多屬性效用理論已改

1、Decision Theory and Methods決策理論與方法2012年3月7日 星期三1主講教員：邢立寧講師辦公地點(diǎn)：科大1號院信息系統(tǒng)與管理學(xué)院124室；電話：75857(O), 手機(jī)：；Email: xinglining04gfkd.mtn.輔助教員：姚鋒講師辦公地點(diǎn)：科大1號院信息系統(tǒng)與管理學(xué)院124室；電話：75857(O), 手機(jī)：；Email: yaofenggfkd.mtn.教員信息2主要內(nèi)容兩個(gè)屬性的效用函數(shù)，一般的多屬性效用函數(shù)教學(xué)重難點(diǎn)兩個(gè)屬性的效用函數(shù)教學(xué)要求理解兩個(gè)屬性的效用函數(shù)，了解一般的多屬性效用函數(shù)第六講：多屬性效用函數(shù)31、優(yōu)先序2、多屬性價(jià)值函數(shù)3、多

2、屬性效用函數(shù)內(nèi)容提綱4ab (即aPb)讀作“a優(yōu)于b”(a is preferred to b)。：嚴(yán)格序(傳遞性、非對稱性)ab (即aRb) “a不劣于b”。：弱序(連通性、傳遞性和一致性)ab (即aIb) “a無差別于b”(I: indifference)。：無差異(傳遞性、對稱性和自反性)1、優(yōu)先序5令R是定義在方案集A上的二元關(guān)系，則（1）R在A上是連通的，當(dāng)僅當(dāng)對任何x，yA，xRy或者yRx，或者兩者同時(shí)成立（2）R在A上是傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng)對任何x,y,z A,若xRy，且yRx，則xRz。（3）R在A上是自反的，當(dāng)且僅當(dāng)對所有x A，由xRx。（4）R在A上是非自反的，當(dāng)且

3、僅當(dāng)對所有的x A，xRx不成立。（5）R在A上是負(fù)向傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng)對任何x，y，z A，若非xRy且非yRz則非xRz。（6）R在A上是擬傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng)對任何x，y，z A，若（xRy且非yRx）且（yRz且非zRy），則（xRz且非zRx）。（7）R在A上是對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)對A中的任何x，y A若xRy則yRx。二元關(guān)系的性質(zhì)6（8）R在A上是非對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)對A中任何x，y若xRy，則必有非yRz（9）R在A上是反對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)對A中任何x，y，若xRy且yRx，則必有x=y。（10）R在A上是非循環(huán)的，當(dāng)且僅當(dāng)A中不存在x1， x2xn,使x1 Rx2，且x2Rx3xn-1Rx

4、n且xnRx1?；蛘逺在A上非循環(huán)的，當(dāng)且僅當(dāng)對A中任何x1，x2xn，x1Rx2且x2Rx3且且xn-1Rxn推不出xnRx1二元關(guān)系的性質(zhì)7常見的一些重要次序關(guān)系有：（1）擬序：具有傳遞性和自反性的二元關(guān)系；（2）弱序：具有傳遞性，自反性和連通性；（3）偏序：具有傳遞性自反性和反對自反性的二元關(guān)系；（4）線性序：傳遞且非自反的二元關(guān)系；（5）嚴(yán)格偏序：傳遞且非自反的二元關(guān)系；（6）嚴(yán)格序（強(qiáng)序）傳遞、連通、非自反的二元關(guān)系。二元關(guān)系的性質(zhì)8大于關(guān)系大于關(guān)系大于等于約等于等于大小關(guān)系二元關(guān)系的性質(zhì)9二元關(guān)系的性質(zhì)10二元關(guān)系的性質(zhì)11基本概念(無差異類、偏好獨(dú)立、邊際偏好序)定義：無差異類任

5、何對象aA的無差異類I（a）是A中所有與a無差異的對象的結(jié)合，即：無差異類I（a）有如下性質(zhì)：2、多屬性價(jià)值函數(shù)12在購買專門用于收聽音樂的調(diào)頻收音機(jī)時(shí)，通常只有兩個(gè)重要的因素，一個(gè)是價(jià)格x，一個(gè)是信噪比y。幾乎所有人都會按以下規(guī)則購買這種收音機(jī)：（1）對任意給定的價(jià)格，信噪比高比較好；（2）對任意給定的信噪比，價(jià)格低的比較好。這就是說，對決策人而言，對價(jià)格的偏好獨(dú)立于對信噪比的偏好，反之亦然。這就是偏好獨(dú)立（preferential indepenence）定義：偏好獨(dú)立與相互偏好獨(dú)立設(shè)X、Y為屬性，若對 ，當(dāng) 有 則稱屬性X偏好獨(dú)立于屬性Y。若則稱屬性Y偏好獨(dú)立于屬性X。若上面兩個(gè)同時(shí)成立

6、，則稱屬性X與Y相互獨(dú)立。13菜和湯的組合不滿足相互偏好獨(dú)立。課堂討論14當(dāng)偏好獨(dú)立性成立時(shí)，可以定義單個(gè)屬性的邊際偏好序（marginal preference order）；屬性X偏好獨(dú)立于屬性Y時(shí)，在屬性X上的邊際偏好序?yàn)椋和瑯拥?，屬性Y偏好獨(dú)立與屬性X時(shí)，可以定義在屬性Y上的邊際偏好序?yàn)椋盒枰⒁獾氖牵海?）在偏好獨(dú)立性不成立時(shí)，不能定義邊際偏好序。（2）當(dāng) 是定義在 上的弱序時(shí)， 與 也是弱序。15課堂討論16兩個(gè)屬性的價(jià)值函數(shù)(存在性定理、加性條件)定理：設(shè) 是定義在方案集A上的弱序，A中只有可數(shù)個(gè)無差異類，則存在實(shí)值的序數(shù)價(jià)值函數(shù)v，更準(zhǔn)確的，2、多屬性價(jià)值函數(shù)17方案集和屬性值

7、集A為連續(xù)型時(shí)價(jià)值函數(shù)的存在性定理如下：定理： ， 是A上的弱序，若則存在定義在A上的實(shí)值函數(shù)v 滿足：定理的證明參見文獻(xiàn)（Fishburn 1970）或者（Luce 1965）定理中的條件（1）為單調(diào)性 （monotonicity）即優(yōu)勢原則（dominance）：只要某屬性值增加，偏好也增加；條件（2）為偏好空間的連續(xù)性（continity）即阿基米德性。18某企業(yè)擬在若干產(chǎn)品中選一種投產(chǎn)，每種產(chǎn)品的生產(chǎn)周期均為兩年?，F(xiàn)僅考慮兩種屬性，第一年的現(xiàn)金收益X和第二年的現(xiàn)金收益Y。設(shè)現(xiàn)金收益可以精確預(yù)計(jì)，企業(yè)偏好是：設(shè)有下列產(chǎn)品對（1）（0.100），（100，100）（2）（0，400），（2

8、00，200）（3）（100，500），（200，300）（4）（0，500），（150，200）每個(gè)產(chǎn)品中只能生產(chǎn)其中之一，企業(yè)應(yīng)該作何種選擇，為什么？課堂討論19加性條件202122定理： 設(shè) ，且存在與A上弱序一致的價(jià)值函數(shù)v（x，y），則當(dāng)且僅當(dāng)，（1）屬性X與Y相互偏好獨(dú)立，（2）滿足Thomsen條件，即 存在實(shí)值價(jià)值函數(shù)v（x，y）=v1（x）+v2（y）使下面的式成立。定理的證明過程參照文獻(xiàn)（Krantz 1971）.231 效用獨(dú)立例：有四個(gè)抽獎在抽獎 和 中，第二年的收入均為確定性的150； 和 第二年收入均為確定性的250，而且有如果決策人對四個(gè)抽獎的偏好只取決于第一年的

9、風(fēng)險(xiǎn)型收入而與第二年的確定性收入無關(guān)，則應(yīng)該有如果連個(gè)抽獎有公共的確定性的Y的值而屬性X中的值不同，決策人對它們的偏好與Y的取值無關(guān)，則稱X效用獨(dú)立于Y。3、多屬性效用函數(shù)242526272829例：某人擬從甲地到乙地。他考慮兩個(gè)因素，一是費(fèi)用c，一是旅途花費(fèi)的時(shí)間t；假設(shè)：（1）他對c、t這兩個(gè)屬性是相互效用獨(dú)立的；（2）費(fèi)用及時(shí)間的邊際效用都是線性的，且邊際效用值隨c、t的增加而減少；（3）他認(rèn)為屬性向量（c，t）的下列無差異對成立：1.求此人的效用函數(shù)；2.若此人面臨3種選擇a）乘火車，3個(gè)小時(shí)，30元；b）自己開車，有0.75的機(jī)會4小時(shí)到達(dá)花費(fèi)10元，有0.25的機(jī)會6小時(shí)到達(dá)花費(fèi)1

10、2元；c）先花費(fèi)2元乘公交到達(dá)某地搭便車，有0.25的機(jī)會5小時(shí)到達(dá)，有0.5的機(jī)會6小時(shí)到達(dá)，有0.25的機(jī)會8小時(shí)到達(dá)，求他應(yīng)作何種選擇。303132設(shè)決策人今后3年的收入分別為x，y，z（萬元），以x、y、z、為屬性的效用函數(shù)是線性的，即u（x，y，z）=ax+by+c。通過對話發(fā)現(xiàn)他認(rèn)為下列無差異關(guān)系成立：（0.25,(1,0,0);0.5,(1,1,0);0.25,(1,2,2)(0.5,(2,0,0);0.5,(0.8.1.1)） (0.5,(1,1,1);0.5,(1,0,1)(0.25,(0,1,2);0.75,(1,0.5,1) 作為必要假設(shè)后求此人的效用函數(shù)。作業(yè)33某人想去度假，他根據(jù)兩人屬性來確定休假的優(yōu)劣，x表是每天的日照時(shí)數(shù)；y表示每天的費(fèi)用。決策分析人在與他討論后確定；（1）他的偏好是相互效用獨(dú)立的；（2）x的邊際效用是線性的，