必修一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)習(xí)題含答案

1、抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性1. 抽象函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性例1如果奇函數(shù) SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)且有最小值為5，那么 SKIPIF 1 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上是( )A. 增函數(shù)且最小值為 SKIPIF 1 0 B. 增函數(shù)且最大值為 SKIPIF 1 0 C. 減函數(shù)且最小值為 SKIPIF 1 0 D. 減函數(shù)且最大值為 SKIPIF 1 0 分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選B。2、抽象函數(shù)的圖像求不等式的解集例2、已知定義在 SKIPIF 1 0 上的偶函數(shù) SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，并且 SKIPIF 1 0

2、在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)。若 SKIPIF 1 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍 .二、抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性1.證明單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)= SKIPIF 1 0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù). SKIPIF 1 x2因?yàn)?，g(x)是R上的增函數(shù), 且g(x)0。故g(x1) g(x2) 0。 g(x1)+1 g(x2)+1 0， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 - SKIPIF 1 0。f(x1)- f(x2)= SKIPIF 1 0 - SKIPIF 1 0 =1- SKIP

3、IF 1 0 -(1- SKIPIF 1 0 ) = SKIPIF 1 0 - SKIPIF 1 0?？梢酝瞥觯篺(x1) f(x2)，所以f(x)是R上的增函數(shù)。例4已知 SKIPIF 1 0 對(duì)一切 SKIPIF 1 0 ，滿足 SKIPIF 1 0 ，且當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，求證：（1） SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 在R上為減函數(shù)。證明： SKIPIF 1 0 對(duì)一切 SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 。且 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，

4、現(xiàn)設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 為減函數(shù)。 2.證明奇偶性例5已知 SKIPIF 1 0 的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足 SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 是偶函數(shù)。分析：在 SKIPIF 1 0 中，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF

5、1 0 ，得 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 是偶函數(shù)。三、求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“ SKIPIF 1 0 ”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例6已知 SKIPIF 1 0 是定義在（ SKIPIF 1 0 ）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足 SKIPIF 1 0 ，試確定 SKIPIF 1 0 的取值范圍。解： SKIPIF 1 0 是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是減函數(shù)，

6、由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 。 （1）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，不等式不成立。（2）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 （3）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，綜上所述，所求 SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 四、不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ SKIPIF 1 0 ”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例7已知函數(shù) SKIPIF 1 0 對(duì)任意 SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIP

7、IF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求不等式 SKIPIF 1 0 的解集。解：設(shè) SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， 則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， 故 SKIPIF 1 0 為增函數(shù)， 又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因此不等式 SKIPIF 1 0 的解集為 SKIPIF 1 0 。五、綜合問(wèn)題求解解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)

8、的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“ SKIPIF 1 0 ”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ SKIPIF 1 0 ”。例8.設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 定義在R上，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，且對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí) SKIPIF 1 0 。（1）證明 SKIPIF 1 0 ；（2）證明： SKIPIF 1 0 在R上是增函數(shù)；（3）設(shè) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 滿足的條件。解：（1）令 SKIPIF 1 0 得 SK

9、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 。 若 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 0 ，這與當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 矛盾， SKIPIF 1 0 。 （2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，由已知得 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （3）由 SKIPIF 1 0 得 SKIP

10、IF 1 0 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 （2）從（1）、（2）中消去 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 。例9. 已知 SKIPIF 1 0 是定義在 SKIPIF 1 0 上的奇函數(shù)，且 SKIPIF 1 0 ,若 SKIPIF 1 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 0 .（1）判斷函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式：f(x+ SKIPIF 1 0 )f( SKIPIF 1 0 ).解：（1）設(shè)任意x1,x21,1,且x1x2.由于f(x)是定義在 SKIPIF 1 0 上的奇函數(shù)，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因?yàn)閤1x2,所以x2+(x1)0,由已知有 SKIPIF 1 0f(x2)+f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函數(shù)f(x)在1，1上是增函數(shù).（2）由不等式f(x+ SKIPIF 1 0 )f( SKIPIF 1 0 )得 SKIPIF 1 0 ,解得1x0,即為所求. 例10、已知設(shè)函數(shù) SKIPIF 1