圓的認(rèn)識(超級有趣)適合教學(xué),吸引注意力

1、圓圓“一切立體圖形中最美的是球形，一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形一切平面圖形中最美的是圓形.”.” - -畢達(dá)哥拉畢達(dá)哥拉斯斯人民幣人民幣美圓美圓英鎊英鎊生活離不開圓生活離不開圓 圓是我們的好朋友圓是我們的好朋友圓是生活中常見的圖形，許多物體都給我們以圓的形象圓是生活中常見的圖形，許多物體都給我們以圓的形象. .圓的認(rèn)識圓的認(rèn)識1.1.圓的基本元素圓的基本元素線段線段OA繞它固定的一個，端點繞它固定的一個，端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點點A所形成的圖形叫做所形成的圖形叫做圓圓rOA固定的端點固定的端點O叫做叫做圓心圓心線段線段OA叫做叫做半徑半徑以點以點O

2、為圓心的圓，記作為圓心的圓，記作“ O”，讀作讀作“圓圓O”我國古人很早我國古人很早對圓就有這樣對圓就有這樣的認(rèn)識了，戰(zhàn)的認(rèn)識了，戰(zhàn)國時的國時的墨經(jīng)墨經(jīng)就有就有“圓，一圓，一中同長也中同長也”的的記載它的意記載它的意思是圓上各點思是圓上各點到圓心的距離到圓心的距離都等于半徑都等于半徑圓的概念圓的概念（1）圓上各點到定點（圓心）圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長）的距離都等于定長（半徑（半徑r）；）；從畫圓的過程可以看出：從畫圓的過程可以看出：（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上動態(tài)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA

3、繞它固繞它固定的一個端點定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形所形成的圖形叫做圓成的圖形叫做圓靜態(tài)靜態(tài)：圓心為：圓心為O、半徑為、半徑為r的圓可以看成是所有的圓可以看成是所有到定點到定點O的距離等于定長的距離等于定長r 的點組成的圖形的點組成的圖形 經(jīng)過圓心的弦（如圖中的經(jīng)過圓心的弦（如圖中的AB）叫做）叫做直徑直徑COAB連接圓上任意兩點的線段（如圖連接圓上任意兩點的線段（如圖AC）叫做叫做弦弦，與圓有關(guān)的概念與圓有關(guān)的概念弦圓上任意兩點間的部分叫做圓上任意兩點間的部分叫做圓弧圓弧，簡稱，簡稱弧弧以以A、B為端點的弧記作為端點的弧記作 AB ，讀作，讀作“圓弧圓弧AB”

4、或或“弧弧AB”圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做每一條弧都叫做半圓半圓COAB弧大于半圓的弧（用三個字母表示，如圖中的大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示，如圖中的 ABC ）叫做）叫做優(yōu)弧優(yōu)弧.小于半圓的弧（如圖中的小于半圓的?。ㄈ鐖D中的AC）叫做）叫做劣弧劣??；COAB劣弧與優(yōu)弧劣弧與優(yōu)弧如圖，請正確的方式表示出以點如圖，請正確的方式表示出以點A為端點的優(yōu)弧及劣弧為端點的優(yōu)弧及劣弧. F E D C B A O I優(yōu)?。簝?yōu)?。篈CD,ACF,ADE,ADC劣弧劣弧AC,AE,AF,AD圓心相同，半徑不相等的兩圓叫做同心圓圓心相同，半

5、徑不相等的兩圓叫做同心圓.能夠互相重合的兩個圓叫等圓能夠互相重合的兩個圓叫等圓.在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩個弧叫等弧能夠互相重合的兩個弧叫等弧.鞏固練習(xí)1 1、下列說法錯誤的有（）、下列說法錯誤的有（）經(jīng)過一點的圓有無數(shù)個；經(jīng)過一點的圓有無數(shù)個；以為圓心的圓有無數(shù)個；以為圓心的圓有無數(shù)個；半徑為且經(jīng)過點的圓有無數(shù)個半徑為且經(jīng)過點的圓有無數(shù)個以為圓心，以以為圓心，以cmcm為半徑的圓有無數(shù)個為半徑的圓有無數(shù)個 個個 個個 個個 個個 2 2、填空、填空: : 與已知點與已知點A A的距離為的距離為3cm3cm的所有點組成的圖形的所有點組成的圖形 是是 A以A為圓心，半徑為3

6、cm的圓。想一想想一想判斷下列說法的正誤：判斷下列說法的正誤：(1)(1)弦是直徑；弦是直徑；(2)(2)半圓是弧；半圓是??；(3)(3)過圓心的線段是直徑；過圓心的線段是直徑；(7)半徑相等的兩個圓是等圓半徑相等的兩個圓是等圓.(4)(4)過圓心的直線是直徑；過圓心的直線是直徑；(5)(5)半圓是最長的?。话雸A是最長的??；(6)(6)直徑是最長的弦；直徑是最長的弦；1.半徑相等的兩個半圓是等弧半徑相等的兩個半圓是等弧 ( )2.長度相等的兩條弧是等弧長度相等的兩條弧是等弧 ( )4.直徑相等的兩個圓是等圓直徑相等的兩個圓是等圓 ( )3.度數(shù)相等的兩條弧是等弧度數(shù)相等的兩條弧是等弧 ( )5

7、.大小不等的兩個圓中不存在等弧大小不等的兩個圓中不存在等弧( )4.4. 圓中有幾條弦圓中有幾條弦? ?圓中以圓中以A為一個端點為一個端點的優(yōu)弧有幾條的優(yōu)弧有幾條?劣弧有幾條劣弧有幾條? OEDCBA6.6.如圖如圖, ,兩個同心圓的圓心為兩個同心圓的圓心為O,O,大圓的大圓的半徑半徑OC,ODOC,OD交小圓于交小圓于A,B,A,B,求證求證:AB/CD.:AB/CD.DCBAO圓的認(rèn)識圓的認(rèn)識2.2.垂徑定理垂徑定理圓的對稱性圓的對稱性n圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少條你能找到多少條對稱軸？對稱軸？你是用什么方法解決

8、上述問題的你是用什么方法解決上述問題的? ? 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. .圓的對稱軸是任意一條經(jīng)圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線過圓心的直線, ,它有無數(shù)它有無數(shù)條對稱軸條對稱軸. .O圓是軸對稱圖形。任何一條直徑所在圓是軸對稱圖形。任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸的直線都是它的對稱軸OABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的垂直于弦的直徑平分弦，并且平分直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧垂徑定理及逆定理垂徑定理及逆定理垂徑定理垂徑定理OABCDCDAB,C

9、D是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.M課堂討論課堂討論根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)：根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)：過圓心過圓心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對優(yōu)弧平分弦所對優(yōu)弧 平分弦所對劣弧平分弦所對劣弧 （不是直徑）（不是直徑） 那么，由五個條件中的任何那么，由五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論。個結(jié)論。一、判斷是非：一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）平分弦的直線，必定過圓心。）平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），）一條直線平分弦（這條弦不是直徑）

10、， 那么這那么這 條直線垂直這條弦。條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對的）平分弧的直線，平分這條弧所對的 弦。弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直徑垂直于弦）平分弦的直徑垂直于弦1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習(xí)練習(xí)解：解：OEAB222AOOEAE2222

11、= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.活活 動動 三三118422AEAB 在RtAOE中2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. OEAC ODAB24.124.1圓的認(rèn)識圓的認(rèn)識3.3.圓心角圓心角 圓心角 所對的弧

12、為 AB，A AO OB B 過點O作弦AB的垂線, 垂足為M,OABM 頂點在圓心的角,叫圓心角，如 , A AO OB B所對的弦為AB；圖1 OM是唯一的。 則垂線段OM的長度,即圓心到弦的距離，叫弦心距 , 圖1中，OM為AB弦的弦心距。1、判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。2、下列圖中弦心距做對了的是（ ）ABCDo下面我們一起來觀察一下：在 O中有哪些圓心角？（請舉出兩個例子，并說出圓心角所對的弧，弦。）如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有

13、什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀

14、察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo下面我們一起來觀察一下圓心角與它所對的弦、弧有什么關(guān)系？如果： AOB= CODABCDo 證明:OA=OC ，OB=OD， AOB=COD, 當(dāng)點A與點C重合時， 點B與點D也重合。 AB=CD，圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對

15、的弦也相等。 AB = CD。已知:如圖AOB= COD,求證: AB=CD，AB = CD。條件結(jié)論在同圓或等圓中如果圓心角相等那么圓心角所對的弧相等圓心角所對的弦相等圓心角所對的弦的弦心距相等在同圓或等圓中如果弦相等那么弦所對的圓心角相等弦所對的?。ㄖ噶踊。┫嗟认业南倚木嘞嗟仍谕瑘A或等圓中如果弦心距相等那么弦心距所對應(yīng)的圓心角相等弦心距所對應(yīng)的弧相等弦心距所對應(yīng)的弦相等在同圓或等圓中如果弧相等那么弧所對的圓心角相等弧所對的弦相等弧所對的弦的弦心距相等推論：(圓心角定理的逆定理) 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量都分別

16、相等。延伸延伸 整體理解：整體理解：(1) 圓心角圓心角(2) 弧弧(3) 弦弦(4) 弦心距弦心距知一得三知一得三OAAB B1、已知：如圖，AB、CD是 O的兩條弦，OE、OF為AB、CD的弦心距，根據(jù)本節(jié)定理及推論填空： （1）如果AB=CD，那么 _,_,_。 （2）如果OE=OF，那么 _,_,_。 （3）如果AB=CD 那么 _,_,_。 （4）如果AOB=COD，那么 _,_,_。AOB=COD OE=OF AB=CDAOB=COD AB=CD AB=CDAOB=COD AB=CD OE=OFOE=OF AB=CD AB=CD2.2.已知：如圖，在已知：如圖，在中，弦中，弦求證：

17、求證：3 3、已知、已知: :如圖如圖,A,B,C,D,A,B,C,D是是O O上的點，上的點，1=21=2。求證：。求證：AC=BDAC=BD如圖： 的直徑AB垂直于弦CD,AB與CD相交于點E， COD1000，求BC,AD的度數(shù)ABCDOE解:OC=OD,OECD1= 21 2COD=10001=2=500BC=500 BD=500AD=ADB-BD =1800-500 =1300000120 ,120 ,1203r2 3cm例例1 如圖，已知點如圖，已知點O是是EPF 的平分線上一點，的平分線上一點，P點在圓外，點在圓外，以以O(shè)為圓心的圓與為圓心的圓與EPF 的兩邊分別相交于的兩邊分別

18、相交于A、B和和C、D。求證：求證：AB=CD分析： 聯(lián)想到“角平分線的性質(zhì)”，作弦心距OM、ON， 證明: 作 , 垂足分別為M 、 N 。C CD DO ON N , , A AB BO OMMCDCDONONABABOMOMNPONPOMPOMPOOM=ONAB=CD.PABECMNDF要證AB=CD ，只需證OM=ONO.PBEDFOAC.如圖，P點在圓上，PB=PD嗎？ P點在圓內(nèi)，AB=CD嗎？思考：PBEMNDFOMN試一試n1.如圖，AB是 O的直徑，弦PQ交AB于點M，且PMOM，求證：24.124.1圓的認(rèn)識圓的認(rèn)識4.4.圓周角圓周角一. 復(fù)習(xí)引入:1.圓心角的定義?.O

19、BC答:頂點在圓心的角叫圓心角 頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角什么叫做圓周角？ABCDEO一、概念類比圓心角類比圓心角探知探知圓周角圓周角n在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,同弧或等弧所對的同弧或等弧所對的圓心角圓心角相等相等. .n在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,同弧或等弧所對的同弧或等弧所對的圓周角圓周角有什么有什么關(guān)系？關(guān)系？n 為了解決這個問題,我們先探究同弧所對的圓周角和圓心角之間有的關(guān)系.你會畫同弧所對的圓周角和圓心角嗎?圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系n教師提示:注意圓心與圓周角的位置關(guān)系. 圖 23.1.11 （1） 折痕是圓周角的一條邊， （2） 折痕在圓周角的

20、內(nèi)部， （3） 折痕在圓周角的外部 ABC1OC2C3五、定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半定 理 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角; 90的圓周角所對的弦是直徑推 論1.如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內(nèi)角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？ABCD123456781 = 45 = 82 = 73 = 6練 習(xí)在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等嗎？為什么？在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等六、例 如圖， O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，ACB的平分線交 O于D，求BC、AD、BD的長86102222ACABBC又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：AB是直徑， ACB= ADB=90在RtABC中，CD平分ACB，AD=BD.ACDBCD 七、例題OABCD3.求證：如果三角形一邊上的中線