熱學課件：第1章 導論4

1、二、單位時間內(nèi)碰在單位面積器壁上的平均分子數(shù) 處于平衡態(tài)下的理想氣體在單位時間內(nèi)碰撞在單位面積上的平均分子數(shù)稱為氣體分子碰撞頻率或氣體分子碰壁數(shù)，以 表示。 若氣體分子數(shù)密度為n，按照分子混沌性假設，單位體積中垂直指向長方形容器任一器壁運動的平均分子數(shù)均為 。每一分子均以平均速率 運動所以單位時間內(nèi)碰在單位面積器壁上的平均分子數(shù)(沒考慮速度分布) 用較嚴密的方法導出，所得結果為 雖然上面推導中，假設容器的形狀是長方體，實際上上式可適于任何形狀的容器，只要其中理想氣體處于平衡態(tài)。例:設某氣體在標準狀況下的平均速率為 ,試分 別計算1s內(nèi)碰在1cm2面積及10-19m2面積器壁上的平均分子數(shù)。解:

2、 上述結果說明氣體分子碰撞器壁非常頻繁，即使在一個分子截面積的大小范圍內(nèi)（10-19m2），1s內(nèi)還平均碰上4.5108次。 (考慮速度分布) 說明:三、理想氣體壓強公式 假定，長方體容器的單位體積中均各有n/6個分子以平均速率向 6個方向運動，因而在單位時間內(nèi)垂直碰撞在單位面積器壁上的分子數(shù)為 早在1738年,伯努利(DBernoulli)就設想氣體壓強來自粒子碰撞器壁所產(chǎn)生的沖量，在歷史上首次建立了分子理論的基本概念。 器壁所受到的氣體壓強是單位時間內(nèi)大數(shù)分子頻繁碰撞器壁所給予單位面積器壁的平均總沖量。 與推導氣體分子碰壁數(shù)一樣，也可采用不同近似程度的模型來推導理想氣體壓強公式。 若每個分

3、子與器壁碰撞是完全彈性的，每次碰撞產(chǎn)生的動量改變 (即向器壁施予 的沖量)故注意:用較嚴密的方法所得到的氣體壓強公式仍然是(克勞修斯)說明1.平衡態(tài)，統(tǒng)計結果2. 分子間碰撞不影響 ?3. 速度分布 4. 另一模型下壓強公式推導:對任意形狀容器，計算氣體分子施于器壁的宏觀壓強.首先，考慮單個分子在一次碰撞中對面積元dS的作用. 第二步，計算dt時間內(nèi)速度為 的分子施于器壁的沖量.第三步，所有速度求和，得到各種速度的分子在dt內(nèi)對器壁面積元dS的總沖量.xdSvivixdtvidt( vix0 )第四步，氣體對器壁的宏觀壓強在數(shù)值上應等于大量氣體分子單位時間內(nèi)施于器壁單位面積上的平均沖量即所以而

4、 思考:比較兩種模型下的推導？四、氣體分子平均平動動能設 為每個氣體分子的平均平動動能（ 其中下標 t 表示平動），即 早在1857年，克勞修斯（Clausius）即得到這一重要關系式。 稱為理想氣體壓強公式，它們都分別表示了宏觀量（氣體壓強）與微觀量（氣體分子平均平動動能或方均速率）之間的關系。物理意義?說明五、理想氣體物態(tài)方程的另一形式 p= nkT理想氣體物態(tài)方程可改寫為 玻爾茲曼常量 。 雖然玻爾茲曼常量是從氣體普適常量中引出的，但其重要性卻遠超出氣體范疇，而可用于一切與熱相聯(lián)系的物理系統(tǒng)。玻爾茲曼常量k與其它普適常量e（基本電荷量）、G（引力常量）、c（光速）、h（普朗克常量）一樣，

5、都是具有特征性的常量 只要在任一公式或方程中出現(xiàn)某一普適常量，即可看出該方程具有與之對應的某方面特征。 例如凡出現(xiàn) k 即表示與熱物理學有關；出現(xiàn)e 表示與電學有關；出現(xiàn) G 表示與萬有引力有關；出現(xiàn)c表示與相對論有關；出現(xiàn) h 表示是量子問題等。六、溫度的微觀意義從微觀上理解，溫度是平衡態(tài)系統(tǒng)的微觀粒子熱運動程度強弱的度量。 分子熱運動平均平動動能與絕對溫度成正比。絕對溫度越高，分子熱運動越劇烈。絕對溫度是分子熱運動劇烈程度的度量，這是溫度的微觀意義所在。1.是分子雜亂無章熱運動的平均平動動能，它不包括整體定向運動動能。 說明2.粒子的平均熱運動動能與粒子質(zhì)量無關，而僅與溫度有關思考題: 容

6、器作勻速直線運動時，氣體的溫度改變嗎(為什么?)七、氣體分子的方均根速率分子的方均根速率例:試求T=273K時氫分子的方均根速率vrms及空氣分子的方均根速率vrms解:氫分子的方均根速率空氣分子的方均根速率求在多高溫度下，理想氣體分子的平均平動動能等于1 eV？例：電子伏特是近代物理中常用的一種能量單位，用eV表示.(是一個電子在電場中通過電勢差為1V 的區(qū)間時，電場力做功而獲得的能量)。 1eV1.60218921019J解：由此可知，1 eV的能量相當于7730K時的分子平均平動動能. 在氣體動理論中通常用因子kT表示熱運動的能量例如室溫290K時設氣體的溫度為T 時，其分子的平均平動動

7、能等于1 eV.思考題：氫原子基態(tài)電子具有-13.6eV能量，試問氫原子電離需要多高溫度的數(shù)量級。太陽中心的溫度為1.5107K，試問在太陽中心，氫原子將以什么形態(tài)出現(xiàn)?例：試求氫分子的方均根速率等于離開地球表面的逃逸速率時的溫度. 分子的方均根速率 ，當氫分子的方均根速率等于離開地球表面的逃逸速率 時，解：由可解出 1.7 分子間作用力勢能與真實氣體物態(tài)方程 由玻意耳定律知, 當T不變時pV=常量。若以 為縱坐標，p為橫坐標畫出等溫線，這些等溫線都平行于橫軸，然而實驗結果并非如此。 這是因為分子固有體積及分子之間的相互作用力不能忽略所致。 一、分子作用力曲線（intermolecular a

8、ction force curve）在r=r0時分子力為零，相當于兩分子剛好“接觸”。 l 當rr0時,兩分子在受到 “擠壓”過程中產(chǎn)生強斥力，這時F（r）0且隨r0減少而劇烈增大。 l當rr0時兩分子分離，產(chǎn)生吸引力，F(xiàn)（r）0。當r超過某一數(shù)值時R0，F(xiàn)（r）即接近于零，R0就是分子間引力作用半徑，簡稱吸引力作用半徑。 R0R02r0分子力是一種保守力 在rr0處，F(xiàn)(r)0，勢能曲線斜率是正的，這時是吸引力。 如右圖所示。在平衡位置 r=r0處，分子力F(r)=0，勢能有極小值。 在rr0處，F(xiàn)0，勢能曲線有很陡的負斜率，相當于有很強斥力。 兩分子在平衡位置附近的吸引和排斥。氣體液體固體

9、二、分子互作用勢能曲線（intermolecular potential energy curve） 三、用分子勢能曲線來解釋分子間的對心碰撞 利用勢能曲線能定性地解釋氣體分子間對心碰撞過程。 設一分子質(zhì)心a1靜止不動，另一分子質(zhì)心a2從極遠處（這時勢能為零）以相對運動動能EK0向a1運動。當 a2向 a1靠近時，受到分子引力作用的 a2具有數(shù)值越來越大的負勢能，所減少勢能變?yōu)閯幽艿脑隽?，總能量是一恒量?當r = r0時，兩分子相互“接觸”，這時勢能達極小，動能達極大。由于慣性，a2還要繼續(xù)向前運動，兩分子相互“擠壓”產(chǎn)生驟增的斥力。d是兩分子對心碰撞時相互接近最短質(zhì)心間距離d = 分子碰撞

10、有效直徑l當溫度升高時，EK0也增加，因而橫軸升高，d 將減小，說明d與氣體溫度有關。溫度越高，d 越小。l需要說明，由于原子核外的電子呈電子云分布，因而原子或分子沒有明確的邊界，也就談不上有什么明確的直徑。l通常提到的分子直徑有兩種理解：（1）一種指分子的大小，這主要是指由它們組成固體時，最鄰近分子間的平均距離。 由于固體中的分子（或原子）處于密堆積狀態(tài)，分子（或原子）均在平衡位置附近。這時把平衡位置時兩分子質(zhì)心間平均距離r0視作分子直徑（2）另一種理解的分子直徑是指兩分子相互對心碰撞時，兩分子質(zhì)心間最短距離，這就是分子碰撞有效直徑 d。顯然 r0 與 d 是不同的，但在通常情況下， 兩者差

11、異不大。四、范德瓦斯方程 1873年荷蘭物理學家范德瓦耳斯（Waals,van der）在克勞修斯論文啟發(fā)下，對理想氣體的兩條基本假定（即忽略分子固有體積、忽略除碰撞外分子間相互作用力）作出兩條重要修正，得出了能描述真實氣體行為的范德瓦耳斯方程。（1） 分子固有體積修正 理想氣體不考慮分子的固有體積，說明理想氣體方程中容器的體積V就是每個分子可以自由活動的空間。如果把分子看作有一定大小的剛性球，則每個分子能有效活動的空間不再是V。若1mol氣體占有Vm體積，分子能自由活動空間的體積為Vm 。則有 當壓強p 時，氣體體積V m b（2） 分子吸引力修正 設分子在相互分離時的吸引力為球對稱分布，吸

12、引力作用半徑為R0，每一分子均有以R0為半徑的吸引力作用球， 氣體分子只發(fā)生倆倆成對碰撞，而三個分子或更多分子同時碰在一起的情況幾乎不發(fā)生。思考： 器壁實際受到壓強要比氣體內(nèi)部的壓強小，使氣體施于器壁的壓強減少了一個量值 ，這稱為氣體內(nèi)壓修正量。 若儀器所測出的氣體壓強為p,氣體內(nèi)部的壓強為p內(nèi)，則 同時考慮到分子固有體積修正及分子間吸引力修后得到的真實氣體狀態(tài)方程 若令k 表示每一分子進入界 面層時由于受到指向氣內(nèi)部的平均拉力作用所產(chǎn)生的平均動量減少量( )。 由于分子與器壁作完全彈性碰撞，使氣體分子每與器壁碰撞一次所導致器壁的沖量減少了2k的數(shù)值。因為pi為分子吸引力存在而導致的壓強修正量

13、，故 k與分子數(shù)密度n成正比，設比例系數(shù)為K， 則k= Kn a是與溫度及氣體種類有關的常數(shù). （3）范德瓦爾斯方程（Van der Waals equation of state） 這是表示1mol氣體的范德瓦耳斯方程.常量a 和b 分別表示1mol范氏氣體分子固有體積修正量及吸引力改正量，其數(shù)值隨氣體種類不同而異，通常由實驗確定。 若氣體不是1mol，質(zhì)量為m,體積為V，則范氏方程可寫為例，氧氣：真實氣體(CO2)等溫線范德瓦耳斯等溫線 說明1. 范氏方程比理想氣體方程進了一步，但它仍然是個近似方程2. 從范氏方程可知，當 時，Vm b，所有氣體分子都被壓到相互緊密“接觸”而像固體一樣，則b應等于分子固有體積。但理論和實驗指出，b等于分子體積的四倍而不是一倍。 3. 由界面層中分子吸引力而產(chǎn)生，這里并未考慮到運動分子在界面層中還受到器壁分子吸引力這一因素.由于器壁分子數(shù)密度比氣體分子數(shù)密度大2到3個數(shù)量級，器壁分子對碰撞分子作用比邊界分子對碰壁分子作用強得多，為什么不予考慮？ 范氏方程最重要的特點是它的物理圖像十分鮮明，它能同時描述氣體,液體及氣液相互轉變的性質(zhì)，也能說明臨界點的特征，從而揭示相變與臨界現(xiàn)象的特點。范德瓦耳斯是20世紀十分熱門的相變理論的創(chuàng)始人，他于19