單變量函數(shù)微分學(xué)2

1、中值定理中值定理應(yīng)用：應(yīng)用：洛必達(dá)法則（求解未定式極限）洛必達(dá)法則（求解未定式極限）羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 推廣推廣三.微分中值定理 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理第一節(jié)二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 費(fèi)馬費(fèi)馬(fermat)引理引理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理,)(0有定義在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 設(shè), )()(, )(0000 xfx

2、xfxUxx則)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 證畢xyO0 x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)xyab)(xfy O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

3、 結(jié)束 若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn), ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:定理的條件不全不全具備, 結(jié)論不一定成立. 1,010,)(xxxxf則由費(fèi)馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O不連續(xù)在 1 , 0不可導(dǎo)在) 1 , 0() 1 ()0(ff例如,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(,

4、0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbff思路思路: 利用逆向思維逆向思

5、維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在a, b 上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff證畢xyab)(xfy Oxyabafbf)()(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(,)()()(baabafbff拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點(diǎn), )(,2121xxxx上用拉在,21x

6、x格朗日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 欲證Ix時(shí)

7、,)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 證明不等式證證: 設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 (

8、 a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0問題轉(zhuǎn)化為證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: 作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?),(,

9、)()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !上面兩式相比即得結(jié)論. 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例4. 設(shè)).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)),1,0(使證證: 問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)則)(, )(xFxf在 0, 1 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff證明目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11ln

10、cos1lnlne1lnsinlnesin)e , 1(,)()() 1 (e) 1 (e)FfFFff例例5. 試證至少存在一點(diǎn))e , 1(使.lncos1sinlncos1sin 證證: 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等

11、式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式 第二節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用目的用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).理論分析近似計(jì)算泰勒公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xf)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式xy)

12、(xfy O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 求求 n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpn

13、nn0annxxaxxaxxa)()()(020201目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項(xiàng)估計(jì)余項(xiàng)估計(jì))()()(xpxfxRnn令(稱為余項(xiàng)) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()()(xpxfxRnn1

14、0)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時(shí)的某鄰域內(nèi)當(dāng)在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .泰勒泰勒(Taylor)公式公式:內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時(shí), 有)(xf)(0 xf)(00 xxx

15、f200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng))0(之間與在xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 公式 稱為n 階泰勒公式的皮亞諾皮亞諾(Peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) .在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點(diǎn)nxxf0)( 式成立目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特例特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0

16、xxf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 稱為麥克勞林麥克勞林( Maclaurin )公式公式 ., 00 x則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!

17、2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計(jì)式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式, ) 10(x記目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22

18、x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 10(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )sin(212mx)cos() 1(xm)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx!) 12(m)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf n

19、nxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 麥克勞林公式麥克勞林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2

20、, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁(yè)

21、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過.106解解: 已知xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 ,

22、得e) 10(!) 1(e!1!2111nn) 10(由于,3ee0欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 用近似公式!21cos2xx計(jì)算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當(dāng)588. 0 x時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 利用泰

23、勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1

24、x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng))(0nxxo當(dāng)00 x時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在

25、xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式,ex, )1ln(x,sin x,cos x)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計(jì)算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin6422464224xyO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近12! ) 1

26、2() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsinxysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy642246Ox4224y目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第三節(jié) 洛必達(dá)法則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()(limxgxf微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化00( 或 型)()(limxgxf本節(jié)研究本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、0)(lim)(lim

27、) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與aUxFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必達(dá)法則) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( 在 x , a 之間)證證: 無(wú)妨假設(shè), 0)()(aFaf在指出的鄰域內(nèi)任取,ax 則)(, )(xFxf在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理?xiàng)l件定理?xiàng)l件

28、: 西定理?xiàng)l件,)()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?),)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與aUxFxf0)( xF且目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論1. 定理 1 中ax 換為下列過程之一:, ax, ax,xx推論推論 2. 若)()(limxFxf滿足定且型仍屬)(, )(,00 xFxf理1條件, 則)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必達(dá)法則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式型0023注意

29、注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 求.arctanlim12xxx解解: 原式 xlim型00221limxxx1211x21x11lim21xx型洛洛目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、型未定式型未定式)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?()(limxFxfax定理定理 2.證證: 僅就極限)()(limxFxfax存在的情形加以證明 .)()(limxFxfax(洛必達(dá)法則),)()()()2內(nèi)可導(dǎo)

30、在與aUxFxf0)( xF且目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)0)()(limxFxfax的情形)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf limax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax從而型00目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)0)()(limxFxfax的情形. 取常數(shù),0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxF

31、xFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用 1) 中結(jié)論目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3)()(limxFxfax時(shí), 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 )說(shuō)明說(shuō)明: 定理中ax 換為之一, 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立., ax, ax,xx,x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求. )0(lnlimnxxnx解解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 為正整數(shù)的情形.原式0 xnxxnelim1xnxxnne) 1(lim22. )0(elim, 0nxxnx型型洛洛xnxne!lim洛洛洛洛目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求. )0(elim, 0nxxnx(2) n 不為正整數(shù)的情形.nx從而xnxexkxexkxe1由(1)0elimelim1xkxxkxx