北京大學(xué)2005年研究生入學(xué)考試——高等代數(shù)與解析幾何_試題與答案2

1、WORD格式PAGE1 / NUMPAGES10大學(xué)2005數(shù)學(xué)專業(yè)研究生高等代數(shù)與解析幾何。1在直角坐標(biāo)系中，求直線2xyz0l:到平面:3xByz0的正交投影軌跡的方程。xy2z1其中B是常數(shù)解：可以驗證點1212,0,0,l，從而l5555x13k把l寫成參數(shù)方程：y25k，任取其上一點P:(13k,25k,k)，設(shè)該點到上的投影為zk點P(x,y,z):x13kzkPPx3z1031P3xByz0整理即知，l到上的正交投影軌跡滿足方程x3z103xByz0由于1131，上述方程表示一條直線，而2*3B10和3B20不同時成立，因此l到上的正交投影軌跡是一條直線從而l到上的正交投影軌跡的

2、方程就是x3z103xByz02y2xy2在直角坐標(biāo)系中對于參數(shù)的不同取值，判斷下面平面二次曲線的形狀：x20.對于中心型曲線，寫出對稱中心的坐標(biāo)；對于線心型曲線，寫出對稱直線的方程。解：記11,22T，容易驗證11,22TTE，因此直角坐標(biāo)變換*xxT*yy是一個正交變換在這個變換下，曲線方程變?yōu)?2*(1)x(1)y1)1時，10,10,0，曲線為雙曲線，是中心型曲線，對稱點為(0,0)2)1時，曲線方程為yx*12y，是一對平行直線，是線心型曲線，對稱直線為2*0y，即3)10時，10,10,0，曲線為橢圓，是中心型曲線，對稱點為(0,0)4)0時，曲線方程為22*0 xy，是一個點，是

3、中心型曲線，對稱點為(0,0)5)01時，10,10,0，曲線為虛橢圓，是中心型曲線，對稱點為(0,0)6)1時，曲線方程為即yx*12x，是一對虛平行直線，是線心型曲線，對稱直線為2*0 x，7)1時，10,10,0，曲線為雙曲線，是中心型曲線，對稱點為(0,0)3設(shè)數(shù)域K上的n級矩陣A的(i,j)元為aibj（1）.求A;(2).當(dāng)n2時，a1a,bb.求齊次線性方程組AX0的解空間的維數(shù)和一個基。212解：(1)若n1，|A|ab11若n2，abab1112|A|(aa)(bb)2121abab2122abababab1112131nabababab2122232n若n2，|A|abab

4、abn11n12n1nababababn1n2n3nnabababab1112131nRRnn1RRn1n2abababab2122232n0aaaaaan1n2n1n2n1n2aaaaaaaann1nn1nn1nn1(2)若n2，則abab1112|A|(aa)(bb)02121abab2122，方程組AX0只有零解，其解空間維數(shù)為0若n3，則由(1)知道A的任意一個3級子式的行列式為0，而A的一個2級子式abab1112abab2122的行列式為(a2a1)(b2b1)0，從而rankA2ci1ci2于是方程組AX0解空間的維數(shù)是n2，取向量組1,2,.,n2，其中i，cinbb2nibb

5、12,j1cijbb1nibb21,j2，i1,2,.,n21,jni0,其他可知122,.,nCEn2，其中E是n2階單位矩陣，C是一個2*(n2)的矩陣，從n2而rank(,.,n)n2122并且對任意的i1,2,.,n2，有nbbbbbbbb2nini1ni2ni1(ab)ca(1)(bbb)0ikiki12nibbbbbbbbk112211221因此1,2,.,n2都屬于方程組AX0解空間，從而是方程組AX0解空間的一組基4（1）設(shè)數(shù)域K上n級矩陣，對任意正整數(shù)m，求CmC是什么？（2）用Mn(K)表示數(shù)域K上所有n級矩陣組成的集合，它對于矩陣的加法和數(shù)量乘法成為K上的線a1a2a3a

6、n性空間。數(shù)域K上n級矩陣Aana1a2an1稱為循環(huán)矩陣。用U表示K上所有n級循環(huán)a2a3a4a1矩陣組成的集合。證明：U是Mn(K)的一個子空間，并求U的一個基和維數(shù)。證：aaaa123n對任意的aaaan12n1AU，以及kK，有aiKkaiK,(i1,2,.,n)aaaa2341aaaakakakaka123n123n因此aaaakakakakan12n1n12n1kAkUaaaakakakaka23412341aaaa123nbbbb123n對任意的aaaan12n1AU，和bbbbn12n1BU，有aaaa2341bbbb2341aK,bKabK,iiii因此aaaabbbbaba

7、babab123n123n112233nnaaaabbbbababababn12n1n12n1nn1122n1n1ABUaaaabbbbabababab2341234122334411可知U是Mn(K)的一個子空間。cccci1i2i3in記Ciccccini1i2i(n1)，其中cij0,1,jiji，i1,2,.,n，cccci2i3i4i1aaaa123n對任意的aaaan12n1AU，有nAaC，即U所有向量都能用向量組kkk1aaaa2341(C,C,.,Cn)線性表出12kkkk123n設(shè)一組數(shù)kiK,i1,2,.,n，滿足nkCO，亦即iinkkkkn12n1Oni1kkkk23

8、41可得ki0,i1,2,.,n，向量組(C1,C2,.,Cn)線性無關(guān)綜上向量組(C1,C2,.,Cn)是U的一組基5（1）設(shè)實數(shù)域R上n級矩陣H的(i,j)元為i1j1（n1）。在實數(shù)域上n維線性空間nR中，對于n,R，令f(,)H。試問：f是不是nR上的一個內(nèi)積，寫出理由。（2）設(shè)A是n級正定矩陣（n1）nR，且是非零列向量。令BA，求B的最大特征值以及B的屬于這個特征值的特征子空間的維數(shù)和一個基解：(1)f是nR上的一個內(nèi)積，證明如下：容易驗證f是nR上的一個雙線性函數(shù)a1對nR中任意的非零向量a2，f(,)Hnni1j1aaijij1an令ni1gxax，是R上的一個多項式函數(shù)，有(

9、)ii1nn2ij20g(x)aaxiji1j1可得11nnnnaa2ij2ij0g(x)dxaaxdxf(,)iji1j1i1j100ij11若2g(x)dx0，由于gx在0，1上連續(xù)，則必有2()2()gx，g(x)02()02()001則ai0,i1,2,.,n，即0，與是nR中非零向量矛盾。所以2g(x)dx0，f(,)00所以f是nR上的一個內(nèi)積(2)由于A正定，0，可得A0，A0，1rankBrank，由rankB1知方程組BX0解空間W的維數(shù)為n1，W0同時也是B的屬于0特征值的特征0子空間由0，A0和()BAAAAAA，知是B的特征值，A是B的屬于特征值的特征向量設(shè)B的屬于這個特征值的特征子空間為W，由0，WW00，所以dimWdimWdim(WW)n00即dimW1，而A0,AW，dimW1，W的一組基為AdimW1dimWdimWn，因此B沒有其他特征值，0是B的唯一非零特征值，0也是B最大的特征向量6設(shè)A是數(shù)域R上n維線性空間V上的一個線性變換，用I表示V上的恒等變換，證明：A3IIAIAA2ran(k)ran(k)n證明：記32f(x)1x,g(x)1x,h(x)1xx其中(g(x)