人教版八年級數(shù)學上冊軸對稱最短路徑問題課件ppt

1、人教版八年級數(shù)學上冊軸對稱最短路徑問題學習目標1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想（重點）導入新課復習引入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短3.在我們前面的學習中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點A關(guān)于直線l的對稱點？AlA 講授新課牧人飲馬問題一 “兩點的所有連線中，線段最短”“連

2、接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題. 現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.ABPlABCD 如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl問題1 現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB,與直

3、線l相交于一點C.問題2 如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB的長度相等？ ABl利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B.方法揭曉作法：（1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C 則點C 即為所求 ABlB C問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線l 上任取一點C(與點C 不重合)，連接AC，BC，BC由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC+BC在

4、ABC中，ABAC+BC，AC +BCAC+BC即AC +BC 最短ABlB CC 練一練：如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD例1 如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A7.5 B5 C4 D不能確定 典例精析解析：ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求C

5、F+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.例2 如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當ABC的周長最小時點C的坐標是（）A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0） 解析：作B點關(guān)于y軸對稱點B，連接AB，交y軸于點C，此時ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B的坐標可得到BE、AE的長，然后證明BCO為等腰直角三角形即可BCEA方法總結(jié)：求三角形周長的最

6、小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置. 如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM造橋選址問題二BA ?NMNMNM折移 如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.

7、3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BABAAB1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了BA3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢？問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N，連接AM，BN，AN.由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為，而轉(zhuǎn)化為.在ANB中，因為A1N1+BN1A1B.因此 AM+MN+BN.ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且B

8、N=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.方法歸納解決最短路徑問題的方法 在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.當堂練習1.如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點，A、A關(guān)于直線m對稱，A、B關(guān)于直線n對稱

9、，直線m與AB和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）AP是m上到A、B距離之和最短的 點，Q是m上到A、B距離相等的點 BQ是m上到A、B距離之和最短的 點，P是m上到A、B距離相等的點 CP、Q都是m上到A、B距離之和最 短的點 DP、Q都是m上到A、B距離相等 的點 A2.如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10在OA上有一點Q，OB上有一點R若PQR周長最小，則最小周長是（） A10 B15 C20 D30 A3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，

10、所走的最短距離是 米.ACBD河10004.如圖，邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）點P在x軸上，當PA+PB的值最小時，在圖中畫出點PxyOBABP 5.如圖，荊州古城河在CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD ,EE （橋?qū)挷挥嫞O(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD E EB的路程最短？ADD CCEEB解：作AFCD,且AF=河寬，作BG CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E ,D.作DD,EE即為橋.理由：由作圖法可知，AF/DD，AF=DD，則四邊形AFDD為平行四邊形，于是AD=FD,同理，BE=GE，由兩點之間線段最短可知，GF最小.AD CCEEBFGD 6.（1）如圖，在AB直線一側(cè)C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由（2）如圖，在AOB內(nèi)部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由（3）如圖，在AOB內(nèi)部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的