概率論課件1.5

1、概率論與數(shù)概率論與數(shù) 理理 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì)主講主講: :趙敏趙敏 1.5 1.5 條件概率、全概率公式和貝葉斯公式條件概率、全概率公式和貝葉斯公式一、條件概率的概念一、條件概率的概念1 1直觀背景直觀背景 例例1 1 已知一批產(chǎn)品有已知一批產(chǎn)品有100100個(gè)，其中個(gè)，其中1515個(gè)為一等品，在這個(gè)為一等品，在這批產(chǎn)品中一車間生產(chǎn)的有批產(chǎn)品中一車間生產(chǎn)的有7575個(gè)，而在第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)個(gè)，而在第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中有品中有1010個(gè)為一等品，今任取一個(gè)產(chǎn)品，問它是一等品個(gè)為一等品，今任取一個(gè)產(chǎn)品，問它是一等品（事件（事件A）的概率是多少？又若已知抽取的產(chǎn)品是第一）的概率是多少？又若已知抽取的產(chǎn)品是

2、第一車間生產(chǎn)的（事件車間生產(chǎn)的（事件B），問它是一等品的概率是多少？），問它是一等品的概率是多少？ 上述兩個(gè)問題雖然都是求一等品的概率，但前者是在上述兩個(gè)問題雖然都是求一等品的概率，但前者是在這批產(chǎn)品這批產(chǎn)品100100個(gè)中考慮的，而后者卻是在第一車間生產(chǎn)的個(gè)中考慮的，而后者卻是在第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)品7575個(gè)個(gè)中考慮的，因而所求的概率不同，前者為中考慮的，因而所求的概率不同，前者為,10015后者為后者為.75107510,10015BAPAP為了區(qū)別這兩種概率，我們分別記例例2 袋中有7只白球, 3只紅球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 紅球中有2只木球, 1只塑料球. 現(xiàn)從袋中任取

3、1球, 假設(shè)每個(gè)球被取到的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 問它是木球的概率是多少？設(shè) A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.古典概型古典概型 所求的概率稱為所求的概率稱為在事件A 發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的條件概率。記為記為ABP解解 列表列表白球紅球小計(jì)木球426塑球314小計(jì)731074ABPABABkk 4AAkn7從而有從而有AABkkABP7410/ 710/ 4nknkAAB)()(APABP2條件概率的定義和性質(zhì)定義：定義： 若（ ，F(xiàn)，P ）是一個(gè)概率空間，B F，且P（B）0，則對(duì)任意的 A F，稱 為在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概條件概

4、率率。 BPABPBAP（1） 古 典 概 型 可用縮減樣本空間法（2） 其 他 概 型 用定義與有關(guān)公式條件概率的計(jì)算方法）還還是是女女孩孩是是等等可可能能的的（假假定定一一個(gè)個(gè)小小孩孩是是男男孩孩大大？孩孩也也是是女女孩孩的的概概率率為為多多女女孩孩，問問這這時(shí)時(shí)另另一一個(gè)個(gè)小小，已已知知其其中中一一個(gè)個(gè)為為一一個(gè)個(gè)家家庭庭中中有有兩兩個(gè)個(gè)小小孩孩例例. 3 .),( .),( ),( ),( A.),( ),( ),( ),( 女女女女另一個(gè)也是女孩另一個(gè)也是女孩女女女女男男女女，女女男男已知一個(gè)是女孩已知一個(gè)是女孩設(shè)設(shè)女女女女男男女女，女女男男，男男男男據(jù)題意，樣本空間為據(jù)題意，樣本空

5、間為解解B.314/34/1)()(A|BAPABPP）（于是所求事件的概率為不難驗(yàn)證，條件概率具有概率的三個(gè)基本性質(zhì)：不難驗(yàn)證，條件概率具有概率的三個(gè)基本性質(zhì)：（1 1）非負(fù)性：）非負(fù)性： 0BAP（2 2）規(guī)范性：）規(guī)范性： 1BP（3 3）可列可加性：對(duì)任意的一列兩兩互不相）可列可加性：對(duì)任意的一列兩兩互不相, 2 , 1iAi有有 11iiiiBAPBAP容的事件容的事件類似于概率，還可導(dǎo)出條件概率其它的一些性質(zhì)類似于概率，還可導(dǎo)出條件概率其它的一些性質(zhì)0BP（4 4）（5 5） 若若 兩兩互不相容，則兩兩互不相容，則 nAAA,21niiniiBAPBAP11BCPBAPBCAP若若

6、 ，則，則 AC （7 7）（8 8）對(duì)任意事件對(duì)任意事件A A、C C，有，有 BACPBCPBAPBCAP一般地：一般地： BAAAPBAAPBAPBAPnnninjijiinii211111（6 6）對(duì)任意事件對(duì)任意事件A A， BAPBAP1解解 設(shè)設(shè)B B=“=“燈泡用到燈泡用到50005000小時(shí)小時(shí)”，A A=“=“燈泡用到燈泡用到1000010000小時(shí)小時(shí)” ” 21,43APBP我們知道用到我們知道用到1000010000小時(shí)的燈泡一定用了小時(shí)的燈泡一定用了50005000小時(shí)，即小時(shí)，即 , BA所以所以AB=A， APABP BPABPBAP 這表明，用了這表明，用了5

7、0005000小時(shí)的燈泡再用到小時(shí)的燈泡再用到1000010000小時(shí)的可能性比沒小時(shí)的可能性比沒有用過的新燈泡用到有用過的新燈泡用到1000010000小時(shí)的可能性大，這是很自然的，因小時(shí)的可能性大，這是很自然的，因?yàn)榍罢咭呀?jīng)剔除了那些沒有用到為前者已經(jīng)剔除了那些沒有用到50005000小時(shí)的質(zhì)量較次的燈泡。小時(shí)的質(zhì)量較次的燈泡。 于是，于是，例例4 4 某種燈泡使用某種燈泡使用50005000小時(shí)未壞的概率為小時(shí)未壞的概率為 ，使用，使用1000010000小時(shí)未壞的概率為小時(shí)未壞的概率為 ，現(xiàn)有一只這種燈泡已經(jīng)使，現(xiàn)有一只這種燈泡已經(jīng)使用了用了50005000小時(shí)未壞，問它能用到小時(shí)未壞

8、，問它能用到1000010000小時(shí)的概率是多少？小時(shí)的概率是多少？4321 APBPAP21324321二、乘法公式二、乘法公式 BPBAPABP（ ）. APABPABP上式稱為隨機(jī)事件概率的上式稱為隨機(jī)事件概率的乘法公式乘法公式. . 若若 ，由條件概率定義，可得，由條件概率定義，可得 ( )0P B )0)(AP定理：兩個(gè)事件積的概率等于其中一個(gè)事件的概率與定理：兩個(gè)事件積的概率等于其中一個(gè)事件的概率與另一事件在前一事件發(fā)生的條件下的條件概率之積另一事件在前一事件發(fā)生的條件下的條件概率之積 。 即：即： BAPBPABP ABPAPABP下面我們利用概率的統(tǒng)計(jì)定義證明一下這個(gè)結(jié)論。下面

9、我們利用概率的統(tǒng)計(jì)定義證明一下這個(gè)結(jié)論。證明：假設(shè)試驗(yàn)重復(fù)了證明：假設(shè)試驗(yàn)重復(fù)了n次，事件次，事件A發(fā)生了發(fā)生了m次，事件次，事件B 發(fā)生了發(fā)生了k次，事件次，事件AB發(fā)生了發(fā)生了r次，則次，則事件事件A發(fā)生的頻率為：發(fā)生的頻率為：m/n 事件事件B發(fā)生的頻率為：發(fā)生的頻率為：k/n 事件事件AB發(fā)生的頻率為：發(fā)生的頻率為：r/n 在事件在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生發(fā)生 的頻率為：的頻率為：r/m 由于由于)()()(,ABfAfABfmrnmnrnnn即由概率的統(tǒng)計(jì)定義由概率的統(tǒng)計(jì)定義,概率是頻率的穩(wěn)定性數(shù)值概率是頻率的穩(wěn)定性數(shù)值,故故)/()()(ABPAPABP乘法公式

10、它可推廣到任意有限個(gè)事件乘法公式它可推廣到任意有限個(gè)事件. . 設(shè)設(shè) 為任意為任意n個(gè)事件，滿足個(gè)事件，滿足 nAAA,21, 0121nAAAP .12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP則則有有()() nnnP A AAPA AAA12121()(|)(|)(|)iinnP AP AAP AA AAP AA AA121121121()(|)nnnP A AAP AA AA121121 儒林外史儒林外史中有一章講的是范進(jìn)中舉的故事，這其實(shí)中有一章講的是范進(jìn)中舉的故事，這其實(shí)也是一個(gè)概率問題。現(xiàn)在我們來算一下，范進(jìn)晚年中舉也是一個(gè)概率問題。現(xiàn)在我們來算一下，范進(jìn)晚年中

11、舉的概率究竟有多大？的概率究竟有多大？.0282. 0)3 . 01 ()|()|()()(21iiA)(3 . 0 10921101211021iAAAAPAAPAPAAAP十次都不中的概率為十次都不中的概率為，則他連考，則他連考，次鄉(xiāng)試未考中，次鄉(xiāng)試未考中，第第令令，非常小非常小中的概率為中的概率為假設(shè)每次鄉(xiāng)試，范進(jìn)考假設(shè)每次鄉(xiāng)試，范進(jìn)考 通過計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，范進(jìn)晚年中舉的概率竟高達(dá)通過計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，范進(jìn)晚年中舉的概率竟高達(dá)97.18%97.18%，這也從另一個(gè)方面啟示我們，學(xué)習(xí)重要的，這也從另一個(gè)方面啟示我們，學(xué)習(xí)重要的是持之以恒是持之以恒。 例例5 5 設(shè)在一盒子中裝有設(shè)在一盒子中裝有1

12、010只球，只球，4 4只黑球，只黑球，6 6只白球，只白球，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，問兩次在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，問兩次都拿到白球的概率是多少？都拿到白球的概率是多少？解法一：解法一： 用古典概型來做用古典概型來做 設(shè)設(shè)A A=“=“兩次都拿到白球兩次都拿到白球”， 3121026CCAP解法二：解法二： 用乘法公式來做用乘法公式來做 設(shè)設(shè)B B=“=“第一次拿到白球第一次拿到白球”，A A=“=“第二次拿到白球第二次拿到白球”， ABAB=“=“兩次都拿到白球兩次都拿到白球”， ，則則95,106BAPBP 3195106.BAPBPABP例例6 6 一

13、場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行, 5, 5個(gè)個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券. .大家大家都想去都想去, ,只好用抽簽的方法來解決只好用抽簽的方法來解決. .入場(chǎng)入場(chǎng)券券5 5張同樣的卡片張同樣的卡片, ,只有一張上寫有只有一張上寫有“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”, ,其余的其余的什么也沒寫什么也沒寫. . 將它們放在一起將它們放在一起, ,洗勻洗勻, ,讓讓5 5個(gè)人依次抽個(gè)人依次抽取取. .后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？ “先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ”. ” 到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率到底誰說

14、的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下論的知識(shí)來計(jì)算一下, ,每個(gè)人抽到每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”的概率到底有多大的概率到底有多大? ?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到一個(gè)按次序來，誰抽到入場(chǎng)券入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大的機(jī)會(huì)都一樣大.”.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大。先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！币?yàn)槿舻谝驗(yàn)槿舻? 2個(gè)人抽到個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第了入場(chǎng)券，第1 1個(gè)人個(gè)人肯定沒抽到肯定沒抽到. .也就是要想第也就是要想第2 2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1 1個(gè)人未抽到個(gè)人未抽到, ,)|()()(1212AAPAPA

15、P212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5計(jì)算得計(jì)算得：我們用我們用Ai表示表示“第第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券個(gè)人抽到入場(chǎng)券” i1,2,3,4,5.顯然顯然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1 1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/51/5. .也就是說，也就是說，iA則則 表示表示“第第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答. . 同理，第同理，第3 3個(gè)人要抽到個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”，必

16、須第，必須第1 1、第、第2 2個(gè)人都沒有抽到個(gè)人都沒有抽到. . 因此因此 繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), , 每個(gè)人抽到每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券入場(chǎng)券” ” 的的概率都是概率都是1/5.1/5.抽簽不必爭(zhēng)先恐后抽簽不必爭(zhēng)先恐后也就是說，也就是說，(4/5)(3/4)(1/3)=1/5三、全概率公式三、全概率公式例例7 7從從5 5個(gè)乒乓球（個(gè)乒乓球（3 3個(gè)新的，個(gè)新的，2 2個(gè)舊的）中每次取一個(gè)舊的）中每次取一個(gè)，無放回地取兩次，試求第二次取到新球的概率。個(gè)，無放回地取兩次，試求第二次取到新球的概率。解：解： 設(shè)B=“第一次取到新球”，A=“第二次取到新球” 注意，這不是求條件概率 A

17、BPBAP,BAABBBAAA BAPABPBAABPAP BAPBPBAPBP5343524253BBAAB AB( )()P AP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P B P A BP B P A B全概率公式全概率公式例例8 8在在A、B、C三個(gè)盒子中共裝有三個(gè)盒子中共裝有1010個(gè)外形不可分辨的個(gè)外形不可分辨的球，在球，在A盒中有兩個(gè)新球，一個(gè)舊球；在盒中有兩個(gè)新球，一個(gè)舊球；在B盒中有兩個(gè)新盒中有兩個(gè)新球，兩個(gè)舊球；在球，兩個(gè)舊球；在C盒中有一個(gè)新球，兩個(gè)舊球。設(shè)取盒中有一個(gè)新球，兩個(gè)舊球。設(shè)取到每一個(gè)盒子的機(jī)會(huì)是均等的，現(xiàn)從三個(gè)盒子中任取一到每一個(gè)盒子的

18、機(jī)會(huì)是均等的，現(xiàn)從三個(gè)盒子中任取一個(gè)球，問取到新球的概率是多少？個(gè)球，問取到新球的概率是多少？解： 設(shè)A=“取到新球” =“取到A盒”， =“取到B盒”， =“取到C盒”。1B2B3B 321ABABABPAP321ABPABPABP 332211BAPBPBAPBPBAPBP21313142313231圖示圖示A1B2B3B1AB2AB3AB 321ABABABPAP 332211BAPBPBAPBPBAPBP 由以上兩例看出，當(dāng)求某一事件由以上兩例看出，當(dāng)求某一事件A的概率比較困難，的概率比較困難，而求條件概率比較容易時(shí)，可先設(shè)法將這個(gè)事件而求條件概率比較容易時(shí)，可先設(shè)法將這個(gè)事件A分成分

19、成幾個(gè)互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解幾個(gè)互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。把這個(gè)方法一般化，便得到下面的定理。之。把這個(gè)方法一般化，便得到下面的定理。. )|()()( A, 2 , 1, 0)(, 2 . 1 1121iiiiiiBAPBPAPiBPBBB，有有則則對(duì)對(duì)任任一一事事件件有有，且且是是一一列列互互不不相相容容的的事事件件設(shè)設(shè)定定理理這個(gè)公式通常稱為這個(gè)公式通常稱為全概率公式全概率公式，它是概率論中，它是概率論中最基本的公式之一。最基本的公式之一。jiBB由由()()ijABAB 圖示圖示A1B2B3B證明證明化整為零化整為零各個(gè)擊破各個(gè)擊破).|()

20、()( )()()()(1111iiiiiiiiiBAPBPABPABPBAPAPAP由此有由此有nB 說明說明 全概率公式的主要用途全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題率計(jì)算問題, ,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題事件的概率計(jì)算問題, ,最后應(yīng)用最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果概率的可加性求出最終結(jié)果. .而而這需要對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分這需要對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分. .A1B2B3B1nBnB12001212,1, ,1,2, ;2,.nijnnEB BBEB Bi jnBBBB BB 定義設(shè)為試驗(yàn) 的樣本空間為的一組事件 若則

21、稱為樣本空間的一個(gè)劃分1B2B3BnB1nB 例例9 9 某外形相同的球分別裝入三個(gè)盒子，每盒某外形相同的球分別裝入三個(gè)盒子，每盒1010個(gè)，個(gè)，其中第一個(gè)盒子中其中第一個(gè)盒子中7 7個(gè)球標(biāo)有字母?jìng)€(gè)球標(biāo)有字母A,A,三個(gè)標(biāo)有字母三個(gè)標(biāo)有字母B;B;第第二個(gè)盒子有紅球和白球各二個(gè)盒子有紅球和白球各5 5個(gè)，第三個(gè)盒子中個(gè)，第三個(gè)盒子中8 8個(gè)紅球，個(gè)紅球， 2 2個(gè)白球。試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行，先在第一盒子任取一個(gè)白球。試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行，先在第一盒子任取一球，若取得球標(biāo)有字母球，若取得球標(biāo)有字母A A，則在第二盒子任取一球；若，則在第二盒子任取一球；若取得球標(biāo)有字母取得球標(biāo)有字母B B，則在第三個(gè)

22、盒子任取一球；若第二，則在第三個(gè)盒子任取一球；若第二次取出的球標(biāo)是紅球，則稱試驗(yàn)為成功，求試驗(yàn)成功的次取出的球標(biāo)是紅球，則稱試驗(yàn)為成功，求試驗(yàn)成功的概率。概率。令A(yù)=從第一個(gè)盒子取得標(biāo)有字母A的球解解B=從第一個(gè)盒子取得標(biāo)有字母B的球A=從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母 A的球B=從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球R=第二次取出的球是紅球W=第二次取出的球是白球 BRPBPARPAPRP59010810321107.解令品的概率是多少？品的概率是多少？格格一件，問恰好抽到不合一件，問恰好抽到不合現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取及及、格品率依次為格品率依次為又這四條流水線的不合又這四條流水線的不

23、合，和和、總產(chǎn)量的總產(chǎn)量的條流水線的產(chǎn)量分別占條流水線的產(chǎn)量分別占產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四某工廠有四條流水線生某工廠有四條流水線生例例.02. 003. 004. 005. 0%35%30%20%15 10 ,02. 0)|(,03. 0)|(,04. 0)|(,05. 0)|(,35. 0)(, 3 . 0)(, 2 . 0)(,15. 0)(43214321BAPBAPBAPBAPBPBPBPBP則則解解 令令A(yù)= =任取一件，恰好抽到不合格品任取一件，恰好抽到不合格品, ,Bi= = 任取一件任取一件, ,恰好抽到第恰好抽到第i條流水線的產(chǎn)品條流水線的產(chǎn)品,i=1,2,3,4

24、=1,2,3,4%15. 30315. 002. 035. 003. 03 . 0 04. 02 . 005. 015. 0)|()()( 41iiiBAPBPAP于是由全概率公式可得于是由全概率公式可得 例例11(11(續(xù)例續(xù)例10)10)在上例中在上例中, ,若該廠規(guī)定若該廠規(guī)定, ,出了不合格品要追出了不合格品要追究有關(guān)流水線的經(jīng)濟(jì)責(zé)任，現(xiàn)在在出廠產(chǎn)品中任取一件究有關(guān)流水線的經(jīng)濟(jì)責(zé)任，現(xiàn)在在出廠產(chǎn)品中任取一件, ,結(jié)果為不合格品結(jié)果為不合格品, , 但該產(chǎn)品是哪一條流水線生產(chǎn)的標(biāo)志已但該產(chǎn)品是哪一條流水線生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落經(jīng)脫落, ,問廠方如何處理這件不合格品比較合理？比方說，問廠方如何

25、處理這件不合格品比較合理？比方說，第第4 4條條( (或第或第1 1、2 2、3 3條條) )流水線應(yīng)承擔(dān)多大的責(zé)任？流水線應(yīng)承擔(dān)多大的責(zé)任？解解 從概率論的角度考慮可以按從概率論的角度考慮可以按P( (Bi| |A) )的大小來追究第的大小來追究第i條條( (i=1,2,3,4)=1,2,3,4)流水線的經(jīng)濟(jì)責(zé)任流水線的經(jīng)濟(jì)責(zé)任. .由上例知由上例知P( (A)=0.0315,)=0.0315,應(yīng)用條件概率的定義，得應(yīng)用條件概率的定義，得2381. 00315. 005. 015. 0)()|()()()()|(1111APBAPBPAPABPABP,2222. 0)|(,2857. 0)|

26、(,2540. 0)|( 432ABPABPABP同理可得同理可得 四、四、 貝葉斯公式貝葉斯公式 定理定理 設(shè)設(shè) 為一列互不相容的事件，且有為一列互不相容的事件，且有,21BB., 2 , 1,1iBAPBPBAPBPABPjjjiii這個(gè)公式稱為這個(gè)公式稱為貝葉斯公式貝葉斯公式（逆概公式）（逆概公式）.則對(duì)任意的事件則對(duì)任意的事件A，有，有, 2 , 1, 0)(,1iBPBiii例12 盒中有12只乒乓球，其中9只是沒有用過的新球，第一次比賽時(shí)任取3只使用，用畢返回，第二次比賽時(shí)任取3只球。（1）求第二次取出的全是新球的概率 （2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率

27、。解 設(shè) =“第一次取出的3只球都是舊球”， 1A2A=“第一次取出的3只球中有2只新球”， =“第一次取出的3只球中有2只新球”， =“第一次取出的3只球都是新球”， B=“第二次取出的都是新球”。3A4A 44111ABPAPABPAPBP）則（1458. 031236312393123731229133123831219233123931233CCCCCCCCCCCCCCCCCC 2381. 02444BPABPAPBAP）（貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用. . 它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最）發(fā)生的最可能原因可能原因

28、. .例例1313某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.0050.005，患者對(duì)一種試，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.950.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為應(yīng)是陽性的概率為0.040.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大? ?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. . CCC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下: : 設(shè)設(shè) C=抽查的人患有癌

29、癥抽查的人患有癌癥 ， A=試驗(yàn)結(jié)果是陽性試驗(yàn)結(jié)果是陽性 ，求求 P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義. .由由貝葉斯公式貝葉斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入數(shù)據(jù)計(jì)算得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得 P(CA)= 0.1066 2. 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? ? 1. 1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？ 如果不做試驗(yàn)如果不做試驗(yàn), ,抽查一人抽查一人, ,他是患者的概率他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是患者陽性反應(yīng)的概率是0.95

30、，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為從從0.0050.005增加到增加到0.1066,0.1066,將近增加約將近增加約2121倍倍. .1. 1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義. .P( (CA)= 0.1066)= 0.1066 P( (C)=0.005)=0.005 試驗(yàn)結(jié)果為陽性試驗(yàn)結(jié)果為陽性 , , 此人確患癌癥的概率為此人確患癌癥的概率為 P(CA)=0.1066 2. 2. 即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論