MATLAB解方程與最優(yōu)化問題求解《MATLAB程序設(shè)計(jì)教程(第二版)》

1、第6章 MATLAB解方程與最優(yōu)化問題求解u MATLAB線性方程組求解u MATLAB非線性方程數(shù)值求解u MATLAB常微分方程初值問題的數(shù)值解法u MATLAB最優(yōu)化問題求解6.1 線性方程組求解6.1.1 直接解法1利用左除運(yùn)算符的直接解法對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“”求解： x=Ab例6-1 用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab2利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、QR

2、分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇異分解等。(1) LU分解矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進(jìn)行的。MATLAB提供的lu函數(shù)用于對矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為：L,U=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。L,U,P=lu(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x

3、=U(Lb)或x=U(LPb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。例6-2 用LU分解求解例6-1中的線性方程組。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)或采用LU分解的第2種格式，命令如下：L,U ,P=lu(A);x=U(LP*b) (2) QR分解對矩陣X進(jìn)行QR分解，就是把X分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對矩陣進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為：Q,R=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R，使之滿足X=QR。Q

4、,R,E=qr(X)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足XE=QR。實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R(Qb)或x=E(R(Qb)。例6-3 用QR分解求解例6-1中的線性方程組。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)或采用QR分解的第2種格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb) (3) Cholesky分解如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三

5、角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=RR。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對矩陣X進(jìn)行Cholesky分解，其調(diào)用格式為：R=chol(X)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R，使RR=X。若X為非對稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。R,p=chol(X)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。當(dāng)X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個(gè)正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個(gè)階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足RR=X(1:q,1:q)。實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成RRx=b，所以x=R(Rb)。例6-4 用Cholesky分解求解例6-1中的線性方程組。命令如下：A=2,1,-5,1;1,-

6、5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)? Error using = cholMatrix must be positive definite命令執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤信息，說明A為非正定矩陣。6.1.2 迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1Jacobi迭代法對于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，即aii0(i=1,2,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對角陣，其元素為A的對角元素，L與U為A的下三角陣和上

7、三角陣，于是Ax=b化為：x=D-1(L+U)x+D-1b與之對應(yīng)的迭代公式為：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b這就是Jacobi迭代公式。如果序列x(k+1)收斂于x，則x必是方程Ax=b的解。Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;end例6-5 用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下

8、：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)2Gauss-Serdel迭代法在Jacobi迭代過程中，計(jì)算時(shí)，已經(jīng)得到，不必再用，即原來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進(jìn)為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會(huì)高些。Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m如下：f

9、unction y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;end例6-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件gauseidel.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)例6-7 分別用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列線性方程組，看是否收斂。命令如下：a=1,2,

10、-2;1,1,1;2,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,0;0;0)6.2 非線性方程數(shù)值求解6.2.1 單變量非線性方程求解 在MATLAB中提供了一個(gè)fzero函數(shù)，可以用來求單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為： z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中fname是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近的那個(gè)根。tol控制結(jié)果的相對精度，缺省時(shí)取tol=eps，trace 指定迭代信息是否在運(yùn)算中顯示，為1時(shí)顯示，為0時(shí)不顯示，缺省時(shí)取trace

11、=0。 例6-8 求f(x)=x-10 x+2=0在x0=0.5附近的根。 步驟如下：(1) 建立函數(shù)文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 調(diào)用fzero函數(shù)求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.37586.2.2 非線性方程組的求解 對于非線性方程組F(X)=0，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為： X=fsolve(fun,X0,option)其中X為返回的解，fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名，X0是求根過程的初值，option為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱提供了20多

12、個(gè)選項(xiàng)，用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來。如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng)，則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來完成。例如，Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中off為不顯示，iter表示每步都顯示，final只顯示最終結(jié)果。optimset(Display,off)將設(shè)定Display選項(xiàng)為off。 例6-9 求下列非線性方程組在(0.5,0.5) 附近的數(shù)值解。 (1) 建立函數(shù)文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*s

13、in(y); (2) 在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調(diào)用fsolve函數(shù)求方程的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x = 0.6354 0.3734將求得的解代回原方程，可以檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，命令如下：q=myfun(x)q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可見得到了較高精度的結(jié)果。6.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法6.3.1 龍格庫塔法簡介6.3.2 龍格庫塔法的實(shí)現(xiàn) 基于龍格庫塔法，MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為： t,y=ode23(fname,tspan,y0) t

14、,y=ode45(fname,tspan,y0)其中fname是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。tspan形式為t0,tf,表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向量。t和y分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。例6-10 設(shè)有初值問題，試求其數(shù)值解，并與精確解相比較。 (1) 建立函數(shù)文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求數(shù)值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精確解tyy1例6-11 求解著名的Van

15、der Pol方程。例6-12 有Lorenz模型的狀態(tài)方程，試?yán)L制系統(tǒng)相平面圖。 6.4 最優(yōu)化問題求解 6.4.1 無約束最優(yōu)化問題求解MATLAB提供了3個(gè)求最小值的函數(shù)，它們的調(diào)用格式為：（1）x,fval=fminbnd(fname,x1,x2,options)：求一元函數(shù)在(xl，x2)區(qū)間中的極小值點(diǎn)x和最小值fval。（2）x,fval=fminsearch(fname,x0,options)：基于單純形算法求多元函數(shù)的極小值點(diǎn)x和最小值fval。（3）x,fval=fminunc(fname,x0,options)：基于擬牛頓法求多元函數(shù)的極小值點(diǎn)x和最小值fval。 例6-13 求f(x)=x3-2x-5在0,5內(nèi)的最小值點(diǎn)。 (1) 建立函數(shù)文件mymin.m。function fx=mymin(x)fx=x.3-2*x-5; (2) 調(diào)用fmin函數(shù)求最小值點(diǎn)。x=fmin(mymin,0,5)x= 0.81656.4.2 有約束最優(yōu)化問題求解MATLAB最優(yōu)化工具箱提供了一個(gè)fmincon函數(shù)，專門用于求解各種約束下的最優(yōu)化問題。該函數(shù)的調(diào)用格式為：x,fval=fmincon(fname,x0,A,b, Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,options)其中，x、fval、fname、x0