巖土數(shù)值分析章

1、巖土工程數(shù)值分析巖土工程數(shù)值分析與應(yīng)用與應(yīng)用第一章第一章 緒緒 論論河海大學(xué)巖土工程研究所河海大學(xué)巖土工程研究所 盧廷浩盧廷浩第一節(jié)第一節(jié) 巖土工程問(wèn)題的基本特點(diǎn)巖土工程問(wèn)題的基本特點(diǎn) 工程類(lèi)型的多樣性工程類(lèi)型的多樣性 材料性質(zhì)的復(fù)雜性材料性質(zhì)的復(fù)雜性 荷載條件的復(fù)雜性荷載條件的復(fù)雜性 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件的復(fù)雜性的復(fù)雜性 相互作用問(wèn)題相互作用問(wèn)題 壩頂高程 2258.00 2231.00混凝土防滲墻厚1.2m壩軸 2176.001:2.03010上游護(hù)坡主堆石次堆石瀝青心墻帷幕灌漿1:1.81:1.81:1.84下游護(hù)坡下游壓重 2199.301:2.2上游圍堰校核洪水位 2

2、254.83正常蓄水位 2253.00死水位 2248.00設(shè)計(jì)洪水位4.0堆石過(guò)渡區(qū)過(guò)渡區(qū) 2225.00 2171.00 2142.00 2144.00 2093.50 2245.00水平反濾層2101:1.75線(xiàn)上游圍堰軸線(xiàn) 2204.004厚2.0m2167.00土工膜防滲墻20截流戧堤44墊層料 2253.814.0瀝青砼心墻厚0.51.5m 38.8厚1.0m厚1.0m壩上0-271.46壩軸線(xiàn)0+000.00壩下0+237.70壩上0-122.40壩下0+221.80壩下0+160.6043.24壩下0+144.85壩下0+106.20壩下0+53.60銅止水度鋅鐵片基座混凝土原

3、地形線(xiàn)Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4- 2144.00壩上0-156.20 2044.00黏土鋪蓋必要時(shí)設(shè)防滲帷幕幾種工程類(lèi)型（例） 圖 5.加 筋 擋 墻n加筋擋墻a).擋墻或邊坡支護(hù)b).圍巖支護(hù)圖6.錨桿圍巖圖 8 . 混 凝 土 面 板 壩混 凝 土 面 板趾 板圖7 . 心墻壩防滲墻筑壩時(shí)負(fù)摩阻圖 9 . 擋 土 墻 實(shí) 際 受 力cc

4、防滲墻與覆蓋層混凝土面板壩擋土墻第二節(jié)第二節(jié) 巖土工程數(shù)值分析發(fā)展的必然性巖土工程數(shù)值分析發(fā)展的必然性 為盡可能求得問(wèn)題的可靠解答，人們的追求為盡可能求得問(wèn)題的可靠解答，人們的追求與選擇大致有三個(gè)梯次，與選擇大致有三個(gè)梯次，退而擇之。退而擇之。 建立嚴(yán)格的控制物理方程建立嚴(yán)格的控制物理方程 嚴(yán)格精確解嚴(yán)格精確解 基于假定建立較為精確的控制物理方程基于假定建立較為精確的控制物理方程近近似理論解似理論解 必要簡(jiǎn)化假設(shè)的基礎(chǔ)上得到的控制物理方程必要簡(jiǎn)化假設(shè)的基礎(chǔ)上得到的控制物理方程（微分方程或微分方程組）（微分方程或微分方程組）尋求數(shù)值解尋求數(shù)值解 第三節(jié) 本課程介紹幾種常用數(shù)值方法 滑移線(xiàn)理論與特

5、征線(xiàn)方法（Characteristics Line Method ，CLM）。 極限分析法（Limit Analysis Method，LAM） 有限單元法（Finite Element Method， FEM），包括土體應(yīng)力變形、固結(jié)有限元及滲流有限元； 離散單元法(Discrete/Distinct Element Method，DEM)； 非連續(xù)變形分析法(Discontinuous Deformation Analysis ， DDA)； 巖土參數(shù)反分析法（Back Analysis Method ,BAM）； 三個(gè)常用軟件應(yīng)用（顯式有限差分方法差分的拉格朗日法FLAC3D，基于非線(xiàn)性

6、有限元的通用分析軟件的ABAQUS，基于離散元方法的PFC ） 人們的認(rèn)識(shí)在不斷發(fā)展深化，同時(shí)伴隨其它學(xué)科的發(fā)展，例如計(jì)算方法的多樣化與計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，能夠求解的巖土工程問(wèn)題的范圍和難度在不斷擴(kuò)大。從求解穩(wěn)定性問(wèn)題到求解變形和穩(wěn)定問(wèn)題， 從土體到巖體，從連續(xù)介質(zhì)到不連續(xù)介質(zhì)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從單一問(wèn)題到綜合和耦合問(wèn)題等。 數(shù)值分析發(fā)展前景廣闊，是學(xué)者和工程師們的新舞臺(tái)。 第四節(jié)第四節(jié) 學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問(wèn)題學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問(wèn)題 （1）掌握每種方法的數(shù)學(xué)力學(xué)原理，基本假定和適用范圍；（2）弄清每種方法對(duì)巖土體材料模型及其參數(shù)的要求；學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問(wèn)題學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問(wèn)題（3）弄清每種方法對(duì)巖土體材料與結(jié)構(gòu)

7、的相互作用模型及其參數(shù)的要求，包括巖石塊體之間的關(guān)聯(lián)和相互作用；（4）分析巖土體是否存在滲流和與水的相互作用或其它耦合問(wèn)題。學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問(wèn)題學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問(wèn)題（5）分析初始條件、邊界條件和荷載特征等，確定模擬思路，正確建模；（6）對(duì)于反演分析，要研究和分析已知數(shù)據(jù)，明確待求未知量，選擇恰當(dāng)方法。應(yīng)用時(shí)注意幾個(gè)主要環(huán)節(jié)應(yīng)用時(shí)注意幾個(gè)主要環(huán)節(jié)（1）研究分析對(duì)象，明確計(jì)算目的，選擇數(shù)值分析方法，確定建模方案； （2）確定運(yùn)用的模型及其參數(shù)；（3）確定邊界條件與初始條件；壩頂高程 2258.00 2231.00混凝土防滲墻厚1.2m壩軸 2176.001:2.03010上游護(hù)坡主堆石次堆石瀝青心墻帷

8、幕灌漿1:1.81:1.81:1.84下游護(hù)坡下游壓重 2199.301:2.2上游圍堰校核洪水位 2254.83正常蓄水位 2253.00死水位 2248.00設(shè)計(jì)洪水位4.0堆石過(guò)渡區(qū)過(guò)渡區(qū) 2225.00 2171.00 2142.00 2144.00 2093.50 2245.00水平反濾層2101:1.75線(xiàn)上游圍堰軸線(xiàn) 2204.004厚2.0m2167.00土工膜防滲墻20截流戧堤44墊層料 2253.814.0瀝青砼心墻厚0.51.5m 38.8厚1.0m厚1.0m壩上0-271.46壩軸線(xiàn)0+000.00壩下0+237.70壩上0-122.40壩下0+221.80壩下0+16

9、0.6043.24壩下0+144.85壩下0+106.20壩下0+53.60銅止水度鋅鐵片基座混凝土原地形線(xiàn)Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-s4 Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4- Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4-Qal-sgr4- 2144.00壩上0-156.20 2044.00應(yīng)用時(shí)注意幾個(gè)主要環(huán)節(jié)應(yīng)用時(shí)注意幾個(gè)主要環(huán)節(jié)（4）模擬荷載及荷載的動(dòng)態(tài)變化；（5）確定計(jì)算的收斂評(píng)判依據(jù)；（6）考察各環(huán)節(jié)簡(jiǎn)化的合理性，考題，否則應(yīng)調(diào)整建模

10、及有關(guān)計(jì)算模型與參數(shù)；（7）確定后處理方法及成果的整理與分析方案。（8）應(yīng)用商業(yè)軟件之前，要先弄清原理 教材：盧廷浩等，巖土工程數(shù)值分析與應(yīng)用 河海大學(xué)出版社，2012.12參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 劉漢東、張勇、賈金祿編著，巖土工程數(shù)值計(jì)算方法（M），黃河水利出版社，1995.12。2 (美)C.S.德賽、J.T.克里斯琴主編，盧世深、潘善德、王鐘琦等譯，巖土工程數(shù)值方法（M），中國(guó)建筑工業(yè)出版社，1981.8。3 中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)計(jì)算力學(xué)委員會(huì)主辦，第一屆全國(guó)計(jì)算巖土力學(xué)研討會(huì)論文集（M），西南交通大學(xué)出版社，1987.11。4 龔曉南主編，土工計(jì)算機(jī)分析，中國(guó)建筑工業(yè)出版社（M），2000.10。

11、5 廖紅建、王鐵行，巖土工程數(shù)值分析，機(jī)械工業(yè)出版社（M），2006.2。 更多巖土工程數(shù)值分析巖土工程數(shù)值分析與應(yīng)用與應(yīng)用第二章 滑移線(xiàn)理論與特征線(xiàn)法河海大學(xué)巖土工程研究所河海大學(xué)巖土工程研究所 盧廷浩盧廷浩概 述 對(duì)于土體，滑移線(xiàn)理論、極限分析理論與力的極限平衡理論同屬極限狀態(tài)理論的范疇，都是求土體達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)解答的理論方法。這些理論方法都是假定分析對(duì)象服從庫(kù)侖材料破壞準(zhǔn)則，求解時(shí)不考慮材料到達(dá)極限狀態(tài)的過(guò)程，即不考慮材料的具體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，從而求得土體達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的解答，但他們各自求解問(wèn)題的視角和方法不同。關(guān)于力的極限平衡理論 力的極限平衡理論假定土體為理想剛體，依據(jù)于經(jīng)典靜力學(xué)中剛

12、體平衡理論推求極限狀態(tài)解答，簡(jiǎn)稱(chēng)為極限平衡法。該方法最為人們所熟悉，其突出優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。例如，經(jīng)典土壓力計(jì)算理論，假定滑動(dòng)面的土坡穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算，地基極限承載力計(jì)算等。 關(guān)于極限分析理論 極限分析理論假定土體為彈性理想塑性體或剛塑性體，強(qiáng)度包線(xiàn)為直線(xiàn)且服從正交流動(dòng)規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值并保持不變時(shí)，土體會(huì)發(fā)生“無(wú)限”塑性流動(dòng)，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對(duì)應(yīng)的荷載稱(chēng)為極限荷載。極限分析理論就是應(yīng)用虛功率方程推導(dǎo)彈性理想塑性體或剛塑性體的普遍定理上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱(chēng)為極限分析法。關(guān)于滑移

13、線(xiàn)理論 土力學(xué)中的滑移線(xiàn)理論是從經(jīng)典塑性力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。假定土體為理想剛塑性體，強(qiáng)度包線(xiàn)為直線(xiàn)且服從正交流動(dòng)規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)侖材料。 滑移線(xiàn)理論是基于平面應(yīng)變狀態(tài)的土體內(nèi)當(dāng)達(dá)到“無(wú)限”塑性流動(dòng)時(shí)，塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變速度的偏微分方程是雙曲線(xiàn)這一事實(shí)，應(yīng)用特征線(xiàn)理論求解平面應(yīng)變問(wèn)題極限解的一種方法，稱(chēng)為滑移線(xiàn)法。 滑移線(xiàn)概念 基本假定 基本方程 平衡方程為 sinyxxxycosxyzxz22sin22xxxz22zz（）（+c ctg ）土體屈服條件為土體屈服條件為水平線(xiàn)滑移線(xiàn)族曲線(xiàn)13族曲線(xiàn)- 在平面應(yīng)變問(wèn)題中，都有兩個(gè)正交主應(yīng)力，將各點(diǎn)主應(yīng)力方向連續(xù)地連接起來(lái)就是主應(yīng)力跡線(xiàn)。土體處于屈

14、服狀態(tài)時(shí)，每一點(diǎn)都存在一對(duì)剪破面，即面和面，將平面上各點(diǎn)剪破面連續(xù)地連接起來(lái)就可以得到兩族曲線(xiàn)，稱(chēng)為滑移線(xiàn)（或滑動(dòng)線(xiàn)）?；凭€(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)就是該點(diǎn)的滑動(dòng)面方向?；凭€(xiàn)概念應(yīng)力分量表達(dá)（一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)） 當(dāng)土體達(dá)到塑性極限平衡時(shí)（達(dá)到塑性屈服），土體單元將一對(duì)剪破面，剪破面與大主應(yīng)力的夾角為 。 設(shè)大主應(yīng)力 與 軸的夾角為 ，則三個(gè)應(yīng)力分量 可分別表達(dá)為 式中 稱(chēng)為平均法向引用應(yīng)力 421x,xzxz (1 sincos2 )xc ctg (1 sincos2 )zc ctg sinsin2xz2xz（)+c ctg2 c ctg3 1應(yīng)力分量表達(dá)（放大圖）2 c ctg3 1滑移線(xiàn)與滑移線(xiàn)方程

15、線(xiàn)和 線(xiàn)的微分方程為 ()dztgdx()dztgdx族曲線(xiàn)13族曲線(xiàn)-應(yīng)力平衡方程的特征線(xiàn)方程 特征線(xiàn)方程 推導(dǎo) 特征線(xiàn)方程組 極限平衡方程改寫(xiě) 這是一個(gè)以x，z ， , 為變量的空間曲面方程是一階擬線(xiàn)形偏微分方程組。直接求解極其困難。數(shù)學(xué)上的一階擬線(xiàn)形偏微分方程組一般形式為(1 sincos2 )sinsin22 sin (sin2cos2)sinxzxzsinsin2(1 sincos2 )2 sin (cos2sin2)cosxzxz 1111122222ABCDExzxzABCDExzxz該式是關(guān)于 為變量，由系數(shù) 構(gòu)成的代數(shù)方程組，其中系數(shù) 是的函數(shù)。 ,xzxz1122,.,A

16、BD E1122,.,A BD E, ,x y 該方程組的系數(shù)行列式為 展開(kāi)行列式，令 ，有 其中 11112222ABCDABCDdxdzdxdz 0 2()()0dzdzABCdxdx在某區(qū)域內(nèi)，如果 則方程有兩個(gè)實(shí)根， 表示一階擬線(xiàn)形偏微分方程組為雙曲線(xiàn)型的，在該區(qū)域內(nèi)有兩族實(shí)的特征線(xiàn)。1212121212211212AC AACBBCC BADA DCD BB D240BAC242dzBBACdxA 如果 ，則方程有一個(gè)實(shí)根，表示一階擬線(xiàn)形偏微分方程組為拋物線(xiàn)型的，只有一族特征線(xiàn)； 如果則 方程沒(méi)有實(shí)根，表示一階擬線(xiàn)形偏微分方程組為橢圓型的，不存在實(shí)的特征線(xiàn)。 240BAC240BAC

17、特征線(xiàn)方程推導(dǎo) 上式是關(guān)于 、 的一階擬線(xiàn)形偏微分方程組，直接求解這個(gè)偏微分方程組極其困難。由于兩族滑移線(xiàn)自己的夾角是 為此可以將方程改寫(xiě)：以 乘第一個(gè)方程；以 乘第二個(gè)方程，然后相加，得22()422sin()-cos()特征線(xiàn)方程推導(dǎo)空間曲面方程以 為變量空間曲面方程 sin()cos()2cos()2xcoscoscos() 0tgtgxzz , x z， 特征線(xiàn)方程推導(dǎo) 在xoz平面內(nèi)一定存在某曲線(xiàn) ，該曲線(xiàn)上 和 正好滿(mǎn)足方程；沿該線(xiàn) 、 可以表達(dá)為( , )( , )x zx zz=z(x)求全微分改寫(xiě)上式得 將其代入式整理后得到 d =d =dxdzxzdxdzxz=ddxxzd

18、z=ddxxzdz式中sin()sin()2xcossin()cos()cos()cos()2cossin()cos()tgxdxdztgzzdxdz2sin()cos()cosdtgddxdz 當(dāng)右端項(xiàng)分子分母同時(shí)為0，左端的導(dǎo)數(shù)值不定， 稱(chēng)為特征線(xiàn)。特征線(xiàn)的方程組：z=z(x)()dztgdx2sin()cos() cosdtgddxdz 方程組是曲面方程，仍難以求得解析解，只能沿著曲面方程的特征線(xiàn)才能求得解答，因此稱(chēng)為特征線(xiàn)法。 比較滑移線(xiàn)的定義與此處的特征線(xiàn)方程，可知此處數(shù)學(xué)上的特征線(xiàn)就是物理概念上的滑移線(xiàn)。 應(yīng)力間斷線(xiàn)應(yīng)力間斷線(xiàn)（l線(xiàn)）推導(dǎo)2221zc22( ,)21( ,) 圖7.

19、2應(yīng)力間斷線(xiàn)應(yīng)力間斷線(xiàn)推導(dǎo)t1t212tttn1n2n切向正應(yīng)力間斷滑移線(xiàn)的基本性質(zhì) 應(yīng)用特征線(xiàn)法求解極限荷載時(shí)必須首先根據(jù)滑移線(xiàn)性質(zhì)構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)。根據(jù)滑移線(xiàn)的定義，可推得具有如下基本特性?；凭€(xiàn)上的剪應(yīng)力等于巖土體的抗剪強(qiáng)度（極限狀態(tài)），滑移線(xiàn)網(wǎng)與屈服準(zhǔn)則有關(guān)。兩族滑移線(xiàn)的夾角與內(nèi)摩擦角 值有關(guān)，粘聚力c不影響滑移線(xiàn)的兩族滑移線(xiàn)的夾角和形狀，而土體自重 影響滑移線(xiàn)網(wǎng)的形狀但不影響兩族滑移線(xiàn)的夾角。 滑移線(xiàn)的基本性質(zhì)沿一條滑移線(xiàn)的積分常數(shù)相同，因此：沿一條滑移線(xiàn)上的 變化與 的變化呈比例， 的變化（滑移線(xiàn)的曲率變化）愈大相應(yīng)的 變化也愈大；如若某段滑移線(xiàn)為直線(xiàn)，則該直線(xiàn)段滑移線(xiàn)上的 ， 值和應(yīng)力

20、分量均為常量。兩條 族被兩條 族滑移線(xiàn)所切割的兩滑移線(xiàn)段轉(zhuǎn)角相等，同理兩條 族被兩條 族滑移線(xiàn)所切割的兩滑移線(xiàn)段轉(zhuǎn)角也相等（Henky第一定律）。若沿某一滑移線(xiàn)移動(dòng)，在交叉點(diǎn)處的另一族滑移線(xiàn)的曲率半徑的變化（Henky第二定律）。 特征線(xiàn)方程組的差分解法差分方程組111222()()()()mmmmzztgxxzztgxx11111222222()sin()()cos()()cos2()sin()()cos()()cosmmmmmmmmtgxxzztgxxzz 提高差分解精度 依據(jù)問(wèn)題定性作出較密的滑移線(xiàn)網(wǎng)格；逐點(diǎn)進(jìn)行一次差分計(jì)算后，再在前一次差分計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行逐次迭代計(jì)算 ，以1212

21、1212,x x z z 進(jìn)行下一次迭代 差分計(jì)算看似繁瑣，但應(yīng)用計(jì)算機(jī)采取編程計(jì)算就極簡(jiǎn)單而且快捷 1111(),(),(),(),22221111(),(),(),()2222amibmiamibmiamibmiamibmixxxxzzzz分別代替邊界已知值換算 由 換算成p,， 221()sinnttpc ctgp 圖8.1c ctg 1土體單元極限平衡狀態(tài) 土體單元極限平衡狀態(tài) （推導(dǎo)）222 2c ctg 圖2.9 邊界上應(yīng)力狀態(tài)摩爾圓 土體單元極限平衡狀態(tài) （推導(dǎo)）1()pO NO N或由圖可見(jiàn)NO Q O Q2()O QN -或 OQN1（引用應(yīng)力）（引用應(yīng)力對(duì)法線(xiàn)的傾角）（平均

22、法向引用應(yīng)力）（方向?qū)吔鐑A角的2倍） 222 2c ctg 邊界已知值換算推導(dǎo)點(diǎn) 和點(diǎn) 對(duì)應(yīng)著兩種應(yīng)力狀態(tài)，即被動(dòng)狀態(tài)和主動(dòng)狀態(tài)。 在上式分別合成一個(gè)式子，有（ ）NNN22m 1()2msinsin()sin2sin()pp N2(21)m 1()22msinsinsin2sin()pp 1(1)()42mKK1K 處，或按正弦定律 在處， 或按正弦定律 圖2.10 主動(dòng)與被動(dòng)狀態(tài)判別 1sinsinsin 因?yàn)榫€(xiàn)段長(zhǎng)sinsin sinQT 主動(dòng)與被動(dòng)狀態(tài)判別ntntn2tnn1()2tnnN若邊界順著邊界荷載極限平衡狀態(tài)，則單元的側(cè)向應(yīng)力必小于法向應(yīng)力即，有，從而，這種情況恰與莫爾圓上

23、的點(diǎn)相一致，就相當(dāng)于取式（2-24）中的K1；的運(yùn)動(dòng)方向下壓使土體單元處于222 2c ctg 按該式計(jì)算的值最小，稱(chēng)主動(dòng)狀態(tài)或最小應(yīng)力狀態(tài)。主動(dòng)與被動(dòng)狀態(tài)判別ntn1()2tnnN若邊界逆著邊界荷載極限平衡狀態(tài)，則單元的側(cè)向應(yīng)力必大于法向應(yīng)力即，有，從而，這種情況恰與莫爾圓上的點(diǎn)相一致，就相當(dāng)于取式（2-24）中的K+1；的運(yùn)動(dòng)方向下壓使土體單元處于222 2c ctg 按該式計(jì)算的值最大，稱(chēng)被動(dòng)狀態(tài)或最大應(yīng)力狀態(tài)。tn1()2tnn邊界已知值換算由 換算成p,或,nt 當(dāng)差分計(jì)算到未知邊界后，一般應(yīng)完成這種換算，以便于設(shè)計(jì)使用。換算可采用如下兩種方法之一進(jìn)行。 p,nt(1 sincos2

24、 )nc ctg sinsin2tp,方法1：利用式，反求，方法2：先由莫爾圓上直接求出然后求出再求求出邊值問(wèn)題 第一種邊值問(wèn)題（柯西問(wèn)題） 第二種邊值問(wèn)題（古爾斯問(wèn)題，黎曼問(wèn)題）特征曲線(xiàn)A 2A o 2o 1zxoooA 2A zx光滑邊界ooA 2A zx光滑邊界特征曲線(xiàn)A 2A o 2o 1zxo邊值問(wèn)題 第三種邊值問(wèn)題（混合問(wèn)題） 第四種邊值問(wèn)題圖8.7圖8.6o光滑邊界光滑邊界zxoA a1zxA o 特征線(xiàn)光滑邊界A 3地基極限承載力 邊界條件 已知條件有：地基土性參數(shù) ； 邊荷載 ；以及基底荷載之傾角 （由上部結(jié)構(gòu)荷載水平與垂直分量確定）。 目的是：求基底面極限承載力及其分布 ,

25、 , cqdc ctg 地基極限承載力 滑移線(xiàn)網(wǎng)格與節(jié)點(diǎn)圖 10.1112 12A地基極限承載力 分析邊界條件 初繪滑移線(xiàn)網(wǎng)、節(jié)點(diǎn)編號(hào) 計(jì)算表格（步驟），或編程 分區(qū)解答（或輸入程序計(jì)算信息） 極限荷載、實(shí)際荷載分析邊界條件和 OB為未知邊界換算圖 10.1112 12Ax0OA為已知邊界，OB為未知邊界（基底面）。分析應(yīng)力邊界的土體單元不難發(fā)現(xiàn)，未知邊界基底面OB將順著p下壓，BOD為主動(dòng)區(qū)，根據(jù)前面的分析應(yīng)取K K1 1，將m0，代入式（2-24），取軸與基底面一致即，得1()22sin()sinp1sinsinsin 222 2c ctg 分析邊界條件和 已知的邊界OA 換算圖 10.1

26、112 12A222 2c ctg 0分析應(yīng)力邊界的土體單元不難發(fā)現(xiàn)，未知邊界OA有外移（隆起）的趨勢(shì)，AOC為被動(dòng)區(qū)，因此應(yīng)取K K+1+1，將m0，代入式（2-27） ，得 01 sinq網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號(hào)圖 10.1112 12A 地基極限承載力計(jì)算格式 AOC區(qū)解答COD區(qū)解答 COD區(qū)為主動(dòng)區(qū)與被動(dòng)區(qū)之間的過(guò)渡區(qū)，其中O點(diǎn)是該區(qū) 族滑移線(xiàn)的會(huì)交點(diǎn)，也可以將O點(diǎn)看著為 族滑移線(xiàn)縮于一點(diǎn)。該點(diǎn)是奇點(diǎn)，發(fā)生了理論上的應(yīng)力間斷。 COD區(qū)解答COD區(qū)解答DOB區(qū)求解 01()22z求基底OB面上的極限荷載和設(shè)計(jì)荷載 飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土

27、地基極限承載力2usczD飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力飽和軟粘土地基極限承載力土坡穩(wěn)定 坡頂極限承載力A圖 11.1坡頂極限承載力坡頂極限承載力A圖 1 1 . 1坡頂極限承載力極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn) 01族族設(shè)計(jì)A極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)01族族設(shè)計(jì)A01族族設(shè)計(jì)A極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)極限邊坡輪廓線(xiàn)豎直坡的臨界高度豎直坡

28、的臨界高度 豎直坡的臨界高度 極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答 極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答 極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答 極限平極限平衡理論衡理論的軸對(duì)的軸對(duì)稱(chēng)解答稱(chēng)解答 極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答 極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答極限平衡理論的軸對(duì)稱(chēng)解答討 論 在滑移線(xiàn)理論中，由于假定土體符合莫爾庫(kù)侖準(zhǔn)則，是理想彈塑性或剛塑性體，故不涉及具體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，所以滑移線(xiàn)理論與特征線(xiàn)方法是求解極限平衡問(wèn)題時(shí)的解答。 同時(shí)由于難以求得應(yīng)力平衡方程的解析解，基于應(yīng)力平衡方程是雙曲線(xiàn)型方程其幾何上的特征線(xiàn)就是物理上滑移線(xiàn)，從而求得

29、極限平衡解答。因?yàn)樽罱K是用數(shù)值方法求解，故解答是近似解。 討 論 對(duì)于非均勻土體（符合本方法的基本假定），滑移線(xiàn)理論與特征線(xiàn)方法可以近似應(yīng)用，但由于基本方程是假定均質(zhì)條件下推導(dǎo)的，應(yīng)用特征線(xiàn)求解時(shí)相應(yīng)區(qū)域的參數(shù)要隨之變化，界面處特征線(xiàn)將發(fā)生偏轉(zhuǎn)，因而只能說(shuō)可以近似應(yīng)用。對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力條件和復(fù)雜邊界條件等問(wèn)題，用滑移線(xiàn)理論與特征線(xiàn)方法求解目前尚存在困難。 討 論 當(dāng)前巖土材料的滑移線(xiàn)理論都采用經(jīng)典塑性理論中的關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，由此得出應(yīng)力特征線(xiàn)與滑移線(xiàn)一致。而試驗(yàn)得知，巖土材料并不一定服從關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，因而應(yīng)力特征線(xiàn)與滑移線(xiàn)可能不重合。 廣義塑性力學(xué)的出現(xiàn)，從理論上證明了塑性勢(shì)面與莫爾 庫(kù)侖屈服面之間

30、成一定的角度，因而應(yīng)研究采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則來(lái)研究滑移線(xiàn) （進(jìn)行中）。 滑移線(xiàn)理論與特征線(xiàn)方法用于求得某些問(wèn)題的數(shù)值解是其重要的方面，并且尚應(yīng)繼續(xù)深入研究并擴(kuò)大應(yīng)用范圍?；凭€(xiàn)理論與特征線(xiàn)方法的另一個(gè)重要作用是，可以經(jīng)常用于對(duì)某些問(wèn)題進(jìn)行定性分析和判斷，因而其基本概念有著廣泛應(yīng)用。 謝 謝天命之謂性，天命之謂性，率性之謂道，率性之謂道，修道之謂教。修道之謂教。 -中庸第三章 極限分析法河海大學(xué)巖土工程研究所盧廷浩巖土工程數(shù)值分析巖土工程數(shù)值分析與應(yīng)用與應(yīng)用第一節(jié) 概述 極限分析理論假定土體為彈性理想塑性體或剛塑性體，強(qiáng)度包線(xiàn)為直線(xiàn)且服從正交流動(dòng)規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值

31、并保持不變時(shí)，土體會(huì)發(fā)生“無(wú)限”塑性流動(dòng)，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對(duì)應(yīng)的荷載稱(chēng)為極限荷載。 極限分析理論就是應(yīng)用彈性理想塑性體或剛塑性體的普遍定理上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱(chēng)為極限分析法。第二節(jié) 上、下限定理1、靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)、靜力容許的應(yīng)力場(chǎng) 設(shè)有物體V，其表面A，面力 和體力 已知。若在此物體上，設(shè)定一組應(yīng)力場(chǎng)，滿(mǎn)足下列條件，則稱(chēng)為靜力容許應(yīng)力場(chǎng)。 在體積V內(nèi)滿(mǎn)足平衡方程，即 在邊界上滿(mǎn)足邊界條件，即 在體積V內(nèi)不違反屈服條件，即 由定義可知，物體處于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)必定是靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)；但靜力容許應(yīng)力場(chǎng)不一定

32、是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)。iif上、下限定理2、機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)、機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng) ui ui 在物體V上，若設(shè)定一組位移速率場(chǎng)，滿(mǎn)足以下條件，為機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)。 在體積V內(nèi)滿(mǎn)足幾何方程，即 則稱(chēng))(21*,*,*ijjiijuu在邊界Su上滿(mǎn)足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的位移速率場(chǎng)必定是機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)；但機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)不一定是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的位移速率場(chǎng)。上、下限定理3、速度間斷面、速度間斷面 速度間斷面(平面上是間斷線(xiàn))是兩個(gè)速度不同區(qū)塊存在的過(guò)渡薄層，是速度場(chǎng)中從一個(gè)速度區(qū)過(guò)渡到另一個(gè)速度不同的區(qū)域的薄層

33、的極限情況，一般是剛性區(qū)與剛性區(qū)或剛性區(qū)與變形區(qū)的邊界，如單剪情況速度間斷面的存在將產(chǎn)生能量耗散。 設(shè)物體內(nèi)部存在若干個(gè)速度間斷面（i=1、2、3.），將物體分成有限個(gè)子塊，每個(gè)子塊內(nèi)部的速度是連續(xù)的。 tgvvvvititinin)1 ()2()1 ()2(上、下限定理4、虛功方程與虛功率方程、虛功方程與虛功率方程 虛功原理表明：對(duì)于一個(gè)連續(xù)的變形體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)和任意一組機(jī)動(dòng)容許位移場(chǎng)，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。 同理虛功率原理可表示為：對(duì)于任意一組靜力容許應(yīng)力場(chǎng)和任意一組機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)，外力的功率等于物體內(nèi)虛變形功率。 如果物體內(nèi)部存在速度間斷時(shí)，其虛功率方程可表示為：

34、 以上幾個(gè)定理的證明可參考土力學(xué)有關(guān)書(shū)本，這里從略。根據(jù)虛功率方程可以證明極限分析中兩個(gè)重要的定理，即上下限定理。dvdAuFdAuTijAvijViiii*0*dsvtgdvdvuFdAuTtsnijAvijviiii )(*0*vtdvdvuFdAuTijAvijViiii*0*式中，S速度間斷面； 速度間斷面兩側(cè)切向 速度的變化。上、下限定理上、下限定理5、下限定理、下限定理： 在所有與靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)滿(mǎn)足 相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載最大。 （證明） Fij（） 0上、下限定理上、下限定理6、上限定理： 在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速率場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，外功功率等于物體內(nèi)能耗散率所對(duì)應(yīng)的

35、極限荷載為最小。 （證明）下限定理證明下限定理證明 證：設(shè) 為真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)i， 為真實(shí)的位移速率場(chǎng)，由幾何方程求得真實(shí)應(yīng)變率為 ，真實(shí)速度場(chǎng)中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為 ；在Su上給定速度為 ，在ST上給定表面力為 ，給定的體力為Fi。 ij uiijvtiu iT下限定理證明下限定理證明由虛功率方程得 又設(shè)另一靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為，由虛功率方程得 LtsLnijvijisiviidsvtgtdvdsuTdvuF )(00LsLtvijijsiiviidsvCdvdsuTdvuF下限定理證明下限定理證明上述兩式相減得 LtsLnjivijijis

36、iidsvtgCdvdsuTT )()()(00由Drucker公式得到ijijij)(00 由于Ctgn )(tnvtgC同時(shí) 0，即剪應(yīng)力做正功率知0。0()iiisTT u dsdsuffdsuTTiiiivisi*)()(dsufdsuTdsufdsuTiiiiiivisivs*剪應(yīng)力做正功率，因此可得0或者 上式表明，在所有靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)中，極限荷載的功率為最大。 或者說(shuō)與所有靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)相平衡的荷載是極限荷載的下限。于是下限定理得到證明。 上限定理證明上限定理證明 上限定理：在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速率場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小。 證：設(shè) 為物體達(dá)到極限狀態(tài)的真實(shí)

37、應(yīng)力場(chǎng)，其對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)i， 為真實(shí)位移速率場(chǎng)，由幾何方程求得的應(yīng)變率為 ，真實(shí)速度場(chǎng)中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為 ；體力為Fi。 ij uiijvt上限定理證明上限定理證明 另設(shè)一機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng) ，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變率為 ，應(yīng)變速度場(chǎng)可能有間斷面，其上的切向速度為 。虛功率方程得*ui*ij*vt* )(LvtvSLnijijsiiiidsvtgdvdsuTdvuF()*ijijvij由于由于0 上限定理證明上限定理證明又tgnC，則有* )(*LtLtSndsvCdsvtgLvLStijijsiiiidsvCdsuTdvuFL*后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)*uuii時(shí)，上

38、式等號(hào)成立。上限定理得到證明。Fij（）0事實(shí)上，不妨設(shè)Fi,Ti 就是真正的極限荷載，對(duì)應(yīng)的靜力許可應(yīng)力場(chǎng) 滿(mǎn)足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿(mǎn)足外功功率能量耗散率塑性變形時(shí)的荷載最小。第三節(jié)第三節(jié) 流動(dòng)規(guī)則與能量耗散率流動(dòng)規(guī)則與能量耗散率1、正交流動(dòng)規(guī)則、正交流動(dòng)規(guī)則塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系-主應(yīng)力平面 3131FFpp0cos2)sin1 ()sin1 (31CF屈服函數(shù)1 sin()1 sin42tg 正交流動(dòng)規(guī)則正交流動(dòng)規(guī)則塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系- ( ) ( )平面 .1FppnnFtg .ppntg 0tgCFnppnn屈服函數(shù)2、單剪中能量耗散率.ppnnD fnctg代

39、入得單元體能量耗散率D.ppntg ppnpnpnnpctgtgcD.)()(總能量耗散率.intcospDD l hcl hclv .cospvh是A點(diǎn)的速度v在剪切面上的速度分量材料總能量耗散率 B C H 剛體 剛體 v t A 圖75 豎直邊坡平動(dòng)機(jī)制 3、能量耗散率計(jì)算 薄變形層上的剛體滑動(dòng)能量耗散率 薄層滑動(dòng)面為平面，形式與單剪相同，其能量耗散率即為D= 以對(duì)數(shù)螺線(xiàn)為周界的變形鍥體的能量耗散率 （推導(dǎo)）cosvcl薄變形層上對(duì)數(shù)螺線(xiàn)形式的剛體滑動(dòng)能量耗散率 1)2exp(21)2exp(cos)exp(cos)exp(cos100000000int11tgctgrcvdtgcvdtgrtgcvdlcvDl.1