函數(shù)平均變化率PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)平均變化率函數(shù)平均變化率第1頁/共52頁 如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的平緩與陡峭程度？第2頁/共52頁HABCDFXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的剖面示意圖: A是登山者的出發(fā)點(diǎn),H是山頂,登山路線用y=f(x)表示 ； 問題：當(dāng)自變量x表示登山者的水平位置， 函數(shù)值y表示登山者所在高度時(shí)，陡峭程度應(yīng)怎樣表示？登山問題x第3頁/共52頁HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x1,y1)B(x2,y2)選取平直山路AB放大研究 :若),(),(2211yxByxA12xxx12yyy自變量的改變量函數(shù)值的改變量xyxxyyxxyyk2121121

2、2直線AB的斜率:xy第4頁/共52頁D1X3HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)xyxxyyk0101直線AB的斜率:xyxxyyk23231直線CD1的斜率:x第5頁/共52頁y0 x0 x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)011yyyy2C(x2,y2)022yyyy3D(x3,y3)033yyyy4E(x4,y4)044yyy第6頁/共52頁y0 x0 x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4

3、E(x4,y4)xy1xy2xy3xy4第7頁/共52頁平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢 建構(gòu)數(shù)學(xué)第8頁/共52頁華羅庚第9頁/共52頁函數(shù)的平均變化率已知函數(shù) 在點(diǎn) 及其附近有定義，令 ,則當(dāng) 時(shí),比值叫做函數(shù) 在 到 之間的平均變化率)(xfy 0 xx 0 xxx)()()()(0000 xfxxfxfxfyyy0 xxyxxfxxf)()(00)(xfy 0 xxx0第10頁/共52頁00( )() f xxf xxOABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)x直線AB的斜率函數(shù)平均變化率: 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比 觀察函數(shù)f(x)的圖象00( )()

4、f xxf x過曲線 上的點(diǎn) 割線的斜率。( )yf x00(,()xf x 和00(x,(x)xf x第11頁/共52頁思考：（1） x 、 y的符號是怎樣的？ （2）該變量應(yīng)如何對應(yīng)？理解：2、 對應(yīng)性： 若).()(,1212xfxfyxxx則;, 0,11212但可正可負(fù)即附近的任意一點(diǎn)是、xxxxx.)()(12可正可負(fù)，也可為零xfxfy第12頁/共52頁 美國康乃大學(xué)曾經(jīng)做過一個(gè)有名的“青蛙試驗(yàn)”。試驗(yàn)人員 把一只健壯的青蛙投入熱水鍋中，青蛙馬上就感到了危險(xiǎn)， 拼命一縱便跳出了鍋?zhàn)?。試?yàn)人員又把該青蛙投入冷水鍋 中，然后開始慢慢加熱水鍋。剛開始，青蛙自然悠哉游哉， 毫無戒備。一段

5、時(shí)間以后，鍋里水的溫度逐漸升高，而青 蛙在緩慢的水溫變化中卻沒有感到危險(xiǎn)，最后，一只活蹦 亂跳的健壯的青蛙竟活活地給煮死了。 第13頁/共52頁例1.求函數(shù) 在 到 之間的平均變化率2xy 0 xxx0解:當(dāng)函數(shù) 在 到 之間變化的時(shí)候 2xy 0 xxx0函數(shù)的平均變化率為xxxxxxxxfxxfxy02020002)()()(分析:當(dāng) 取定值, 取不同數(shù)值時(shí), 該函數(shù)的平均變化率也不一樣.x0 x第14頁/共52頁( 2 ) 求函數(shù) 在 到 之間的平均變化率xy10 xxx0解:當(dāng)函數(shù) 在 到 之間變化的時(shí)候 0 xxx0 xy1函數(shù)的平均變化率為000000)(111)()(xxxxxx

6、xxxfxxfxy第15頁/共52頁課堂練習(xí)： 甲乙二人跑步路程與時(shí)間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間的關(guān)系分別如圖（1）（2）所示， （1）甲乙二人哪一個(gè)跑得快？ （2）甲乙二人百米賽跑，快到終點(diǎn)時(shí)，誰跑得比較快？甲乙O (1)路程tyO甲乙t0t100m第16頁/共52頁知識運(yùn)用 1 、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及鄰近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x D y=kx+b在區(qū)間 上的平均變化率有什么特點(diǎn)？ 2.求下列函數(shù)的在區(qū)間 平均變化率：（1）y=1 （2）y=2x+1 （3）y=-

7、2x00 xxx，00 xxx，00 xxx或，第17頁/共52頁例3：已知函數(shù) ，計(jì)算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。2)(xxf解:當(dāng)函數(shù) 在 到 之間變化的時(shí)候 2xy 0 xxx0函數(shù)的平均變化率為xxxxxxxxfxxf02020002)()()(xxy變化區(qū)間自變量改變量平均變化率 （1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001第18頁/共52頁 要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)，就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 s =s(t )，那么物體在時(shí)刻t 的瞬時(shí)速度v，就是物體在

8、t 到 t+t 這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) t0 時(shí)平均速度的極限即vttsttstsvt )()(lim0 瞬時(shí)速度第19頁/共52頁函數(shù)的瞬時(shí)變化率設(shè)函數(shù) 在 附近有定義，當(dāng)自變量在 附近改變 時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)的發(fā)生改變?nèi)绻?dāng) 趨近于時(shí)，平均變化率 趨近于一個(gè)常數(shù) ，則數(shù) 稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的瞬時(shí)變化率。)(xfy 0 xx0 xx )()(00 xfxxfyxxxfxxf)()(00ll)(xfy 0 x第20頁/共52頁導(dǎo)數(shù)的概念也可記作ox xy 若這個(gè)極限不存在，則稱在點(diǎn)x0 處不可導(dǎo)。 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x=x0 的附近有定義，當(dāng)自變量 x 在 x0 處取得增量 x ( 點(diǎn) x0

9、 +x 仍在該定義內(nèi)）時(shí)， 相應(yīng)地函數(shù) y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y與x之比當(dāng) x0的極限存在，則稱函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) ，并稱這個(gè)極限為函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)記為 0()fx00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即第21頁/共52頁說明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限如果不存在極限，就說函數(shù)在處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)點(diǎn)x是自變量x在0 x處的改變量，0 x，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零 （2）第22頁/共52頁)(xfy 0 x由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在

10、處的導(dǎo)數(shù)的步驟:00()()ff xxf x （1）求函數(shù)的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均變化率:；00()limxffxx （3）取極限，得導(dǎo)數(shù):第23頁/共52頁例:高臺跳水運(yùn)動(dòng)中， 秒 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度是 （單位： ），求運(yùn)動(dòng)員在 時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在 呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 0第24頁/共52頁6 . 1)5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理， thh1/運(yùn)動(dòng)員在

11、時(shí)的瞬時(shí)速度為 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升下落這說明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約 的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/第25頁/共52頁0 x割線PQ的的變化情況在的過程中，請?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫出來你能描述一下嗎？第26頁/共52頁)(xfy PQxyM求已知曲線的切線.0()Kfx切第27頁/共52頁第28頁/共52頁00( )( ),V tS t0()Kfx切第29頁/共52頁例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果

12、第時(shí)，原油的溫度（單位：）為xh2( )715(08).fxxxx計(jì)算第2 h和第6 h，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義。第30頁/共52頁3.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義00()( )nnnf xf xkxxPxy00 x( )yf xTnx第31頁/共52頁00( )( ),V tS t0()Kfx切第32頁/共52頁課堂小結(jié)：函數(shù)的平均變化率函數(shù)的瞬時(shí)變化率0 xxxfxxfxy)()(00lxxfxxfxy)()(00l第33頁/共52頁例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第時(shí)，原油的溫度（單位：）為xh2( )715(08).fxxxx計(jì)算

13、第2 h和第6 h，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義。第34頁/共52頁3.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義00()( )nnnf xf xkxxPxy00 x( )yf xTnx第35頁/共52頁P(yáng)xyo0 x( )yf xT0000( )()( )(,()yf xxfxyf xM xf x函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。0000()()lim()xf xxf xkxfx 00( )(,()yf xM xf x曲線在點(diǎn)處000()()yyfxxx的切線方程為0tan()PTkfx即第36頁/共52頁 圓的切線定義并不適用于一般的曲線。 通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直

14、線定義為切線（交點(diǎn)可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。 2l1lxyABC第37頁/共52頁P(yáng)PP 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)P附近，曲線可以用在點(diǎn)P處的切線近似代替 。 大多數(shù)函數(shù)曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點(diǎn)附近的曲線可以用過此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲” （以簡單的對象刻畫復(fù)雜的對象）第38頁/共52頁 1.在函數(shù) 的圖像上，(1)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot第39頁/共52頁 (2)請描述，比較曲線分別在 附近增

15、（減）以及增（減）快慢的情況。在 附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t第40頁/共52頁 (2)請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在 附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（減):增（減）快慢：=切線的斜率附近：瞬時(shí)變化率（正或負(fù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）畫切線即：導(dǎo)數(shù) 的絕多值的大小=切線斜率的絕對值的 大小切線的傾斜程度（陡峭程度）以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象第41頁/共52頁(2) 曲線在 時(shí)，切線平行于x軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降 0t曲線在 處切線 的斜率 0 在 附近，曲線 ，函數(shù)在 附近單調(diào)0t,1t

16、,1t2t如圖，切線 的傾斜程度大于切線的傾斜程度， 2t1t,3t4t大于上升遞增2l1l3l4l3t4t上升這說明曲線在 附近比在附近 得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t遞減下降小于下降,3t4t第42頁/共52頁 2如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)（單位：mg/ml）隨時(shí)間t（單位：min） 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì) t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時(shí)，血管中 藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格 的形式列出。(精確到0.1)第43頁/共52頁 血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率, 就是藥物濃度從圖象

17、上看,它表示曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.函數(shù)f(t)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù),（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象第44頁/共52頁)(0/xf)(/xf 抽象概括：是確定的數(shù)是的函數(shù)x 導(dǎo)函數(shù)的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/ xxfxxfxfx)(lim0/t 0.2 0.4 0.60.8藥物濃度的藥物濃度的瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率 3 . 004 . 15 . 0第45頁/共52頁小結(jié)：.函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義，就是函數(shù) 的圖像在點(diǎn) 處的切線AD的斜率（數(shù)形結(jié)合） )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切線 AD的斜率3.導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)) xxfxxfxfx)()(lim)(0/ 2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問題，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”，“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。 以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象第46頁/共52頁課堂小結(jié) 今天這節(jié)課，你學(xué)到了哪些知識？第47頁/共52頁3.函數(shù)的平均變化率的求法00( )() f xxf xx是曲線上兩點(diǎn)對應(yīng)割線的斜率第48頁/共52頁 美國康乃大學(xué)曾經(jīng)做過一個(gè)有名