MATLAB的優(yōu)化函數(shù)

1、MATLAB優(yōu)化工具箱常用函數(shù)的應(yīng)用 nMATLAB優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox）中包含有一系列優(yōu)化算法和模塊，可以用于求解約束線性最小二乘優(yōu)化、約束非線性或無(wú)約束非線性極小值問(wèn)題、非線性最小二乘逼近和曲線擬合、非線性系統(tǒng)方程和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題。n處理優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的分析和計(jì)算時(shí)，根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，按照所選用優(yōu)化工具函數(shù)的要求，輸入初始點(diǎn)，與約束條件相應(yīng)的約束函數(shù)和系數(shù)矩陣，將優(yōu)化工具函數(shù)作為 “黑箱”調(diào)用，即可獲得與所有條件都相容的優(yōu)化結(jié)果。 1.Matlab1.Matlab優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介介1)MATLAB1)MATLAB求解優(yōu)化問(wèn)題的主要函數(shù)

2、求解優(yōu)化問(wèn)題的主要函數(shù)類(lèi) 型模 型基本函數(shù)名一元函數(shù)極小Min F（x）s.t.x1xx2x=fminbnd(F,x1,x2)無(wú)約束極小Min F(X)X=fminunc(F,X0)X=fminsearch(F,X0)線性規(guī)劃M(mǎn)in XcTs.t.AX=bX=linprog(c,A,b)二次規(guī)劃M(mǎn)in 21xTHx+cTxs.t. Ax=bX=quadprog(H,c,A,b)約束極?。ǚ蔷€性規(guī)劃）Min F(X)s.t. G(X)=0X=fmincon(FG,X0)達(dá)到目標(biāo)問(wèn)題Min rs.t. F(x)-wr=goalX=fgoalattain(F,x,goal,w)極小極大問(wèn)題Min m

3、ax Fi(x)X Fi(x)s.t. G(x)=0X=fminimax(FG,x0)2) 2) 優(yōu)化函數(shù)的輸入變量?jī)?yōu)化函數(shù)的輸入變量 使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其它優(yōu)化函數(shù)時(shí), 輸入變量見(jiàn)下表:變量描 述調(diào)用函數(shù)f線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)f*X 或二次規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)X*H*X+f*X 中線性項(xiàng)的系數(shù)向量linprog,quadprogfun非線性?xún)?yōu)化的目標(biāo)函數(shù).fun必須為行命令對(duì)象或M文件、嵌入函數(shù)、或MEX文件的名稱(chēng)fminbnd,fminsearch,fminunc,fmincon,lsqcurvefit,lsqnonlin,fgoalattain,fminimaxH二次規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)X*H

4、*X+f*X 中二次項(xiàng)的系數(shù)矩陣quadprogA,bA矩陣和b向量分別為線性不等式約束：bAX 中的系數(shù)矩陣和右端向量linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon, fminimaxAeq,beqAeq矩陣和beq向量分別為線性等式約束：beqXAeq中的系數(shù)矩陣和右端向量linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon, fminimaxvlb,vubX的下限和上限向量：vlbXvublinprog,quadprog,fgoalattain,fmincon,fminimax,lsqcurvefit,lsqnonlinX0迭代初始點(diǎn)坐標(biāo)除f

5、minbnd外所有優(yōu)化函數(shù)x1,x2函數(shù)最小化的區(qū)間fminbndoptions優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)結(jié)構(gòu)，定義用于優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)所有優(yōu)化函數(shù)3) 3) 優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表優(yōu)化函數(shù)的輸出變量下表: :用用MatlabMatlab解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 1. 一元函數(shù)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題一元函數(shù)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題: : min f（x） 21xxx 其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。常用格式如下：常用格式如下：（1）x= fminbnd (x= fminbnd

6、(fun,xfun,x1 1,x,x2 2) )（2）x= fminbnd (x= fminbnd (fun,xfun,x1 1,x,x2 2 ，options)options)（3）xx，fval= fminbndfval= fminbnd（.）（4）xx，fvalfval，exitflag= fminbndexitflag= fminbnd（.）（5）xx，fvalfval，exitflagexitflag，output= fminbndoutput= fminbnd（.）運(yùn)行結(jié)果： xmin = 3.9270 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 ymax = 0.6

7、448 主程序?yàn)橹鞒绦驗(yàn)閣liti1.m:wliti1.m: f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作圖語(yǔ)句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)2、求解多維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的函數(shù)fminuncnfminunc是基于梯度搜索法實(shí)現(xiàn)的優(yōu)化工具箱函數(shù)，它的語(yǔ)法說(shuō)明如下：nx，fval，exitflag，output，grad，hessiann =fminunc(fun，x0，options，P1，P2)n其中，輸出參數(shù)有：nx是返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；

8、nfval是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值；nexitflag是返回算法的終止標(biāo)志；noutput是返回優(yōu)化算法的信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；ngrad是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的梯度；nhessian是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的hessian矩陣值。 n輸入?yún)?shù)有：nfun是調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名；nx0是初始點(diǎn)；options是設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)，包括有18個(gè)元素，用以在計(jì)算時(shí)控制精度要求、輸出形式、算法選擇、迭代次數(shù)、梯度等重要問(wèn)題?？捎每站仃嚪?hào)“ ”表示它的默認(rèn)值；nP1、P2等是傳遞給fun的附加參數(shù)。 例例 已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為 ，高度為 ，面積 ，斜邊與底邊的夾角為

9、.管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng) 的倒數(shù)成比例關(guān)系 。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。 n解：1、建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型n管道截面周長(zhǎng)n由管道截面面積n得到底邊長(zhǎng)度關(guān)系式 ch264516mmA scot64516cot645162hhhhc64516cot2hchAsin2hcsn將它代入式管道截面周長(zhǎng)的關(guān)系式中，得到n n因此，取與管道截面周長(zhǎng)有關(guān)的兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，即n n為使液體流速最大，取管道截面周長(zhǎng)最小作為目標(biāo)函數(shù)，即n n這是一個(gè)二維無(wú)約束非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題。 sin2cot64516hhhssin2tan64516hhhhxxX2121211s

10、in2tan64516)(minxxxxxXfn2、編制MATLAB目標(biāo)函數(shù)文件nfunction f=sc_wysyh(x)na=64516;nf=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*pi/180)+2*x(1)/sin(x(2)*pi/180);n編制調(diào)用無(wú)約束優(yōu)化工具函數(shù)fminunc文件nx0=25;45;nx,fval=fminunc(sc_wysyh,x0)n程序運(yùn)行后得到優(yōu)化結(jié)果：nx =n 192.9983 （梯形截面高度）n 60.0000 （梯形截面斜邊與底邊夾角）nfval =n 668.5656 （梯形截面周長(zhǎng)） n3、編制繪制目標(biāo)函數(shù)等值線和曲面圖的程序 nxx

11、1=linspace(100,300,25);nxx2=linspace(30,120,25);nx1,x2=meshgrid(xx1,xx2);nf=64516./x1-x1./tan(x2*pi/180)+2*x1./sin(x2*pi/180);nsubplot(1,2,1);nh=contour(x1,x2,f); % 繪制等高線并標(biāo)注高程nclabel(h);%等高線高程標(biāo)志函數(shù)naxis(100 300 30 120)nxlabel(高度 h (mm)nylabel(傾斜角 (度)ntitle(目標(biāo)函數(shù)等值線)nsubplot(1,2,2);nsurfc(x1,x2,f);naxi

12、s(100 300 30 120 600 1200)ntitle(目標(biāo)函數(shù)曲面圖)用Matlab解約束極小值問(wèn)題fminconnfmincon是求解多維約束優(yōu)化問(wèn)題n的優(yōu)化工具箱函數(shù)。)()(0)(0)()()(: . .)(min邊界約束非線性等式約束）（非線性不等式約束）（線性等式約束線性不等式約束UbXLbXCeqXCbeqXAeqbAXtsXfn它的語(yǔ)法說(shuō)明如下：nx,fval,exitflag,output,lambda,grad,hession=nfmincon(fun，x0，A，b，Aeq，beq，Lb，Ub，Nlc，options，P1，P2，)n其中，輸入?yún)?shù)有：nx是返回目

13、標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；n fval是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值；nexitflag是返回算法的終止標(biāo)志；noutput是返回優(yōu)化算法的信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；ngrad是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的梯度；nhessian是返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的hessian矩陣值。 n輸出參數(shù)有：nfun是調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名；nx0是初始點(diǎn)；n線性不等式約束條件的系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b；n線性等式約束條件的系數(shù)矩陣Aeq和常數(shù)向量beq；n設(shè)計(jì)變量的下界向量Lb和上界向量Ub；nNlc是定義非線性約束條件的函數(shù)名；noptions是設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)；nP1、P2等是傳遞給fun的附加參數(shù)。n參數(shù)A，b，A

14、eq，beq，Lb，Ub，options如果沒(méi)有定義，可用空矩陣符號(hào)“ ”代替。 例例 某二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器，高速級(jí)輸入功率 ,轉(zhuǎn)速 ；總傳動(dòng)比 ，齒輪寬度系數(shù) ，齒輪材料和熱處理：大齒輪45號(hào)鋼正火187207HB，小齒輪45號(hào)鋼調(diào)質(zhì)228255HB，工作壽命10年以上。要求按照總中心距 最小來(lái)確定齒輪傳動(dòng)方案。n解：將涉及總中心距 齒輪傳動(dòng)方案的六個(gè)獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量n式中， 分別為高速級(jí)和低速級(jí)齒輪副的模數(shù)；n 分別為高速級(jí)和低速級(jí)小齒輪齒數(shù)；n 為高速級(jí)傳動(dòng)比；n 為齒輪副螺旋角。 KWP2 . 61min/14501rn 5 .31i4 . 0aa aTTnnxxxxx

15、xiZZmmX65432113121,21,nnmm31,ZZ1in減速器總中心距 最小的目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) n n性能約束性能約束包括：齒面接觸強(qiáng)度條件，齒根彎曲強(qiáng)度條件，高速級(jí)大齒輪與低速軸不干涉條件等。根據(jù)齒輪材料與熱處理規(guī)范，得到齒面許用接觸應(yīng)力和齒根許用彎曲應(yīng)力。根據(jù)傳遞功率和轉(zhuǎn)速，在齒輪強(qiáng)度計(jì)算條件中代入有關(guān)數(shù)據(jù)：高速軸轉(zhuǎn)矩，中間軸轉(zhuǎn)矩，高速軸和低速軸載荷系數(shù)。n邊界約束邊界約束包括：根據(jù)傳遞功率與轉(zhuǎn)速估計(jì)高速級(jí)和低速級(jí)齒輪副模數(shù)的范圍；綜合考慮傳動(dòng)平穩(wěn)、軸向力不能太大、軸齒輪的分度圓直徑不能太小與兩級(jí)傳動(dòng)的大齒輪浸油深度大致相近等因素，估計(jì)兩級(jí)傳動(dòng)大齒輪的齒數(shù)范圍、高速級(jí)傳動(dòng)比范圍

16、和齒輪副螺旋角范圍等。n因此，建立了如下17個(gè)不等式約束條件。 61542531cos2)5 .311 ()1 ()(xxxxxxxXfan高速級(jí)齒輪副接觸強(qiáng)度條件n低速級(jí)齒輪副接觸強(qiáng)度條件n高速級(jí)大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度條件n低速級(jí)大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度n大齒輪與軸不干涉條件n高速級(jí)齒輪副模數(shù)的下限 010079. 3cos)(533316631xxxxXg010071. 1cos)(3432463252xxxxXg0)1 (10939. 9cos)(233155623xxxxXg0)5 .31(10076. 1cos)(24325462254xxxxxXg0)5 .31(cos)50(2)(5425

17、316155xxxxxxxxxXg02)(16xXgn高速級(jí)齒輪副模數(shù)的上限n低速級(jí)齒輪副模數(shù)的下限n低速級(jí)齒輪副模數(shù)的上限n高速級(jí)小齒輪齒數(shù)的下限n高速級(jí)小齒輪齒數(shù)的上限n低速級(jí)小齒輪齒數(shù)的下限 05)(17 xXg05 . 3)(28xXg06)(29 xXg014)(310 xXg022)(311 xXg016)(412xXgn低速級(jí)小齒輪齒數(shù)的上限n高速級(jí)傳動(dòng)比的下限n高速級(jí)傳動(dòng)比的上限n齒輪副螺旋角的下限n齒輪副螺旋角的上限n這是一個(gè)有17個(gè)不等式約束的六維非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題。 022)(413 xXg08 . 5)(514xXg07)(515 xXg08)(616xXg015)(617

18、 xXgn由 共12個(gè)線性不等式約束，列出各設(shè)計(jì)變量系數(shù)矩陣A的非零元素為n a( 1，1)=-1；a( 2，1)= 1n a( 3，2)=-1；a( 4，2)= 1n a( 5，3)=-1；a( 6，3)= 1n a( 7，4)=-1；a( 8，4)= 1n a( 9，5)=-1；a(10，5)= 1n a(11，6)=-1；a(12，6)= 1n非線性不等式約束（性能約束）的常數(shù)向量n Ceq=0n線性不等式約束（邊界約束）的常數(shù)向量nb=-2 5，-3.5，6，-14，22，-16，22，-5.8，7，-0.1396，0.26180)(6Xg0)(17Xgn設(shè)計(jì)變量的上界和下界nlb=

19、2，3.5， 14，16，5.8，0.1396nub=5， 6， 22， 22， 7， 0.2618n沒(méi)有等式約束，故對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣參數(shù)Aeq和常數(shù)向量參數(shù)beq定義為空矩陣符號(hào)“ ”。n1、編制函數(shù)編制函數(shù)fmincon要調(diào)用的兩個(gè)函數(shù)文件要調(diào)用的兩個(gè)函數(shù)文件：n1）目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件jsq_f.mn% 兩級(jí)斜齒輪減速器總中心距的目標(biāo)函數(shù)nfunction f=jsq_f(x);na1=x(1)*x(3)*(1+x(5);na2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5);ncb=2*cos(x(6)*pi/180);nf=(a1+a2)/cb;n2）非線性不等式約束的函數(shù)文件jsq_y.

20、mn% 非線性不等式約束函數(shù)(g1-g5)nfunctionc,ceq=jsq_y(x);nc ( 1 ) = c o s ( x ( 6 ) * p i / 1 8 0 ) . 3 - 3 . 0 7 9 e - 6*x(1).3*x(3).3*x(5);nc(2)=x(5).2*cos(x(6)*pi/180).3-1.701e-4*x(2).3*x(4).3;nc ( 3 ) = c o s ( x ( 6 ) * p i / 1 8 0 ) . 2 - 9 . 9 3 9 e -5*(1+x(5)*x(1).3*x(3).2;nc(4)=x(5).2*cos(x(6)*pi/180).

21、2-1.076e-4*(31.5+x(5)*x(2).3*x(4).2;nc(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*pi/180)+x(1)*x(2)*x(3)-x(2)*x(4)*(31.5+x(5);nceq=;n2、編制調(diào)用目標(biāo)函數(shù)與非線性約束的函數(shù)文件jsq_fy.mn% 調(diào)用目標(biāo)函數(shù)文件與非線性約束文件n% 設(shè)計(jì)變量的初始值nx0=2;4;18;20;6.4;10;n% 設(shè)計(jì)變量的下界與上界nlb=2;3.5;14;16;5.8;8;nub=5;6;22;22;7;15;n% 線性不等式約束(g6-g17)中設(shè)計(jì)變量的系數(shù)矩陣na=zeros(12,6);na( 1,1)=-1;a( 2,1)= 1;na( 3,2)=-1;a( 4,2)= 1;na( 5,3)=-1;a( 6,3)= 1;na(