數(shù)理方程第一講 定解問題1-1

1、數(shù)學(xué)物理方程 數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系 課程的內(nèi)容數(shù)學(xué)和物理從來是沒有分開過的三個方程: 波動方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程四種方法: 分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法 數(shù)學(xué)物理方程定義 用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象。2 222222222 45 , y 0 , ln , 45 ( , ) , 3 2, 0 , xxtxxttuuxypy qy ay x xuuf xtyy xyyxuuuxyz二 階 線 性 非 齊 次 偏 微 分 方 程二 階 線 性 齊 次 常 微 分 方 程一 階 線 性 非 齊 次 常 微 分 方 程二 階 線 性 非 齊 次 偏 微 分 方 程二 階 非 線 性 非

2、 齊 次 常 微 分 方 程二 階 線 性 齊 次 偏 微 分 方 程一、一、 波動方程的建立波動方程的建立條件：均勻柔軟有彈性的細(xì)弦，受初始小擾動在平衡位置附近做振幅極小的橫振動。不受外力影響。例例1、弦的振動、弦的振動研究對象：線上某點在 t 時刻沿縱向的位移。( , )u x t簡化假設(shè)：(2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運動定律：sinsinTTgdsma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx t

3、x其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )ux tu x tTgxt22222uuagtx一維波動方程2Ta令：-非齊次方程非齊次方程自由項22222uuatx-齊次方程

4、齊次方程忽略重力作用：設(shè)作用在該弧段上的外力密度函數(shù)為 ，那末該弧段 在時刻 所受沿軸方向的外力近似地等于 ，于是縱向方程為 ( (, )( , )( , ),xxt tTu xxtu xtF xt xu x ( ,)Fxttt( , ).F x tx由微分中值定理得 MM (, )( , ),x xt tTuxx tx F x txux 01. , x0 x 消去 并取 極限得 ( , )( , ),x xt tTux tF x tu2 ( , ),t tx xuauf x t0,0,xL t即( , ,)()zzxxyytttux y zT uuu，2( , )( , )ttttur tT

5、uur tau 設(shè)物體在設(shè)物體在內(nèi)無熱源內(nèi)無熱源. 在在中任取一閉曲面中任取一閉曲面 S， 以函數(shù)以函數(shù)u(x, y,z,t )表示物體在表示物體在t 時刻時刻, M = M (x, y,z ) 處的溫度處的溫度. 根據(jù)根據(jù)Fourier 熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律, 在無窮小時段在無窮小時段dt 內(nèi)流過物體的一個無窮小面內(nèi)流過物體的一個無窮小面積積dS 的熱量的熱量dQ 與時間與時間dt 、曲面面積、曲面面積dS 以及以及物體溫度物體溫度u 沿曲面沿曲面dS 的外法線的外法線n 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)三者成正比三者成正比, 即即,ud Qkd S d tn 三維熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出三維熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出

6、對于對于內(nèi)任一封閉曲面內(nèi)任一封閉曲面S，設(shè)其所包圍的空間，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域為區(qū)域為V，那么從時刻，那么從時刻t1到時刻到時刻t2經(jīng)曲面經(jīng)曲面S流出的熱流出的熱量為量為設(shè)物體的比熱為設(shè)物體的比熱為c(x, y, z)，密度為，密度為(x, y, z)，則在，則在區(qū)域區(qū)域V內(nèi)，溫度由內(nèi)，溫度由u(x, y, z, t1)變化到變化到u(x, y, z, t2)所所需的熱量為需的熱量為211ttSuQkdSdtn 21212 ( , , , )( , , , )ttVVuQcu x y z tu x y z tdvcdvdtt 其中其中k=k(x, y, z)是物體在是物體在M(x, y, z)

7、處處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，取正值。我們規(guī)定的熱傳導(dǎo)系數(shù)，取正值。我們規(guī)定外法線方向外法線方向n所指的那一側(cè)為所指的那一側(cè)為dS的正的正側(cè)。上式中負(fù)號的出現(xiàn)是由于熱量側(cè)。上式中負(fù)號的出現(xiàn)是由于熱量由溫度高的地方流向溫度低的地方。由溫度高的地方流向溫度低的地方。故當(dāng)故當(dāng) 時，時， 熱量實際上熱量實際上是向是向-n方向流去。方向流去。0un根據(jù)熱量守恒定律，有根據(jù)熱量守恒定律，有21QQ 即即2112 ( , , , )( , , , )ttVSucu x y z tu x y z tdvkdSdtn 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)u(x, y, z, t)關(guān)于關(guān)于x, y, z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于數(shù)

8、，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么由高斯具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么由高斯（Gauss）公式得）公式得由于時間間隔由于時間間隔t1,t2及區(qū)域及區(qū)域V是任意的，且被是任意的，且被積函數(shù)是連續(xù)的，因此在任何時刻積函數(shù)是連續(xù)的，因此在任何時刻t，在，在內(nèi)內(nèi)任意一點都有任意一點都有方程方程(1.2.6)稱為非均勻的各向同性體的熱傳稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程，如果物體是均勻的，此時導(dǎo)方程，如果物體是均勻的，此時k, c及及均均為常數(shù)為常數(shù)210.ttVuuuuckkkdvdttxxyyzz .uuuuckkktxxyyzz(1.2.6)令令 ，則方程，則方程(1.2.6)化為化為它稱為三維熱傳導(dǎo)方程

9、。它稱為三維熱傳導(dǎo)方程。若考慮物體內(nèi)有熱源，其熱源密度函數(shù)為若考慮物體內(nèi)有熱源，其熱源密度函數(shù)為F(x, y, z, t)，則，則有熱源的熱傳導(dǎo)方程為有熱源的熱傳導(dǎo)方程為2kac22222222.uuuuaautxyz2( , , , ).tuauf x y z t (1.2.7)(1.2.8)其中其中.Ffc( , ,)()zzxxyytc u x y ztk uuu，2( , )( , )ttcu r tkuu r tau同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài) 的條件。邊界條件：

10、能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上 的約束情況的條件。定解條件定解條件其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。初始時刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件只含邊界條件A、 波動方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用, 其為： A、 波動方程的邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx，0 x aux，

11、( , )0 xu a t (3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承, 其為:x ax auTkux或0 x auuxB、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1) 給定溫度在邊界上的值|sufS給定區(qū)域v 的邊界(2) 絕熱狀態(tài)0sun(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度1k1u1SSuuun1kk第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件.uf,ufnuufn2000 (,0)|( ) ()|( )ttxxtt tuauxtuxxux 弦振動的Cauchy問題200 (,0)|( ) ()txxtua uxtuxx 包含初值條件的定解問題稱為初邊值問題初邊值問題（Cauchy Cauchy 問題）問題） ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題混合問題 (初邊值問題初邊值問題) )熱傳導(dǎo)方程的混合問題熱傳導(dǎo)方程的混合問題 0, 0)0( )(),()0,