生算起活到 20 年以上的概年以上的概率為率為0.8，活到，活到 25 年以上的概率為年以上的概率為 0.4. 問現(xiàn)年問現(xiàn)年 20 歲歲的這種動物，它能活到的這種動物，它能活到 25 歲以上的概率是多少？歲以上的概率

14、是多少？解解 設(shè)設(shè)A = 能活能活20年以上年以上，B = 能活能活25年以上年以上依題意，依題意， P(A) = 0.8, P(B) = 0.4所求為所求為 P(B|A) .)()()|(APABPABP 5 . 08 . 04 . 0)()( APBP .|APABPABCPABCP 多個事件的乘法公式多個事件的乘法公式設(shè)設(shè) A，B，C為三個事件，且為三個事件，且 P(AB) 0，則，則乘法公式應(yīng)用舉例乘法公式應(yīng)用舉例 一個罐子中包含一個罐子中包含 b 個白球和個白球和 r 個紅球個紅球. 隨機隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進進 c

15、 個與所抽出的球具有相同顏色的球個與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)這種手續(xù)進行四次進行四次 ，試求第一、二次取到白球且第三、四，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率次取到紅球的概率. （波里亞罐子模型）（波里亞罐子模型）b個白球個白球, r個紅球個紅球于是于是 W1W2R3R4 表示事件表示事件“連續(xù)取四個球，第一、連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球第二個是白球，第三、四個是紅球. ” b個白球個白球, r個紅球個紅球 隨機取一個球，觀看顏色后放隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進回罐中，并且再加進 c 個與所抽出個與所抽出的球具有相同顏色的球的球具

16、有相同顏色的球. 解解 設(shè)設(shè) Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是紅球次取出是紅球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 當當 c 0 時，由于每次取出球后會增加下一次時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 這是一個這是一個傳染病模型傳染病模型. 每次每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4) 一場精彩的足球賽將要舉行一場精彩

17、的足球賽將要舉行, 5個個球迷好不容易才搞到一張入場券。大球迷好不容易才搞到一張入場券。大家都想去家都想去,只好用抽簽的方法來解決。只好用抽簽的方法來解決。入場入場券券5 張同樣的卡片張同樣的卡片,只有一張上寫有只有一張上寫有“入場券入場券”,其余的其余的什么也沒寫什么也沒寫. 將它們放在一起將它們放在一起,洗勻洗勻,讓讓 5 個人依次抽個人依次抽取取.后抽比先抽的確實吃虧嗎？后抽比先抽的確實吃虧嗎？ 我們用我們用Ai表示表示“第第i個人抽到入場券個人抽到入場券” i1,2,3,4,5.顯然，顯然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1個人抽到入場券的概率是個人抽到入場券的概率是1/5.

18、iA則則 表示表示“第第i個人未抽到入場券個人未抽到入場券”因為第因為第 2 2 個人抽到入場券，個人抽到入場券，第第 1 1 個人肯定沒抽到個人肯定沒抽到. .也就是要想第也就是要想第2個人抽到入場券，必須第個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，個人未抽到，計算得：計算得：122AAA 由于由于)|()()()(121122AAPAPAAPAP 由乘法公式由乘法公式 P(A2) = (4/5)(1/4) = 1/5?)|()(?)()(122212AAPAPAAPAP )|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答這就是有關(guān)抽簽順序

19、問題的正確解答. 同理，第同理，第 3 個人要抽到個人要抽到“入場券入場券”，必須第，必須第 1、第第 2 個人都沒有抽到。個人都沒有抽到。 因此因此繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到每個人抽到“入場券入場券” 的概的概率都是率都是1/5.抽簽不必爭先恐后抽簽不必爭先恐后.也就是說，也就是說，P(A3) = (4/5)(3/4) (1/3) = 1/5例例4 設(shè)袋中有設(shè)袋中有 5 個紅球，個紅球，3 個黑球，個黑球，2 個白球，試按個白球，試按（1）有放回抽樣；（）有放回抽樣；（2）不放回抽樣兩種方式摸球三次）不放回抽樣兩種方式摸球三次每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。每

20、次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。解：設(shè)解：設(shè) A = 第一次未摸得白球第一次未摸得白球 ； B = 第二次未摸得白球第二次未摸得白球 ； C = 第三次摸到白球第三次摸到白球 ；則，事件則，事件“第三次才摸得白球第三次才摸得白球”可表為可表為 ABC。（1）有放回抽樣）有放回抽樣108)( AP108)|( ABP102)|( ABCP APABPABCPABCP| 108108102 . 12516 （2）不放回抽樣）不放回抽樣108)( AP98)|( ABP82)|( ABCP APABPABCPABCP| 457 1089782 . 321AAAB 321AAAPBP 21312

21、1|AAAPAAPAP 10911071211 . 2003 例例5 設(shè)某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下打破的概設(shè)某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下打破的概率為率為 0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是 0.7，若前兩次均未打破，第三次落下打破的概率為，若前兩次均未打破，第三次落下打破的概率為 0.9。試。試求透鏡落下三次未打破的概率。求透鏡落下三次未打破的概率。解：設(shè)解：設(shè) Ai = 透鏡第透鏡第 i 次落下打破次落下打破 ，i = 1, 2, 3, B = 透鏡落下三次未打破透鏡落下三次未打破 ， 則則 由由于于 , 321211

22、AAAAAAB , 321211AAAAAA并并且且 , 故故有有為為兩兩兩兩不不相相容容事事件件 321211AAAAAAPBP 321211AAAPAAPAP 213121121|21AAAPAAPAPAAPAP 21 107211 1091071211 . 200197 20019711 BPBP所以所以 . 2003 另解：另解：例例6100 件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有 5 件廢品。不放回抽件廢品。不放回抽樣檢查，若抽查樣檢查，若抽查 5 件至少有一件廢品，則拒件至少有一件廢品，則拒購這批產(chǎn)品，求拒購概率。購這批產(chǎn)品，求拒購概率。 54321AAAAAB 54321543211AAAAA

23、PAAAAAPBP 432153214213121|AAAAAPAAAAPAAAPAAPAP 9691979298939994100951 32 . 0 解：設(shè)解：設(shè) Ai = 第第 i 次沒抽到廢品次沒抽到廢品 ，i = 1, 2, 3, 4, 5 B = 至少抽到一件廢品至少抽到一件廢品 ， 則則 第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率 例題 第一車間的次品率為第一車間的次品率為 0.15，第二車間的次品率為，第二車間的次品率為 0.12。兩車間的產(chǎn)品分別有。兩車間的產(chǎn)品分別有 2000 件和件和 3000 件，件，混放在倉庫里，問：混放在倉庫里，問：1.1.在倉庫里隨機取一件成品，其

24、次品率是多少？在倉庫里隨機取一件成品，其次品率是多少？2.2.若取到一件次品，由一車間生產(chǎn)的概率是多少？若取到一件次品，由一車間生產(chǎn)的概率是多少？12. 05000300015. 050002000 p全廠的次品概率全廠的次品概率 = 各車間的次品概率的加權(quán)和各車間的次品概率的加權(quán)和第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率 例題從倉庫里隨機取一件成品：從倉庫里隨機取一件成品：設(shè)事件設(shè)事件 A1，A2 分別為一、二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品；分別為一、二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品； 事件事件 B 為該產(chǎn)品是次品。為該產(chǎn)品是次品。一車間的產(chǎn)品占一車間的產(chǎn)品占 P(A1) = 0.4，次品率，次品率 P(B|A1) =

25、0.15二車間的產(chǎn)品占二車間的產(chǎn)品占 P(A2) = 0.6，次品率，次品率 P(B|A2) = 0.12第一問求第一問求 P(B)，第二問求，第二問求 P(A1|B). .B 次品次品A1 一車間一車間A2 二車間二車間P(B) 藍色的面積藍色的面積P(A1|B) 藍色中上一塊所占的比藍色中上一塊所占的比P(B|A1) 橙色中藍色所占的比橙色中藍色所占的比2000300015%12%第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率全概率公式全概率公式設(shè)事件設(shè)事件 A1, ,A2 互不相容，互不相容，P(A1) 0，P(A2) 0，且，且 B A1A2，P(B) = P( B(A1 A2) )= P

26、(BA1) + P(BA2) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) 先將復(fù)雜的事件先將復(fù)雜的事件 B 分解為較簡單的事件分解為較簡單的事件 A1B 與與 A2B ; 再加再加法法則與乘法法法法則與乘法法, 計算出需要求的概率計算出需要求的概率. 這這稱全概率公式稱全概率公式.例例 有有 12 個乒乓球都是新球個乒乓球都是新球, 每次比賽時取出每次比賽時取出 3 個用完后放回個用完后放回, 求第求第3 次比賽時取到的次比賽時取到的 3 個球都是新球的概率。個球都是新球的概率。 因為一開始都是新球因為一開始都是新球, 因此第一次只能取到因此第一次只能取到 3 個新個新球，

27、當?shù)诙稳∏虻臅r候球，當?shù)诙稳∏虻臅r候, 12 個乒乓球中必然有個乒乓球中必然有 3 個舊球。個舊球。 假設(shè)假設(shè) B0, B1, B2, B3 為第二次取到為第二次取到 0 個個, 1 個個, 2 個個 3 個新球個新球, 而而 B0, B1, B2, B3 構(gòu)成完備事件組，并構(gòu)成完備事件組，并能夠求出它們的概率。能夠求出它們的概率。 再假設(shè)再假設(shè) C3 為第三次取到為第三次取到 3 個新球的事件，則針對個新球的事件，則針對 C3 使用全概率公式。使用全概率公式。解：解：)3 , 2 , 1 , 0()(22084)(,220108)(22027)(,2201)(31233931239331

28、21329231223191312330 iCCCBPCCBPCCCBPCCCBPCCBPiii)3 , 2 , 1 , 0()|(312393 iCCBCPii146. 02202022084220352201082205622027220842201)|()()(3033 iiiBCPBPCP全概率公式全概率公式第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率貝葉斯公式貝葉斯公式設(shè)事件設(shè)事件 A1, A2 互不相容，互不相容，P(A1) 0，P(A2) 0，且，且 B A1A2，則有，則有（逆概率公式）（逆概率公式）_P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)P(A1)P(B|A1)

29、P(A1|B) =)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP 第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率 例題例題 診斷肝癌問題診斷肝癌問題 已知肝癌患者已知肝癌患者0.950.95能被診斷出來，非肝癌患者能被診斷出來，非肝癌患者0.990.99會被會被排除有病，而肝癌患者約占排除有病，而肝癌患者約占0.0040.004。問：診斷出患有肝癌的。問：診斷出患有肝癌的人中確有肝癌的概率是多少？人中確有肝癌的概率是多少？設(shè)設(shè) C = “ “的確患有肝癌的確患有肝癌”， A = “ “診斷有肝癌診斷有肝癌”。則則 P(A|C) = 0.95, P(A|C) = 0.99, P(

30、C) = 0.004P(A) = P(A|C)*P(C) + P(A|C)*P(C) = 0.95*0.004 + 0.01*0.996 = 0.01376P(C|A) = P(A|C) P(C) / P(A) = 0.95*0.004 / 0.01376 = 0.276第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率全概率公式、貝葉斯公式全概率公式、貝葉斯公式1 1甲乙丙三人獨立地同時瞄準飛機射擊，擊中的甲乙丙三人獨立地同時瞄準飛機射擊，擊中的概率均為概率均為 2/3. 2/3. 飛機遭一擊而落的概率為飛機遭一擊而落的概率為 1/61/6，遭兩，遭兩擊而落的概率為擊而落的概率為 1/21/2，遭三

31、擊則必落。，遭三擊則必落。 求飛機可被求飛機可被擊落的概率。擊落的概率。2 2男人中的男人中的 4% 4% 以及女人中的以及女人中的 0.25% 0.25% 都為色盲。都為色盲。從男女相等的人群中隨機挑出一人恰好是色盲，問從男女相等的人群中隨機挑出一人恰好是色盲，問其是男性的概率是多少？其是男性的概率是多少？練習練習例例3 經(jīng)分析利率下調(diào)的概率為經(jīng)分析利率下調(diào)的概率為 60%, 利率不變的概利率不變的概率為率為 40%。如利率下調(diào)。如利率下調(diào), 股價上漲的概率為股價上漲的概率為 80%, 而而在利率不變的情況下在利率不變的情況下, 股價上漲的概率為股價上漲的概率為 40%。求股。求股價上漲的概

32、率。價上漲的概率。解：解： 記記 A為事件為事件“利率下調(diào)利率下調(diào)”, 則則 A 為為“利率不利率不變變, 記記 B 為事件為事件股價上漲股價上漲. 據(jù)題設(shè)知據(jù)題設(shè)知P(A) = 60%,P( A ) = 40%,P(B | A) = 80%,P( B | A) = 40%.于是于是 P(B) = P(AB) + P( AB )= P(A)P(B|A)+P( A )P( B | A )= 0.6 0.8+0.4 0.4 = 0.64.例例4 對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明, 當機器調(diào)整良好時當機器調(diào)整良好時, 產(chǎn)品的合產(chǎn)品的合格率為格率為98%, 而當機器發(fā)生某種故障時而當機器發(fā)

33、生某種故障時, 其合格率為其合格率為55%. 每每天早上機器開動時天早上機器開動時, 機器調(diào)整良好的概率為機器調(diào)整良好的概率為95%. 試求已知某試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時日早上第一件產(chǎn)品是合格時, 機器調(diào)整良好的概率是多少機器調(diào)整良好的概率是多少?解解 設(shè)設(shè) A為事件為事件“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”, B 為事件為事件“機器調(diào)整良好機器調(diào)整良好”。 已知已知 P(A|B) = 0.98, P(A| B) = 0.55, P(B) = 0.95, P( B) = 0.05, 所需求的概率為所需求的概率為 P(B|A)。則。則05. 055. 095. 098. 095. 098. 0)()|

34、()()|()()|()|( BPBAPBPBAPBPBAPABP第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率相互獨立事件相互獨立事件若若 P(AB) = P(A) P(B)，則稱事件，則稱事件 A 與與 B 相互獨立相互獨立充要條件充要條件：P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B)例，例，A = “ “概率學得好的同學概率學得好的同學” B = “ “籃球打得好的同學籃球打得好的同學” 事件事件 A 與與 B 相互獨立相互獨立ABB在在A和和A的補里面的的補里面的比例分配相同比例分配相同相互獨立事件相互獨立事件B若事件若事件 A 與與 B 相互獨立，則相互獨立，則 A 與與

35、 也相互獨立。也相互獨立。P(A) 0, P(B) 0, 事件事件 A, B 相互獨立與互不相容相互獨立與互不相容不能同時成立。不能同時成立。第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率)()()()()()()()()(BPAPBPAPAPABPAPBAPBAP 0)()(0)()()( PABPBPAPABP當當 A，B 相互獨立相互獨立當當 A，B 互不相容互不相容A第一章第一章 隨機事件的概率隨機事件的概率相互獨立事件相互獨立事件事件事件 A, B, C 相互獨立相互獨立： P(ABC) = P(A)P(B)P(C)P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C) 事件事件 A, B, C 兩兩相互獨立兩兩相互獨立，例如：擲兩枚骰子例如：擲兩枚骰子A “ “