高一數(shù)學競賽課講義練習 琴生不等式（含答案）

1、Jensen不等式練習題一、基礎(chǔ)知識凸函數(shù)：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域為如果對內(nèi)任意兩個實數(shù)及任意實數(shù)都有則稱為上的凸函數(shù),也稱下凸函數(shù).凹函數(shù)：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域為如果對內(nèi)任意兩個實數(shù)及任意實數(shù)都有則稱為上的凹函數(shù),也稱上凸函數(shù).凸凹性與二階導數(shù)：若在內(nèi)二階可導,對任意都有則函數(shù)在內(nèi)是下凸函數(shù)；對任意都有則函數(shù)在內(nèi)是上凸函數(shù).琴生不等式：若函數(shù)在上的下凸函數(shù),則對任意的且都有特別地則當且僅當取等.若函數(shù)在上的上凸函數(shù),則不等號反向.齊次性：設(shè)是一個元函數(shù),若對任意非零實數(shù)都有則稱為變量的次齊次式.如為變量的次齊次式.若都為變量的次齊次式.則不等式稱為齊次不等式,對齊次不等式一般可不妨設(shè)或二、典型例題

2、與基本方法1.利用琴生不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當且僅當取等.2.非負實數(shù)滿足求的最大值.3.設(shè)證明：4.設(shè)證明：5.已知證明：6.設(shè)證明7.已知且證明：B11.練習 姓名： 1.若正實數(shù)滿足證明：2.已知證明：3.用柯西不等式證明：設(shè)證明：A11.琴生不等式一、基礎(chǔ)知識凸函數(shù)：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域為如果對內(nèi)任意兩個實數(shù)及任意實數(shù)都有則稱為上的凸函數(shù),也稱下凸函數(shù).凹函數(shù)：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域為如果對內(nèi)任意兩個實數(shù)及任意實數(shù)都有則稱為上的凹函數(shù),也稱上凸函數(shù).凸凹性與二階導數(shù)：若在內(nèi)二階可導,對任意都有則函數(shù)在內(nèi)是下凸函數(shù)；對任意都有則函數(shù)在內(nèi)是上凸函數(shù).琴生不等式：若函數(shù)在上的下凸函數(shù),則對任意的

3、且都有特別地則當且僅當取等.若函數(shù)在上的上凸函數(shù),則不等號反向.證明：(數(shù)學歸納法)當時,由下凸函數(shù)的定義知成立.假設(shè)當不等式成立,當時,注意到于是于是由歸納假設(shè)知從而即所以當時不等式成立.所以琴生不等式成立.齊次性：設(shè)是一個元函數(shù),若對任意非零實數(shù)都有則稱為變量的次齊次式.如為變量的次齊次式.若都為變量的次齊次式.則不等式稱為齊次不等式,對齊次不等式一般可不妨設(shè)或二、典型例題與基本方法1.利用琴生不等式證明：設(shè)是正數(shù),則當且僅當取等.證明：構(gòu)造所以是上凸函數(shù),于是由琴生不等式知道即又因為在單調(diào)遞增,所以當且僅當取等.2.非負實數(shù)滿足求的最大值.解：令則構(gòu)造構(gòu)造在上是上凸函數(shù),由琴生不等式知于

4、是當即時取等,所以的最大值3.設(shè)證明：證明：法1使用權(quán)方和不等式當且僅當時取等.因為于是法2在是上凸函數(shù),由琴生不等式得當且僅當時取等.因為于是4.設(shè)證明：證明：,即證明兩邊都是關(guān)于的次輪換式,由齊次性可設(shè)于是即證明當證明構(gòu)造在上是上凸函數(shù),由琴生不等式得由排序不等式知道于是得證.5.已知證明：證明：法1使用Hlder不等式一般形式即注意到恒等式所以所以法2使用權(quán)方和不等式法3使用琴生不等式,由齊次性,不妨設(shè)構(gòu)造函數(shù)則是上遞減的下凸函數(shù),由琴生不等式知道注意到所以即于是即證.6.設(shè)證明證明：法1使用柯西不等式所以令于是注意到又于是所以從而法2令于是由齊次性,不妨設(shè)構(gòu)造構(gòu)造在上是上凸函數(shù),由琴生不等式知道于是要證只需證即證即證因為恒等式,所以又因為所以所以得證.7.已知且證明：證明：其中下面我們來論證的凸凹性.因為所以是上的下凸函數(shù),且在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.注意到由琴生不等式知由冪平均不等式得所以得證.B11.練習 姓名： 1.若正實數(shù)滿足證明：證明：構(gòu)造在上是上凸函數(shù),2.已知證明：證明：由齊次性可設(shè)構(gòu)造函數(shù)則是