高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽課講義練習(xí) 數(shù)域（含答案）

1、A2.數(shù)域一、基礎(chǔ)知識(shí)實(shí)數(shù)：有理數(shù)與無理數(shù)的全體,實(shí)數(shù)集.復(fù)數(shù)：形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中虛數(shù)單位滿足復(fù)數(shù)的實(shí)部為記復(fù)數(shù)的虛部為記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)本質(zhì)上由一對(duì)有序?qū)崝?shù)唯一確定,由此能夠建立平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)復(fù)數(shù)的模記做數(shù)域：設(shè)是由一些復(fù)數(shù)組成的集合,其中包括0與1,如果中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0)仍是中的數(shù),則稱為一個(gè)數(shù)域.二、典型例題與基本方法1.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)求2.設(shè)求的值.3.設(shè)為復(fù)數(shù),求的最大值與最小值.4.驗(yàn)證有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集都是數(shù)域.5.證明：所有具有形式的數(shù)(其中構(gòu)成一個(gè)數(shù)域,通常用來表示.6.證明：任意數(shù)域都包含有理數(shù)域

2、,任意數(shù)域都包含于復(fù)數(shù)域中.7.設(shè)是由一些復(fù)數(shù)組成的集合,其中包括0,如果中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積仍是中的數(shù),則稱為一個(gè)數(shù)環(huán).說明整數(shù)集是數(shù)環(huán)但不是數(shù)域.B2.練習(xí) 姓名： 1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足證明：都是1的立方根.2.設(shè)是一個(gè)數(shù)域,令證明是一個(gè)數(shù)域.3.說明一個(gè)數(shù)環(huán)的元素個(gè)數(shù)要么是1要么就是無窮多個(gè).A2數(shù)域一、基礎(chǔ)知識(shí)實(shí)數(shù)：有理數(shù)與無理數(shù)的全體,實(shí)數(shù)集.復(fù)數(shù)：形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中虛數(shù)單位滿足復(fù)數(shù)的實(shí)部為記復(fù)數(shù)的虛部為記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)本質(zhì)上由一對(duì)有序?qū)崝?shù)唯一確定,由此能夠建立平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)復(fù)數(shù)的模記做數(shù)域：設(shè)是由一些復(fù)數(shù)組成的集合,其中包括0與1,如果中

3、任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0)仍是中的數(shù),則稱為一個(gè)數(shù)域.二、典型例題與基本方法1.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)求解：于是所以所以2.設(shè)求的值.解：復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)證明：設(shè)則于是所以所以3.設(shè)為復(fù)數(shù),求的最大值與最小值.解：設(shè)則所以因?yàn)樗援?dāng)時(shí),取最大值當(dāng)時(shí),取最小值0.4.驗(yàn)證有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集都是數(shù)域.證明：驗(yàn)證包含0,1和和差積商封閉.5.證明：所有具有形式的數(shù)(其中構(gòu)成一個(gè)數(shù)域,通常用來表示.證明：顯然設(shè)則所以對(duì)加減法封閉.所以對(duì)乘法封閉.設(shè)則這是因?yàn)槿舨蝗?則注意到所以不全為0, 于是均不為0,從而與有理數(shù)域矛盾.所以對(duì)除法封閉.所以是一個(gè)數(shù)域.6.證明：任意數(shù)域都包含有理數(shù)域,

4、任意數(shù)域都包含于復(fù)數(shù)域中.證明：設(shè)是一個(gè)數(shù)域,則從而即任一正整數(shù)又于是任一負(fù)整數(shù)所以整數(shù)集任取一個(gè)分?jǐn)?shù)其中則注意到任意有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)的商,所以這就證明了任意數(shù)域都包含有理數(shù)域.顯然任意數(shù)域都包含于復(fù)數(shù)域中.7.設(shè)是由一些復(fù)數(shù)組成的集合,其中包括0,如果中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積仍是中的數(shù),則稱為一個(gè)數(shù)環(huán).說明整數(shù)集是數(shù)環(huán)但不是數(shù)域.解：因?yàn)檎麛?shù)的和差還是整數(shù),整數(shù)的積還是整數(shù),但整數(shù)的商不一定是整數(shù),例如B2.練習(xí) 姓名： 1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足證明：都是1的立方根.證明：設(shè)其中,則由得由得聯(lián)立這四個(gè)式子得所以故2.設(shè)是一個(gè)數(shù)域,令證明是一個(gè)數(shù)域.證明：因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)域,所以于是設(shè)則所以對(duì)加減法封閉.所以對(duì)乘法封閉.設(shè)則這是因?yàn)槿舨蝗?則注意到所以不全為0, 于是均不為0,從而與有理數(shù)域矛盾.所以對(duì)除法封閉.所以是一個(gè)數(shù)域.3.說明一個(gè)數(shù)環(huán)的元素個(gè)數(shù)要么是1要