王清林畢業(yè)論文

1、本科畢業(yè)設(shè)計（論文）不等式的證明與應(yīng)用 學(xué) 院_應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院_ 專 業(yè)_信息與計算科學(xué)_ 年級班別_2010級（2）班_ （信息計算方向） 學(xué) 號_ 3110008342_ 學(xué)生姓名_王清林_ 指導(dǎo)教師 李建平 2014年5月30日摘 要在數(shù)學(xué)中不等式十分重要，而不等式的證明則是不等式知識的重要組成部分。在本文中，初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、構(gòu)造法等等。在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫爾德不等式、絕對值不等式、伯努利不等式等等。通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實

2、際應(yīng)用問題。關(guān)鍵詞 不等式；比較法；著名不等式；應(yīng)用AbstractInequality is very important in mathematics, inequality and proof is an important part of knowledge. In this paper, the elementary mathematics inequality analyst is often used with comparison method, synthetic method, analysis method, the reduction to absurdity, zoo

3、m method, mathematical induction, change element method, construction method and so on. In higher mathematics inequality analyst frequently use some famous inequalities, such as: average inequality, cauchy inequality, Jensen's inequality,holder inequality, inequality of absolute value, Bernoulli

4、 inequality and so on. By studying these proofs, can help us to solve some problems in practical application.Key words inequality; comparison method; famous inequalities; application 目 錄1 緒論.1 1.1 不等式的研究背景.1 1.2 不等式的研究方法和目的.3 1.3 論文的研究內(nèi)容.42 不等式及其性質(zhì).5 2.1 不等式的基本概念.5 2.2 不等式的性質(zhì).53 不等式的證明方法.6 3.1 比較法.6

5、 3.1.1 差值比較法.63.1.2 商值比較法.63.2 綜合法.73.3 分析法.73.4 反證法.83.5 放縮法.83.6 數(shù)學(xué)歸納法.93.7 換元法.93.7.1 幾何換元法.93.7.2 利用對稱性換元，化繁為簡.103.7.3 增量換元法.10 3.7.4 三角換元法.11 3.7.5 均值換元法.11 3.7.6 向量換元法.12 3.7.7 和差換元.12 3.7.8 局部換元.133.8 構(gòu)造法.13 3.8.1 構(gòu)造函數(shù).13 3.8.2 構(gòu)造方程.133.8.3 構(gòu)造圖形.14 3.8.4 構(gòu)造數(shù)列.14 3.8.5 構(gòu)造向量.153.9 應(yīng)用不等式證明不等式.16

6、3.9.1 均值不等式.16 3.9.2 柯西不等式.163.9.3 詹森不等式.17 3.9.4 赫爾德不等式.17 3.9.5 絕對值不等式.18 3.9.6 伯努利不等式.184 不等式的應(yīng)用204.1 解不等式(組).204.2 求函數(shù)的定義域.204.3 求函數(shù)的值域.214.4 求函數(shù)的最值.214.5 確定函數(shù)的有界性.224.6 討論函數(shù)的單調(diào)性.224.7 證明極限.234.8 求解析幾何的范圍.24結(jié)束語.25參考文獻(xiàn).26致謝.281 緒論1.1 不等式的研究背景不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個重要組成部分，它是刻畫現(xiàn)實世界中不等式關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，反映了事物在量上的區(qū)別，是研究

7、數(shù)量大小關(guān)系的必備知識，是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和和其他學(xué)科的基礎(chǔ)和工具。數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家。目前，對不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍布世界各個國家。在數(shù)學(xué)不等式理論發(fā)展史上有兩個具有分水嶺意義的事情，分別是：Chebycheff在1882年發(fā)表的論文和1928年Hardy任倫敦數(shù)學(xué)會主席屆滿時的演講，Hardy，Littlewood和Polya的著作Inequalities的前言中對不等式的哲學(xué)(philosophy)給出了有見地的見解：一般來講初等的不等式應(yīng)該有初等的證明，證明，證明應(yīng)該是“內(nèi)在的”，而且應(yīng)該給出等號成立的證明(

8、Generally an inequality that is elementary should be given an elementary proof，the proof should be “inside” the theory it belongs to，and finally the proof should try to settle the cases of equality )。A.M.Fink認(rèn)為，人們應(yīng)該盡量陳述和證明不能推廣的不等式(One should try to state and prove an inequality so that it cannot be

9、generalized)。Hardy認(rèn)為，基本的不等式是初等的(The fundamental inequalities are elementary)。自從著名數(shù)學(xué)家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G. Polyad的著作Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以來，數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究正式粉墨登場，成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合，它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。20世紀(jì)70年代以來，國際上每四年在德國召開一次一般不等式(General Inequalities)國際學(xué)術(shù)會

10、議，并出版專門的會議文集。不等式的理論也是2000年在意大利召開的第三屆世界非線性分析學(xué)家大會(“The Third World Congress of Nonlinear Analyses”)(WCNA-2000)的主題之一。2000和2001年在韓國召開的第六屆和第七屆非線性泛函數(shù)分析和應(yīng)用國際會議(International Conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications)與2000年在我國大連理工大學(xué)召開的ISAAC都將數(shù)學(xué)不等式理論作為主要的議題安排在會議日程之中。2001年的不等式國際會議INEQUALITI

11、ES于2001年7月9日至14日在羅馬尼亞University of the West召開。歷史上，華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域做出過重要貢獻(xiàn)，包括華羅庚、樊畿、林東坡、徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家。最近幾年我國有許多數(shù)學(xué)工作者始終活躍在國際數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的領(lǐng)域，他們在相關(guān)方面做出了獨特的貢獻(xiàn)，引起了國內(nèi)外同行的注意和重視。例如王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、高明哲教授、張晗方教授、楊國勝教授等。20世紀(jì)80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀(jì)80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授

12、對Fan ky不等式的深入研究達(dá)到國際領(lǐng)先水平。祁峰教授及其所領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在中國科學(xué)上的論文一個不等式及其若干應(yīng)用5，針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數(shù)學(xué)評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱之為胡克(HK)不等式。胡克教授對這個不等式及其應(yīng)用作了系統(tǒng)二深刻的研究。目前我國關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌先生的專著常用不等式一書由于供不應(yīng)求，在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第二版，重印過多次。對于數(shù)學(xué)專著來講，這是少有的現(xiàn)象。第二本較有影響的專著是王松桂

13、和賈忠貞合著的矩陣論中不等式。另外，國內(nèi)還有一個不等式研究小組比較活躍，主辦一個不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物，數(shù)學(xué)家楊路先生任顧問。綜上所述，數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機、興旺發(fā)達(dá)，已有突飛猛進(jìn)的發(fā)展。不等式廣泛用于自然科學(xué)、工程科學(xué)、國民經(jīng)濟(jì)(如金融、管理等)、人文社會科學(xué)(如語言學(xué)、心理學(xué)、歷史、文學(xué)、藝術(shù)等)相關(guān)學(xué)科。則學(xué)生對不等式知識積累的多少，不等式知識的學(xué)習(xí)，將直接影響到其他數(shù)學(xué)內(nèi)容及相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)。因此，學(xué)習(xí)不等式是很有必要的。1.2 不等式的研究方法和目的方法：文獻(xiàn)研究法：對國內(nèi)外的比較有代表性的研究成果進(jìn)行全面的研究分析，主要查閱期刊網(wǎng)中的文獻(xiàn)及相關(guān)著述的書籍，進(jìn)而把握不等式在

14、數(shù)學(xué)中的證明與應(yīng)用。描述性研究法：結(jié)合所學(xué)知識，對不等式的證明與應(yīng)用進(jìn)行分析，然后進(jìn)行歸納和整理。目的：在有關(guān)高等數(shù)學(xué)書中，不等式的類型和解題方法有很多，解題時往往選擇不到最有效的方法。如何針對不同類型的不等式，選擇最有效的解題方法，也就尤為重要。與此同時，對不等式歸納、總結(jié)的教材和論文并不是很多，加之有些問題的處理并不完善，所以對不等式證明的方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，并結(jié)合具體實例進(jìn)行探討是非常有必要的。其一，本文完善了不等式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究，通過對不等式的學(xué)習(xí)，能夠增強學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)問題的能力，同時掌握數(shù)學(xué)問題的立足點和基本思想。其二，通過本論文的研究，希望為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一定的參考價值，論文

15、系統(tǒng)地描述了部分不等式的證明與應(yīng)用。最后，通過不等式應(yīng)用探究，增強學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和掌握如何應(yīng)用結(jié)論的基本方法，并培養(yǎng)學(xué)生看問題、想問題和解決問題的思維。1.3 論文的研究內(nèi)容不等式是數(shù)學(xué)研究的一個基本問題，不等式的思想也貫穿在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，在許多方面都有應(yīng)用，所以有效的證明不等式很重要。雖然在“數(shù)學(xué)分析”和許多論文中都有不等式的相關(guān)內(nèi)容，但僅限于某個知識領(lǐng)域的應(yīng)用，并沒有對不等式證明方法及應(yīng)用進(jìn)行全面系統(tǒng)的概括和總結(jié)，所以在此將對不等式證明的常用方法、一些著名不等式的具體應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，以便對不等式有進(jìn)一步的理解和認(rèn)識。本文僅總結(jié)了本人較熟悉的不等式，對它們進(jìn)行證明和一些應(yīng)用。本

16、文參考了許多圖書、期刊及學(xué)術(shù)論文，將不等式的證明與應(yīng)用系統(tǒng)地敘述出來。第1章介紹全文的研究背景、研究方法和目的、研究內(nèi)容。第2章介紹了不等式及其性質(zhì)第3章歸納了不等式證明第4章總結(jié)了不等式的應(yīng)用2 不等式及其性質(zhì)作為表達(dá)同類量之間的大小關(guān)系的一種數(shù)學(xué)形式，不等式必須在定義了大小關(guān)系的有序數(shù)集上研究，一般在實數(shù)域(有時在有理數(shù)域) 上討論。由于復(fù)數(shù)域內(nèi)無法定義大小關(guān)系，所以復(fù)數(shù)域與不等式“無緣”。2.1 不等式的基本概念定義1 用不等號連結(jié)兩個解析式所成的式子，叫做不等式。常用的不等式有兩類：“>”和“<”，叫做嚴(yán)格不等式；“”和“”叫做非嚴(yán)格不等式。下面引進(jìn)一個特殊符號“”，它表示

17、“>”、“<”中的任意一種；有時還使用“”，表示與同一命題中的“”相反的不等式。定義2 形如的式子，叫做關(guān)于變元(或未知元)的不等式。2.2 不等式的性質(zhì)不等式的主要性質(zhì)可概括如下：(1) (對逆性)若，則；反之，若，則。(2) (傳遞性) 若，則。(3) (加法單調(diào)性)若，則。(4) (乘法單調(diào)性) 若，則；若，則。(5) (相加法則)若，則。(6) (相減法則)若，則。(7) (相乘法則)若，則。(8) (相除法則)若，則。(9) (乘方法則)設(shè)，若，整數(shù)，則。(10) (開方法則)設(shè)，若，整數(shù)，則。3 不等式的證明方法不等式的證明方法多種多樣，以下列舉了一些常用方法，并舉例說

18、明。3.1 比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一。比較法是直接作出所求證不等式兩邊的差(或商)，然后推演結(jié)論的方法，可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。3.1.1 差值比較法比較兩個實數(shù)、的大小時，根據(jù)，欲證 ，只需證。它的應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法。例1 已知：，求證： 。證明 因為，則故得 。3.1.2 商值比較法一般在，均為正數(shù)時，借助或來判斷其大小，步驟為：作商變形判斷（大于1或小于1）。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。例2 設(shè)，求證：。證明 因為 所以 ，而 故 。3

19、.2 綜合法綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?，逐步推出“結(jié)論”。例3已知，求證：證明 因 則 1= 又因為 故 。3.3 分析法從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。例4 已知、為正數(shù)，求證：證明 要證：只需證： 即：因為 成立故原不等式成立。3.4 反證法先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾

20、，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的。例5 已知，是大于1的整數(shù)，求證：.證明 假設(shè) 則 即 故 這與已知矛盾，所以。3.5 放縮法在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項（或負(fù)項）而使不等式的各項之和變?。ɑ蜃兇螅虬押停ɑ蚍e）里的各項換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達(dá)到證明的目的.值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭.常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。例6 求證： 證明 故得證。3.6 數(shù)學(xué)歸納法對于含有的不等式，當(dāng)取第一個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設(shè)下，

21、還能證明不等式在時也成立，那么肯定這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立。例7 證明不等式.證明（1）當(dāng)時，左邊=1，右邊=2，左邊<右邊，不等式成立。（2）假設(shè)時，不等式成立，即。那么當(dāng)時， 這就是說，當(dāng)時，不等式成立。由（1）（2）可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立。3.7 換元法 在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化。3.7.1 幾何換元法例8 設(shè)是三角形的三邊長，求證。證明 ，其中均大于0，則欲證的不等式等價于而證畢。在ABC中，內(nèi)切圓交AB、BC、CA分別于D、E、F，如圖，則可設(shè)，其中均大于0，幾何換元法能達(dá)到利用等式反映出三角形任意

22、兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系的功效。3.7.2利用對稱性換元，化繁為簡例9 設(shè)，求證：。證明 令則 ,原不等式可化為:,將代入上式得:,又由已知條件可知,成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。3.7.3 增量換元法若一變量在某一常量附件變化時，可設(shè)這一變量為該常量加上另一個變量。例10 n個正數(shù)他們的和是1，求證證明 利用增量代換可設(shè)，3.7.4 三角換元法指將不等式中的字母換成角的三角函數(shù)形式再用三角知識解題。例11 已知，求證： 證明 由，可設(shè)則3.7.5均值換元法例12 已知且，求證：。證明 因為且所以設(shè) 則 即原不等式得證。3.7.6 向量換元法 利用來考慮問題的一種方法。例13 設(shè)

23、任意實數(shù)滿足，求證： 證明 設(shè)，則有由，再兩邊平方得所以即3.7.7 和差換元 在題中有兩個變量，可設(shè)，這稱為和差換元法。例14 對任意實數(shù)，求證證明 設(shè)只需證則右邊-左邊成立所以即3.7.8 局部換元例15 已知，求證：證明 令，則所要證的不等式等價于，即等價于成立則得證3.8 構(gòu)造法 通過構(gòu)造函數(shù)、方程、圖形、數(shù)列、向量等來證明不等式。3.8.1 構(gòu)造函數(shù)（三角代換法）借助三角變換，在證題中可使某些問題變易。例16 已知：，求證：。證明 原式可化為令，則 不等式得證。 3.8.2 構(gòu)造方程（判別式法）通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明

24、的不等式。例17 已知，求證：。證明 構(gòu)造 則 由知： 有兩個不等的實數(shù)根 所以當(dāng)時，顯然成立。故不等式得證。3.8.3 構(gòu)造圖形（借助幾何法）借助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。例18 已知：，且，求證：。證明 (如圖)以為斜邊，為直角邊作.延長AB至D，使，延長AC至E，使，過C作AD的平行線交DE于F，則，令，所以 又，即，所以 。 3.8.4 構(gòu)造數(shù)列 根據(jù)題目的具體結(jié)構(gòu)與特點，構(gòu)造數(shù)列來證明。例19 證明對于一切大于1的正整數(shù)n，有證明 構(gòu)造數(shù)列 因為 所以數(shù)列為遞增數(shù)列，又因為n是大于1的正整數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。故原不等式成立。3.8.5 構(gòu)造向量有一類分式

25、不等式可通過構(gòu)造向量并利用來證明。例20 已知，試證。證明 構(gòu)造向量 由有 平方整理后，可得 故不等式得證。 在不等式證明中，利用已知不等式常能收到事半功倍的效果。以下討論幾個數(shù)學(xué)中廣泛使用的著名不等式。3.9 應(yīng)用不等式證明不等式3.9.1 均值不等式一般地，假設(shè)為n個非負(fù)實數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為，幾何平均值記為 算術(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系： 即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。例21 已知a，b，c為互不相等的正數(shù)，且，求證：證明 因為故原不等式得證。3.9.2 柯西不等式對任意兩組實數(shù),有，當(dāng)且僅當(dāng)與對應(yīng)成比例，即時等號成立。例22 證明不等式：證明 因為， 根據(jù)柯西不等式，可得 把

26、上述兩個不等式相加，再除以 即可得成立。3.9.3 詹森不等式若為上凸函數(shù)，則對任意，有 例23 證明不等式，其中均為正數(shù).證明 設(shè) 由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可見，在時為嚴(yán)格凸函數(shù).依詹森不等式有從而即又因所以 3.9.4 赫爾德不等式對任意的非負(fù)數(shù)有 其中,滿足，其中當(dāng)且僅當(dāng)成比例時取等號。例24 設(shè)為正常數(shù)，求證： 證明 即3.9.5 絕對值不等式例25 已知求證證明 因為，所以故得證。3.9.6 伯努利不等式對實數(shù)，在或時，有成立；在時，。例26 設(shè)是自然數(shù)，證明：證明 等式兩邊同時除以得：而則所以得證。4 不等式的應(yīng)用 不等式理論在數(shù)學(xué)研究和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要介紹解不等式(組

27、)，運用不等式求函數(shù)的定義域、值域，求解函數(shù)的最值，研究函數(shù)的有界性和單調(diào)性，解決極限問題，解析幾何的范圍。4.1 解不等式(組)不等式的解法可以與方程的解法作類比，只是方程的解集通常是離散的，而且在許多情形下只含有限多個數(shù)值解；而不等式的解集通常是連續(xù)的，往往以區(qū)間形式給出，含有無限多個數(shù)值解。例27 解不等式解 原不等式同解于下面的不等式組:即也就是所以，原不等式的解集為4.2 求函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域在原問題沒有指明的情況下，就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的容許值集合。例28 求函數(shù)的定義域解 滿足解不等式組，得所以函數(shù)的定義域為4.3求函數(shù)的值域 函數(shù)的值域是對應(yīng)于函數(shù)定義域的函數(shù)值

28、集合。例29 求函數(shù)的值域解 原式中，將原式化為解出，得上式的定義域是因此，所給函數(shù)的值域是4.4 求函數(shù)的最值 由不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可通過此不等式求最值問題。例30 求函數(shù)的最小值解 因為所以當(dāng)時，有最小值4。4.5 確定函數(shù)的有界性 若存在正數(shù)M，對于函數(shù)的定義域(或其子集)內(nèi)的一切值都有成立，那么叫做在定義域(或其子集)上的有界函數(shù)；否則這個函數(shù)就是無界的。例31 證明函數(shù)是有界函數(shù)證明 的定義域為R，當(dāng)2R時，因此，是有界函數(shù)。4.6 討論函數(shù)的單調(diào)性對于給定區(qū)間E上的函數(shù)，如果對于任意，有，則稱在區(qū)間上是增函數(shù)(或者說是單調(diào)遞增的)。反之，如果，則稱在區(qū)間上是減函數(shù)(或者說是

29、單調(diào)遞減的)。例32 討論函數(shù)的單調(diào)性解 函數(shù)的定義域是，當(dāng)時， 因為，所以的正負(fù)取決于的正負(fù)。1 當(dāng)時，有所以則2 當(dāng)時，有 則3 當(dāng)時，有 則。4 當(dāng)，有則。因此，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)。4.7 證明極限不等式在極限證明中有許多運用。例33 證明證明 令，則；由伯努利不等式得或現(xiàn)任給正數(shù)，由上式可見當(dāng)時，有，即4.8 求解析幾何的范圍 解析幾何的范圍問題主要指直線或圓錐曲線以及兩者位置關(guān)系中字母參數(shù)的范圍。例34 已知是過點的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩個交點，分別為，求的斜率的取值范圍。解 設(shè)直線的斜率為，由條件易知，則直線的斜率為，直線的方程為：并代入雙曲線方程

30、得： (1)由與雙曲線有兩交點，方程(1)中得，以去換得所以即且，故取值范圍是。結(jié)束語 本論文將多種常見的不等式的證明方法列出，并列舉了幾種著名不等式證明不等式方法，這僅僅是我所熟知的一些不等式證明方法。不同的不等式有不同的證明方法，每一種證明方法都有例題說明，在于更好地分析不等式的證明方法。證明不等式時，應(yīng)全面分析、思考問題，文中的證明方法可以解決部分題型；而有的題型認(rèn)真研究可化為熟悉的題型來解決。不等式的證明中，有些題型有多重求解方法，應(yīng)該研究分析，爭取用最合適的證明方法使證明過程簡化，讓讀者容易明白。不等式的應(yīng)用中，敘述了一些不等式在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)應(yīng)用，這樣對不等式的認(rèn)識會更加清晰。參考文

31、獻(xiàn)1 祁峰.淺談數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用J.焦作大學(xué)學(xué)報，2003，(2)：59-64.2 李長明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究M.北京:高等教育出版社,1995：252-263.3 肖麗娜.不等式的幾種證明方法J.中國電子商務(wù)，2012，(5)：141-142.4 韓新生.激勵_討論_發(fā)現(xiàn)_分析法證明不等式J.中學(xué)數(shù)學(xué)，2003，(3)：26-28.5 周順鈿.用反證法證明不等式J.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004，(4)：35-36.6 張淑英.用放縮法證明不等式J.學(xué)周刊C版,2011，(3)：134.7 劉艷.數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用J.山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報，2011，19(3)：135-137.8 柳思彤，魏春強.例談用換元法證明不等式J.大觀周刊，2012，(27)：159-160.9 鄔炬.例談不等式證明的幾種特殊方法J.商情，2009，(21)：75.10 胡如松.垂足三角形的幾個有趣性質(zhì)及其猜想J.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2004,(5):23-25.11 陳炳堂