2013-應用數(shù)理統(tǒng)計課件ch04

1、第四章前面我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量的概率分布，那么隨機變量全部概率特征就知道了。然而，在實際問題中，有的隨機變量的概率分布難確定，有的不可能知道。在實際應用中，有時人們更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征。一些常用的重要分布，如二項分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了他們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體的分布。我們將介紹常用的數(shù)字特征：數(shù)學期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。第四章 隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié) 數(shù)學期望一、概念（一）離散型隨機變量的數(shù)學期望例 一射手進行打靶練習，規(guī)定射入?yún)^(qū)域e2得2分，射入?yún)^(qū)域e1得1分，脫靶即射入?yún)^(qū)域e0得0分。射手一次射擊得分數(shù)X是一個r.

2、v.設XP(X=k)=pk, k=0,1,2.現(xiàn)他射擊N次，其中得0分的有a0次，得1分的有a1次，得2分的有a2次，且知a0+a1+a2=N他射擊N次得分的總和為：a00+a11+a22所以平均一次射擊的得分數(shù)為：是得k分的頻率e2e1e0上式 是以頻率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值。若對X作一系列的試驗，所得的X的試驗值的平均值不同，是隨機的。在第一章討論的頻率穩(wěn)定性和將在第五章中的大數(shù)定律，都是研究頻率和概率的關(guān)系，可知當N越大趨于無窮時，頻率 逐漸穩(wěn)定于頻率pk。故當N很大時可用概率代替頻率，這可得到而 是一個定值，我們用它作為隨機變量的數(shù)學期望定義，還是合理的。2、舉例例1：設隨機變量XB(1,

3、p)，求E(X)。解：已知 0p1由定義例2：設隨機變量X()解：已知X 0 1pk 1-p pK取值是非負整數(shù)， 是正項級數(shù)。它收斂即是絕對收斂，其和是E(X)。用到公式有限和E(X)定存在故E(X)=。例3，隨機變量XB(n,p)，求E(X)。解：已知有限和E(X)定存在要用公式（二）連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 已知 Xf(x)將連續(xù)型r.v.X離散化，從而定義E(X)。在X軸上取等分點x-1,x0,x1,x2xi=xi+1-xi=x, i=0,1,2，設xi都是f(x)的連續(xù)點，有由于xi很小，定義一個離散型r.v.x*為f(x)xixi+10 x陰影面積f(xi)xi子區(qū)間xi,xi+1

4、定義1.2：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分則稱此積分值為X的數(shù)學期望（或均值），記為E(X)，即例4：已知隨機變量求E(X)。E(X)是一個定實數(shù)f(x)0 x1-11是定積分其值唯一存在，不需檢查定義例5：設隨機變量XUa,b，求E(X)正項無窮積分其值存在是絕對收斂f(x)(a+b)/2xba均值是r.v.x取值概率平均例7：設隨機變量XN(,2)，求E(X)。本應先驗證 ，知均值存在，再求E(X)。說明：以后規(guī)定若題中要求E(X)即是知道其均值是存在的，不必驗證。如果題中是要討論均值存在性？這就要驗證存在條件，如P139第4題。我們不做要求。yx0看出均值的意義二、隨機變

5、量函數(shù)的期望例：某商場對某種商品的銷售采用先使用后付款的方式，設使用壽命為X（單位：年） 且規(guī)定 已知壽命該商場一臺收費Y（單位：元）是隨機變量，試求E(Y)。分析：由題意知收費Y是壽命X的函數(shù)，其函數(shù)可表示為：當X1一臺付款1200元當1X2一臺付款1600元當24一臺付款3200元Y 1200 160024003200Y的分布率為上例解法一是先求出Y的分布率，再用定義計算E(Y)。例9：已知 X -1 0 1 2 ， 設 Y=2X2+1, 求E(Y) pk 1/8 1/4 1/4 3/8 解：由于 X取值=xk -1 0 1 2 Y取值=2xk2+1 3 1 3 9 pk 1/8 1/4

6、1/4 3/8可證明連續(xù)型隨機變量函數(shù)的期望也有類似解法。見定理1.11. 定理1.1：設Y是隨機變量X的函數(shù)：Y=g(X) （g是連續(xù)函數(shù)）1 X是離散型隨機變量，它的分布律為：2 X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)，定理的重要性在于：當我們求E(Y)=Eg(x)時，不必算出Y的分布，而只需知道X的分布就可以了。這給求隨機變量函數(shù)的均值帶來很大方便。例10：設隨機變量XU0,，且知Y=sinX，求E(Y)。定理1.1可以推廣到多個隨機變量的函數(shù)的情況。用定理1.1，不必求Y=sinx分布，用f(x)即可求得2. 設Z是隨機變量X,Y的函數(shù)，Z=g(X,Y)，（g是連續(xù)函數(shù)）。已知：離

7、散型r.v.(X, Y)pij，i,j=1,2, 則 E(Z) = Eg(X,Y) 已知 連續(xù)型r.v.(X, Y)f(x,y) 則 E(Z) = Eg(X,Y)例11：已知隨機變量(X, Y)的聯(lián)合密度為且Z=XY，求E(Z)。不必求Z=XY的分布，用f(x,y)即可求得01xyy=xD解：E(Z) = E(XY)三、數(shù)學期望的性質(zhì)若C是常數(shù)：則E(C) = C。若C是常數(shù)：則E(CX) = CE(X)（存在）。若二維r.v.(X,Y)，E(X), E(Y)存在，則E(XY) = E(X)E(Y)。證明性質(zhì)3均值定義性質(zhì)2和3性質(zhì)4性質(zhì)3即A出現(xiàn)K次例14.有10個人在一樓進入電梯，樓上有20層，設每個乘客在任何一層樓出電梯的概率相同，且各個人是否出電梯是獨立的。試求直到電梯的乘客出空為止，電梯需停次數(shù)的數(shù)學期望