離散數(shù)學(xué)jme-3半群與群1

1、第三部分 代數(shù)結(jié)構(gòu)School of Microelectronics, Fudan UniversityJing Minge代數(shù)結(jié)構(gòu)1.2.3.4.代數(shù)系統(tǒng)半群與群環(huán)與域格與代數(shù)2第二章半群與獨(dú)異點(diǎn)群的定義與性質(zhì)子群半群與群2.4 陪集與日定理正規(guī)子群與商群群的同態(tài)與同構(gòu)循環(huán)群與置換群2.1 半群與獨(dú)異點(diǎn)主要內(nèi)容：半群與獨(dú)異點(diǎn)的定義，及其子代數(shù)的說(shuō)明。半群與獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算。半群與獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)。半群與獨(dú)異點(diǎn)定義2.1(1)設(shè)V是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算，如果運(yùn)算是可結(jié)合的，則稱(chēng)V為半群（semigroup）。(2)設(shè)V是半群,若eS是關(guān)于運(yùn)算的元,則稱(chēng)V是獨(dú)異點(diǎn)（monoid），也叫做含幺半群。有

2、時(shí)也將獨(dú)異點(diǎn)V記作V。半群與獨(dú)異點(diǎn)的實(shí)例，。半群，除第一個(gè)外都是獨(dú)異點(diǎn)設(shè)n是大于1的正整數(shù),和，其 中+和分別表示矩陣加法和矩陣乘法。半群，獨(dú)異點(diǎn),其中為集合的對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算。 半群，獨(dú)異點(diǎn)1.2.3.4.5.6.,其中Zn0,1,n-1,為模n加法。半群，獨(dú)異點(diǎn),其中為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。半群，獨(dú)異點(diǎn),其中R為非零實(shí)數(shù)集合,運(yùn)算定義如下：x,yR, xyy半群例下列集合和運(yùn)算哪些可以半群？哪些可以獨(dú)異點(diǎn)？(1)(2)(3)S1=1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, ,*為普通乘法S2=0, 1,*為普通乘法。 S3=a1, a2, ,an,nZ,*定義為: ai * aj = ai ,i,

3、 jS3。(4)S4=1, 2, 3, 6, x*y表示求x和y的最小公倍數(shù)， x,yS4 。S5=0, 1,*為模2加法。(5)解：S1 不是半群；S2是獨(dú)異點(diǎn)，幺元為1S3是半群；S4 是獨(dú)異點(diǎn)，幺元為1。S5是獨(dú)異點(diǎn)，幺元為07例1 ：設(shè)S=a,b,c,在S上的一個(gè)二元運(yùn)算定義如表所示。aaa abbb bccc ca b c驗(yàn)證 是一個(gè)半群。解： 從表中可知運(yùn)算 是封閉的，同時(shí)a,b和 c都是左幺元。所以，對(duì)于任意的x,y,zS,都有x (y z)=x z=z=y z=(x y) z，因此，是半群。8例3設(shè)是有窮字母表，kN，定義下述集合：k=a1a2akai是上所有長(zhǎng)度為k的串的集合

4、。當(dāng)k=0時(shí)，0=，表示空串。令 * 表示上所有有限長(zhǎng)度的串i0i的集合。在* 上可以定義串的連接運(yùn)算：1，2* ，1=a1a2am，2=b1b2bn，有12 =a1a2amb1b2bn試分析* 。顯然* 關(guān)于連接運(yùn)算一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，稱(chēng)為上的字代數(shù)。上的語(yǔ)言L（這里的語(yǔ)言指形式語(yǔ)言，不是一般的自然語(yǔ)言）就是* 的一個(gè)子集.半群中元素的冪由于半群V中的運(yùn)算是可結(jié)合的,可以定義元素的冪,對(duì)任意xS,規(guī)定：x1xxn+1xn x,nZ+用數(shù)學(xué)歸納法不難證明x的冪遵從以下運(yùn)算規(guī)則：xn xmxn+m(xn)mxnmm,nZ+普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等都遵從這個(gè)冪運(yùn)算規(guī)則。獨(dú)異點(diǎn)中的冪獨(dú)異點(diǎn)是特

5、殊的半群，可以把半群的冪運(yùn)算推廣到獨(dú)異點(diǎn)中去。由于獨(dú)異點(diǎn)V中含有以定義x的零次冪,即x0e元e，對(duì)于任意的xS,可xn+1xn xnN不難證明，獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算也遵從半群的冪運(yùn)算規(guī)則，只不過(guò)m和n不一定限于正整數(shù)，只要是自然數(shù)就成立。子半群與子獨(dú)異點(diǎn)半群的子代數(shù)叫做子半群。獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做子獨(dú)異點(diǎn)。根據(jù)子代數(shù)的定義不難看出：如果V是半群,TS，只要T對(duì)V中的運(yùn)算封閉，那么就是V的子半群。對(duì)獨(dú)異點(diǎn)V來(lái)說(shuō)，TS，不僅T要對(duì)V中的運(yùn)算封閉,而且eT，這時(shí)才獨(dú)異點(diǎn)。思考：如果eT，能夠成獨(dú)異點(diǎn)嗎？V的子例2.2 設(shè)半群V1，獨(dú)異點(diǎn)V2。其中為矩陣乘法，e為2階矩陣令問(wèn)是否為V1 V2的子代數(shù)？由T S

6、，且T對(duì)矩陣乘法 是封閉的，所以是V1的子半群。易見(jiàn)在中存在著自己的元e=，所以也一個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，但它不是V2=的子獨(dú)異點(diǎn)，因?yàn)閂2中的元 e T。半群與獨(dú)異點(diǎn)的直積定義2.2設(shè)V1 , V2 是半群(獨(dú)異點(diǎn))，在V1V2上定義二元運(yùn)算如下：,V1V2 , 稱(chēng)是V1與V2的直積。 證明 是半群(獨(dú)異點(diǎn)) 。半群與獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)定義2.3(1)設(shè)V1,V2是半群,: S1S2。若對(duì)任意的x,yS1有(xy)(x)(y)則稱(chēng)為半群V1到V2的同態(tài),簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài)(homomorphism)。(2)設(shè)V1,V2是獨(dú)異點(diǎn), : S1S2.若對(duì)任意的x,yS1有(xy)(x)(y) 且(e1)e2,則稱(chēng)為獨(dú)異點(diǎn)V1

7、到V2的同態(tài),簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài)。省略表達(dá)為了書(shū)寫(xiě)的簡(jiǎn)便，有時(shí)經(jīng)常省略上述表達(dá)式中的算符和，而簡(jiǎn)記為(xy)(x)(y)應(yīng)該記住，該表達(dá)式中左邊的xy是在V1中的運(yùn)算，而右邊的 (x) (y)是在V2中的運(yùn)算。自同態(tài)例2.2 設(shè)半群V1，獨(dú)異點(diǎn)V2。其中為矩陣乘法，e為2階令 : S S,矩陣問(wèn)：是 V1，V2的自同態(tài)嗎？18對(duì)任意的有即因此，是半群V1到自身的同態(tài)，稱(chēng)為V1的自同態(tài)。的自同態(tài),因?yàn)榈皇仟?dú)異點(diǎn)它沒(méi)有將V2的單位元映到V2的單位元。注意：而不是V2的單位元。本節(jié)的主要內(nèi)容集合S和運(yùn)算集合S和運(yùn)算元）。半群的條件（封閉性、結(jié)合律）。獨(dú)異點(diǎn)的條件（封閉性、結(jié)合律、半群與獨(dú)異點(diǎn)的兩條冪運(yùn)算規(guī)則

8、：xn (xn)mxnm 。xmxn+m，半群S的非空子集A運(yùn)算封閉）。子半群的條件（A對(duì)于S中獨(dú)異點(diǎn)S的非空子集A子獨(dú)異點(diǎn)的條件（A對(duì)于S中運(yùn)算封閉，元屬于A）。的判別：(xy)(x)(y)，對(duì)于獨(dú)異點(diǎn)要同態(tài)加上(e)e。2.2 群的定義與性質(zhì)主要內(nèi)容：群是特殊的半群和獨(dú)異點(diǎn)。群論中常用的概念或術(shù)語(yǔ)：有限群、無(wú)限群、平凡的冪和階。換群、元素群的性質(zhì)：冪運(yùn)算規(guī)則、消去律、群方程的唯一解、有關(guān)元素的階的性質(zhì)。群的定義定義2.4 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算。元eG，如果運(yùn)算是可結(jié)合的，存在并且對(duì)G中的任何元素x都有x-1G, 則稱(chēng)G為群（group）。判斷，。，是群設(shè)n是大于1的正整數(shù),和，其1.2

9、.中+和分別表示矩陣加法和矩陣乘法。,其中為集合的對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算。+是群，不是群是群3.4.5.6.,其中Zn0,1,n-1,為模n加法。是群,其中為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。|A|2時(shí)，不是群,其中R為非零實(shí)數(shù)集合,運(yùn)算定義如下：x,yR, xyy不是群例1： 設(shè)R=0，60，120，180，240，300表示在平面上幾何圖形繞形心順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)角度的六種可能情況，設(shè)*是R上的二元運(yùn)算，定義如下： a ba b 360oa b 360oa b a b 360o驗(yàn)證是一個(gè)群。25Klein四元群設(shè)Ga,b,c,d，為G上的二元運(yùn)算，見(jiàn)下表。e為G中的元；運(yùn)算是可結(jié)合的；運(yùn)算是可交換的；G中任何元素的自己；就是

10、它G是一個(gè)群.在a,b,c三個(gè)元素中,任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)元素。稱(chēng)這個(gè)群為Klein四元群,簡(jiǎn)稱(chēng)四元群。eabce a bceabcecbceabae應(yīng)用：糾錯(cuò)碼編碼例4某二進(jìn)制碼的碼字x=x1x2x3x4x5x6x7由7位，其中x1，x2 ，x3和x4為數(shù)據(jù)位，x5， x6和x7為校驗(yàn)位，并且滿(mǎn)足：x5=x1 x2 x3， x6=x1x2x4， x7=x1x3x4這里的是模2加法。設(shè)G為所G上定義二元運(yùn)算如下：x,yG，xy=z1z2z3z4z5z6z7，zi=xi yi，i=1,2, ,7字的集合，證明群。證明：（1）封閉性x=x1x2x7，y=y1y2y7，xy=z1z2z

11、7。首先驗(yàn)證z5=z1z2z3z1z2z3=(x1y1)(x2y2)(x3y3)=(x1x2x3) (y1y2y3)=x5y5=z5同理可證z6=z1 z2z4和z7=z1z3z4 xy=zG，從而證明了封閉性。，于是28（2）結(jié)合律x,y,zG，令(xy)z=a1a2a7 x(yz)=b1b2b7，下面證明ai=bi，i=1,2, ,7由于運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，因此有ai=(xiyi)zi=xi(yizi)=bi，從而證明了G中滿(mǎn)足結(jié)合律。（3）（4）元 0000000 xG，x-1=x綜合上述， G群。二面體群D4順時(shí)針270順時(shí)針90順時(shí)針180恒等置換對(duì)角線24翻轉(zhuǎn)對(duì)角線13翻轉(zhuǎn)垂直軸翻轉(zhuǎn)水

12、平軸翻轉(zhuǎn)30二面體群D4一個(gè)二面體群，代表一組正多邊形的對(duì)稱(chēng)，包括旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)和反射對(duì)稱(chēng)。12D4=43二面體群是有限群中最簡(jiǎn)單的群組，他們?cè)谌赫摚瑤缀魏突瘜W(xué)中起到重要作用。31D4=恒等運(yùn)算保持所有東西不變，記為 id；把正方形向右（順時(shí)針）旋轉(zhuǎn) 90、180 和 270，分別記為 r1、r2和 r3。關(guān)于垂直和水平中線的反射記為 fv 和 fh，關(guān)于兩個(gè)對(duì)角線的反射記為 fd和 fc。32魔方群魔方的所有可能重新排列形成一個(gè)群，叫做魔方群。33群的直積設(shè), 是群，在G1G2上定義二元運(yùn)算如下：,G1G2 , 稱(chēng)是G1與G2的直積。證明 是群。證明：由于已證明 是獨(dú)異點(diǎn)，而對(duì)任意的G1G2 ,

13、是的，因此G1G2關(guān)于運(yùn)算一個(gè)群。群論中常用的概念或術(shù)語(yǔ)定義2.5(1)若群G是有窮集,則稱(chēng)G是有限群，否則稱(chēng)為無(wú)限群。群G的基數(shù)稱(chēng)為群G的階，有限群G的階記作|G|。(2)只含元的群稱(chēng)為平凡群。(3)若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱(chēng)G為交換群或(Abel)群。例，Klein四元群，,和,是無(wú)限群。是有限群，也是n階群。 Klein四元群是4階群。是平凡群。上述除的所有群都是交換群。但n階(n2)實(shí)可逆矩陣的集合關(guān)于矩陣乘法的群是非交換群，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M(mǎn)換律。群中元素的n次冪與半群和獨(dú)異點(diǎn)不同的是：群中元素可以定義負(fù)整數(shù)次冪。定義2.6 設(shè)G是群，aG，nZ，則a的n次冪例 在中有2-3(

14、2-1)3131110在中有 3-5(3-1)5(-3)5(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)-15群中元素的階定義2.7 設(shè)G是群，aG，使得等式ake成立的最小正整數(shù)k稱(chēng)為a的階，記作|a|k，這時(shí)也稱(chēng)a為k階元。若不存在這樣的正整數(shù)k,則稱(chēng)a為無(wú)限階元。舉例在中，2和4是3階元，3是2階元，而1和5是6階元，0是1階元。在中，0是1階元，其它的整數(shù)都是無(wú)限階元。在Klein四元群中，e為1階元，其它元素都是2階元。群的性質(zhì)群的冪運(yùn)算規(guī)則定理2.1 設(shè)G為群,則G中的冪運(yùn)算滿(mǎn)足：(1) aG,(a-1)-1a。(2) a,bG，(ab)-1b-1a-1。aG，anaman+m，

15、n,mZ。aG，(an)manm，n,mZ。若G為交換群，則(ab)nanbn。分析：(1)和(2)可以根據(jù)定義證明。(3)、(4)、(5)中的等式,先利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于自然數(shù)n和m證出相應(yīng)的結(jié)果，然后情況。n或m為負(fù)數(shù)的定理2.1的證明(1) aG,(a-1)-1a。(a-1)-1是a-1的，a也是a-1的。（或者：a-1是a的，a也是a-1的。）的唯一性， (a-1)-1a。根據(jù)(2) a,bG，(ab)-1b-1a-1。(b-1a-1)(ab)b-1(a-1a)bb-1be(ab)(b-1a-1)a(bb-1)a-1aa-1e故 b-1a-1是 ab 的。根據(jù)的唯一性等式得證。定理2.1

16、的證明(3) aG，anaman+m，n,mZ。先考慮n,m都是自然數(shù)的情況。任意給定n，對(duì)m進(jìn)行歸納。m0，有ana0aneanan+0成立。假設(shè)對(duì)一切mN有anaman+m成立，則有 anam+1an(ama)(anam)aan+maan+m+1由歸納法等式得證。下面考慮存在負(fù)整數(shù)次冪的情況。設(shè)n0，m0，令n-t，tZ+，則a-(t-m)am-tan+mam-tan+mtmtmanama-tam(a-1)tam對(duì)于n0,m0以及n0,m0的情況同理可證。定理2.1的證明(5) 若G為交換群，則(ab)nanbn。當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，對(duì)n進(jìn)行歸納。e ee a0b0。n0，有(ab)0假設(shè)(a

17、b)kakbk，則有(ab)k+1(ab)k(ab) (akbk)abak(bka)b(ak+1)(bk+1)ak(abk)b由歸納法等式得證。(aka)(bk)b設(shè)n0，則(ab)n (ba)n (ba)-m (ba)-1)m(a-1b-1)m(a-1)m(b-1)ma-mb-manbn定理2.1說(shuō)明定理2.1(2)中的結(jié)果可以推廣到有限多個(gè)元素的情況,即注意上述定理中的最后一個(gè)等式只對(duì)交換群成立。如果G是非交換群,那么只有群方程存在唯一解定理2.2 G為群，a,bG，方程axb和yab在G中有解且僅有唯一解。證明：先證a-1b是方程axb的解。將a-1b代入方程左邊的x得a(a-1b) (

18、aa-1)beb b所以a-1b是該方程的解。下面證明唯一性。假設(shè)c是方程axb的解，必有acb，從而cec (a-1a)c a-1(ac) a-1b有同理可證ba-1是方程yab的唯一解。若對(duì)任意的a,bG,必有唯一的x,yG，滿(mǎn)足ax=b和 ya =bb一定出現(xiàn)a所在的行里，且一定出現(xiàn)在a所在的列里。45xaabyb思考：群方程存在唯一解這一特點(diǎn)反映在獨(dú)異點(diǎn)上，會(huì)是什么表現(xiàn)？46獨(dú)異點(diǎn)的性質(zhì)例：設(shè)是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，則在運(yùn)算*的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。證明:設(shè)S中關(guān)于運(yùn)算*的幺元是e。因?yàn)閷?duì)于任意的a,bS，當(dāng)ab時(shí)，總有e*a=ab=e*b 和 a*e=ab=b*e即幺元e所在的行

19、和所在的列有不相同元素。所以，在*的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩列是相同的。47*eabce a b ce aa eb cc bb cc be aa e48例:設(shè)Z 是整數(shù)集合，m是任意正整數(shù)，Zm是由模m的同余類(lèi)組成的同余類(lèi)集，在Zm上定義兩個(gè)二元運(yùn)算+m和m分別如下：對(duì)于任意的i, j Zmi +m j=(i+j) (mod m),im j=(ij) (mod m)試證明在這兩個(gè)二元運(yùn)算的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都不相同。49上例中，如果給定m=5，那么，+5和5的運(yùn)算表分別如下表所示。0123401234+55012340123412340234013401240123012340000001

20、23402413031420432150證明:代數(shù)系統(tǒng)和 。由運(yùn)算+m和m的定義，可知它們?cè)赯m上是封閉的。對(duì)于任意i,j,kZm(i +m j) +m k=i +m (j +m k)=(i+j+k) (mod m) (imj) m k=i m(j mk)=(ijk) (mod m)即+m，m都是可結(jié)合的。(3) 因?yàn)閷?duì)于任意iZm，0 +m i= i +m 0=i,所以， 0是中的幺元。因?yàn)? m i= i m 1=i,所以1是中的幺元。因此，代數(shù)系統(tǒng)，都是獨(dú)異點(diǎn)。由獨(dú)異點(diǎn)的性質(zhì)定理可知，這兩個(gè)運(yùn)算的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都不相同。51例2.5例2.5 設(shè)群G，其中為集合的對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算。解下列

21、群方程：(1)aX (2)Ya,bb解答：(1) Xa-1 aa(2) Yba,b-1ba,ba群滿(mǎn)足消去律定理2.3G為群,則G中適合消去律，即對(duì)任意a,b,cG 有(1)若abac，則bc。 (2)若baca，則bc。證明：(1)abac a-1(ab)a-1(ac) (a-1a)b(a-1a)c ebec bc (2)略幺元保持定理證明： 設(shè)是一個(gè)群，是的一個(gè)子群，那么，中的幺元e必定也是中的幺元。證明：設(shè)中的幺元為e1, 對(duì)于任一xSG,必有e1*x=x=e*x, 由消去律知e1=e。54例2.6例2.6 設(shè)G為群，a,bG, kZ+，證明（a-1ba)ka-1ba bkb證明：充分性

22、（a-1ba)k (a-1ba)(a-1ba)(a-1ba) (a-1ba) a-1b(aa-1)b(aa-1)b(aa-1)ba a-1bka a-1ba (因?yàn)?bkb)k個(gè)a-1ba由（a-1ba)ka-1ba 得必要性(a-1ba)(a-1ba)(a-1ba)a-1baa-1bkaa-1ba化簡(jiǎn)得bkb。由消去律得例2.7例2.7 設(shè)G為群，a,bG，且 (ab)2a2b2 ，證明abba（證明：由(ab)2a2b2 得ababaabb群）。根據(jù)群中的消去律，得 baab，即 abba。例2.8例2.8 設(shè)Ga1,a2,an是n階群，令aiGaiaj|j=1,2,n證明 aiGG。證明

23、：由群中運(yùn)算的封閉性有aiG G。假設(shè)aiG G，即|aiG|n。必有aj,akG 使得aiajaiak （jk）由消去律得 aj=ak,與|G|n。群中元素的階的性質(zhì)G為群，aG且|a|r。設(shè)k是整數(shù),則定理2.4(1) ake當(dāng)且僅當(dāng) r|k(2) |a|a-1|證明：(1) 充分性。由于r|k，必存在整數(shù)m使得kmr，所以有r(ar)m eme。a必要性。根據(jù)除法，存在整數(shù)m和i使得kmr+i，0ir-1eakamr+i(ar)maieaiai因?yàn)閨a|r,必有i0。這就證明了r|k。|a|a-1|思考：如何證明元素的階相等？證明|x|y|的方法：令|x|r，|y|s 驗(yàn)證 (x)se

24、r|s驗(yàn)證 (y)re s|r因此 rs，即 |x|y|。(2) |a|a-1|由(a-1)r(ar)-1e-1e，可知 a-1 的階存在。令|a-1|t，根據(jù)上面的證明有 t|r。這說(shuō)明a的 而a又是a-1的，故有r|t。的階是a的階r的因子。，所以a的階也是a-1的階的因子從而證明了rt,即|a|a-1|。例2.9例2.9 設(shè)G是群，a,bG是有限階元。證明(1)|b-1ab|a| (2)|ab|ba|證明：(1)設(shè)|a|r,|b-1ab|t，則有(b-1ab)(b-1ab)(b-1ab)b-1arbb-1ebe(r個(gè)b-1ab)(b-1ab)r根據(jù)定理2.4，可知b-1ab的階是a的階的

25、因子，即t|r。另一方面，ab(b-1ab)b-1(b-1)-1(b-1ab)b-1可知,(b-1)-1(b-1ab)b-1的階是b-1ab的階的因子，即r|t。從而有|b-1ab|=|a|。(2)|ab|ba|設(shè)|ab|r,|ba|t，則有(ab)t+1 (ab)(ab)(ab) a(ba)(ba)(ba)b a(ba)tb aebt+1個(gè)abt個(gè)ba ab由消去律得(ab)te，從而可知，r|t.同理可證 t|r。因此，|ab|ba|。例2.10例2.10 設(shè)G為有限群，則G中階大于2的元素有偶數(shù)個(gè)。證明：根據(jù)定理2.4可知，對(duì)于任意aG，有a2e |a|1 或 |a|2若a2e，則有 a

26、-1a2a-1e，即 aa-1。反之，若aa-1，則有 a2aaaa-1e，這就推出a2e aa-1。 綜合上述可知，對(duì)G中階大于2的元素a，必有aa-1。又由于|a|a-1|，所以G中階大于2的元素一定成對(duì)出現(xiàn)。G中若含有階大于2的元素，一定是偶數(shù)個(gè)。若G中不含階大于2的元素，而0也是偶數(shù)。本節(jié)主要內(nèi)容集合G和二元運(yùn)算 封閉性、結(jié)合律、群的條件元、每個(gè)元素有。特殊群的定義（有限與無(wú)限群、Abel群、平凡群）與群的階。元素的冪與元素的階群的性質(zhì)：冪運(yùn)算規(guī)則、消去律、群方程的唯一解、有關(guān)元素的階的性質(zhì)。2.3 子群子群的定義子群的三個(gè)判定方法重要子群的實(shí)例 生成群、中心由B生成的子群，子群格子群

27、的定義定義2.8 設(shè)G是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G群，則稱(chēng)H是G的子群(subgroup)，記中的運(yùn)算作 HG。若H是G的子群，且HG，則稱(chēng)H是G的真子群(proper subgroup)，記作 HG。說(shuō)明：對(duì)任何群G都存在子群。G和e都是G的子群，稱(chēng)為G的平凡子群(trivial subgroup) 。舉例：nZ（n是自然數(shù)）是整數(shù)加群Z,+的子群。當(dāng)n1時(shí),nZ是Z的真子群。子群的判定定理一定理2.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：a,bH，有 abH。aH，有 a-1H。證明：必要性是顯然的。為證明充分性，只需證明eH。（為什么？）因

28、為H非空，必存在aH。由條件(2)可知，a-1H，再使用條件(1)有 aa-1H，即eH。子群的判定定理二定理2.6（判定定理二） 設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,bH有ab-1H。證明：必要性。任取a,bH，由于H是G的子群，必有b-1H， 由封閉性有 ab-1H。充分性。 因?yàn)镠非空，必存在aH。根據(jù)給定條件得 aa-1H，即eH。任取aH，由e,aH 得 ea-1H，即a-1H。任取a,bH，由剛才的證明知 b-1H。再利用給定條件得a(b-1)-1H，即 abH。綜合所述，根據(jù)判定定理一，可知 H是G的子群。子群的判定定理三定理2.7(判定定理三) 設(shè)G為群，H是G

29、的非空子集。如果H是有窮集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng) a,bH有abH。證明：必要性是顯然的。充分性。只需證明 aH有a-1H。（為什么不證幺元的存在性?）任取aH，若ae，則a-1e-1eH。若ae,令 Sa,a2,，則SH。由于H是有窮集，必有aiaj（i1，由此得aj-i-1ae 和 aaj-i-1e從而證明了 a-1aj-i-1H。由的存在性和封閉性，可知幺元一定存在。子群實(shí)例生成子群舉例：整數(shù)加群，由2生成的子群是2k|kZ2Z群中，由2生成的子群由 200，212，224，23=0，即 0,2,4，(3)Klein四元群Ge,a,b,c的所有生成子群是：e，e,a，e,b，e,c。子

30、群實(shí)例中心例2.13 設(shè)G為群，令C是與G中所有的元素都可交換的元素的集合，即Ca|aGxG(axxa)則C是G的子群，稱(chēng)為G的中心。證明：由e與G中所有元素的交換性可知，eC。C是G的非空子集。任取a,bC，為證明ab-1C，只需證明ab-1與G中所有的元素都可交換。xG，有a(bx-1)-1(ab-1)xa(x-1b)-1ab-1xab-1(x-1)-1a(xb-1)(ax)b-1 (xa)b-1 x(ab-1)由判定定理二可知，CG。例2.14例2.14 設(shè)G是群，H,K是G的子群。證明HK也是G的子群。HK是G的子群當(dāng)且僅當(dāng) HK 或 KH。證明：(1) 由eHK 知 HK非空。任取a

31、,bHK，則 aH，aK，bH，bK。由于H和K是G的子群，必有 ab-1H 和 ab-1K，從而推出 ab-1HK。根據(jù)判定定理二，命題得證。(2) HK是G的子群當(dāng)且僅當(dāng) HK 或 KH。充分性是顯然的。必要性，用反證法。假設(shè) HK 且 KH，那么存在h和k使得hHhK 這就推出 hkH。若不然，由h-1H盾。同理可證，hkK。 從而得到 hkHK。kKkH并且kh-1(hk)H，與假設(shè)矛這與HK是子群。由B生成的子群任取兩個(gè)子群H1,H2，令BH1H2，如果H1H2， H1H2 ,那么H1H2不是G的子群，而只是G的子集。將G的所有包含B的子群的交記作，即H|BHHG。易見(jiàn)是G的子群，稱(chēng)為由B生成的子群。中的元素恰為如下形式：a1a2ak,kZ+其中ai是B中元素或B中元素的。不難證明，是包含了H1和H2的最小子群。如何找到有限群的全部子群第0層：e是G的平凡子群，也是最小的子群，放在第0層。第1層：任取aG，ae，則是a由生成的子群。如果G且不存在是的真子群，則將放在第1層。 如