【解析版】江蘇省無錫市南菁高級中學(xué)2013屆高下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

1、江蘇省無錫市南菁高級中學(xué)2013屆高下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，計70分，請將答案填入答題區(qū)）1（5分）若集合A=y|y=x，B=x|y=，則AB=（，1考點：交集及其運算.專題：計算題分析：先求出集合B，根據(jù)集合語言再求出集合A，然后進行交集運算即可解答：解：由1x0 x1，B=x|x1A=R，AB=（，1 故答案是（，1點評：本題考查集合語言的理解與交集運算2（5分）命題“xR，有x2+1x”的否定是xR，使x2+1x考點：全稱命題；命題的否定.專題：閱讀型分析：全稱命題：“xA，P（x）”的否定是特稱命題：“xA，非P（x）”，結(jié)合已知中原命題“

2、xR，都有有x2+1x”，易得到答案解答：解：原命題“xR，有x2+1x”命題“xR，有x2+1x”的否定是：xR，使x2+1x故答案為：xR，使x2+1x點評：本題考查的知識點是命題的否定，其中熟練掌握全稱命題：“xA，P（x）”的否定是特稱命題：“xA，非P（x）”，是解答此類問題的關(guān)鍵3（5分）若i是虛數(shù)單位，則i+2i2+3i3+2013i2013=1006+1007i考點：虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；數(shù)列的求和；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算.專題：計算題分析：由虛數(shù)單位的周期性可得得i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=1，i4n+3=1，其中n為自然數(shù)，S=i+2i2+3i3+2013i201

3、3，進而可得：iS=i2+2i3+3i4+2013i2014，兩式相減，由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算化簡即可解答：解：由虛數(shù)單位i性質(zhì)可得i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=1，i4n+3=1，其中n為自然數(shù)，設(shè)S=i+2i2+3i3+2013i2013，兩邊同乘以i可得：iS=i2+2i3+3i4+2013i2014，可得（1i）S=i+i2+i3+i20132013i2014=2013i2014=2013（1）=2013+i，故S=1006+1007i故答案為：1006+1007i點評：本題考查虛數(shù)單位及其性質(zhì)，涉及數(shù)列的錯位相減法求和以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算，屬中檔題4（5

4、分）“1”是“l(fā)gx0成立”的必要不充分條件條件（填充分不必要、必要不充分，既不充分也不必要，充要）考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：利用解分式不等式和對數(shù)不等式化簡原來的兩個不等式為最簡形式，再根據(jù)不等式的性質(zhì)和充分必要條件的定義進行求解即可解答：解：“1”可得x0或x1，lgx0可得x1，lgx01，但反過來不成立，“1”是“l(fā)gx0成立”的 必要不充分條件故答案為：必要不充分點評：此題主要考查解不等式、不等式的基本性質(zhì)和充分必要條件，是一道基礎(chǔ)題5（5分）已知流程圖如圖所示，為使輸出的b值為16，則判斷框內(nèi)處應(yīng)填3考點：循環(huán)結(jié)構(gòu).專題：計算題分析：分

5、析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算變量b的值，并輸出，模擬程序的運行，用表格對程序運行過程中各變量的值進行分析，不難得到輸出結(jié)果解答：解：a=1時進入循環(huán)，此時b=21=2，a=2時，再進入循環(huán)此時b=22=4，a=3，再進入循環(huán)此時b=24=16，a=4時應(yīng)跳出循環(huán)，循環(huán)滿足的條件為a3，故答案為：3點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：分支的條件循環(huán)的條件變量的賦值變量的輸出其中前兩點考試的概率更大此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤6

6、（5分）（2012泉州模擬）已知直線axby2=0與曲線y=x3在點P（1，1）處的切線互相垂直，則為考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.專題：計算題分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線y=x3在（1，1）處的切線斜率k，然后根據(jù)直線垂直斜率乘積為1，建立等式可求的值解答：解：設(shè)曲線y=x3在點P（1，1）處的切線斜率為k，則k=f（1）=3因為直線axby2=0與曲線y=x3在點P（1，1）處的切線互相垂直所以3=1即故答案為：點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點（x0，y0）處的切線斜率即為該點處的導(dǎo)數(shù)值，以及兩直線垂直的條件的運用，屬于基礎(chǔ)試題7（5

7、分）已知cos=，cos（）=，且0，則=考點：兩角和與差的余弦函數(shù).專題：計算題分析：由和的范圍，求出的范圍，然后由cos和cos（）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin和sin（）的值，然后由=（）+，利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡后，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出的度數(shù)解答：解：由0，得到0，又cos=，cos（）=cos（）=，所以sin=，sin（）=，則cos=cos（）+=cos（）cossin（）sin=，所以=故答案為：點評：此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題做題時注意角度的變換8（5分）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2

8、，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為考點：等可能事件的概率.專題：計算題分析：列舉出所有情況，看取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況數(shù)占所有情況數(shù)的多少即可解答：解：列樹狀圖得：共有12種情況，取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況數(shù)為8種，所以概率為故答案為：點評：考查用列樹狀圖的方法解決等可能事件的概率問題；得到取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵；用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比9（5分）若A、B與 F1、F2分別為橢圓C：的兩長軸端點與兩焦點，橢圓C上的點P使得F1PF2=，則tanAPB=考點：橢圓的簡

9、單性質(zhì).專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：由橢圓的定義和勾股定理，算出點P在第一象限時的坐標為P（，），再由直線PA、PB的傾斜角與APB的關(guān)系，結(jié)合斜率公式和正切的差角公式，即可算出tanAPB的值解答：解：根據(jù)題意，APB的大小與點P在哪一象限無關(guān)，因此以點P在第一象限為例，設(shè)P（m，n）|PF1|+|PF2|=2a=2，|PF1|2+|PF2|2=4c2=16|PF1|PF2|=（|PF1|+|PF2|）2（|PF1|2+|PF2|2）=2由此可得，PF1F2的面積S=|PF1|PF2|=1又PF1F2的面積S=|F1F2|n=1n=，代入橢圓方程可得m=，得P（，）因此：k

10、PA=，kPB=APB等于PB的傾斜角減去PA的傾斜角tanAPB=故答案為：點評：本題給出橢圓上一點對兩個焦點所張的角為直角，求該點與長軸兩個頂點所張角的正切值，著重考查了直線的斜率公式、兩角差的正切公式和橢圓的幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題10（5分）已知數(shù)列an（nN*）滿足a1=1且an=an1cos，則其前2013項的和為0考點：數(shù)列的求和.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：分別求出當(dāng)n=3k，n=3k+1，n=3k+2（kN）時的的值，由a1=1依次求出a2，a3，分析發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第一項起每三項和等于0，由此求出其前2013項的和解答：解：當(dāng)n=3k（kN）時，當(dāng)n=3k+1（kN）時，=，

11、當(dāng)n=3k+2（kN）時，=，由a1=1且an=an1cos，得：，由此可得從第一項起，數(shù)列an的每三項和為0，而2013=6713，所以，S2013=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a2011+a2012+a2013）=0故答案為0點評：本題考查了余弦函數(shù)值的求解，考查了求數(shù)列的和，重點考查了學(xué)生的歸納和推理能力，屬中檔題11（5分）定義在R上的函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，且函數(shù)y=f（x2）的圖象關(guān)于（2，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s24s）f（4tt2），若2s2時，則3t+s的最大值為16考點：簡單線性規(guī)劃；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等

12、式的解法及應(yīng)用分析：根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式結(jié)合奇偶性定義，可得函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)因此將f（s24s）f（4tt2）變形，化簡整理得到（st）（s+t4）0，以s為橫坐標、t為縱坐標建立坐標系，結(jié)合2s2作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示再將z=3t+s對應(yīng)的直線l進行平移，即可得到當(dāng)s=2，t=6時，3t+s的最大值為16解答：解：y=f（x2）的圖象由y=f（x）函數(shù)圖象向右移2個單位而得由y=f（x2）圖象關(guān)于（2，0）點對稱，可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（0，0）點對稱由此可得函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)f（4tt2）=f（t24t）f（s24s）f（4tt2），f（s24s）f（t

13、24t）又y=f（x）函數(shù)是增函數(shù)，s24st24t，移項得：s24st2+4t0化簡整理可得：（st）（s+t4）0以s為橫坐標、t為縱坐標，建立如圖直角坐標系，則不等式表示的平面區(qū)域如圖所示即ABC及其內(nèi)部，其中A（2，2），B（2，6），C（2，2）設(shè)z=F（s，t）=3t+s，將直線l：z=3t+s進行平移，可得當(dāng)l經(jīng)過點B時，z達到最大值zmax=F（s，t）=36+（2）=16故答案為：16點評：本題以函數(shù)的奇偶性和不等式等價變形為載體，考查了函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)、二元一次不等式表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題12（5分）已知圓M：（x1）2+（y3）2=4，過x軸

14、上的點P（a，0）存在一直線與圓M相交，交點為A、B，且滿足PA=BA，則點P的橫坐標a的取值范圍為13，1+3考點：直線與圓的位置關(guān)系.專題：直線與圓分析：由題意可得圓的半徑為2，動點P到圓M的最近的點的距離小于或等于4，P到圓心M（1，3）的距離小于或等于6，即6，由此求得a的范圍解答：解：由題意可知：圓的半徑為2，直徑為4；故弦長BA的范圍是（0，4又PA=BA，所以動點P到圓M的最近的點的距離小于或等于4，由于圓與x軸相離，故P到圓上的點的距離恒大于0進而分析得到：P到圓心M（1，3）的距離小于或等于6，根據(jù)兩點間的距離公式有：6，解得 13a1+3，故所求的a的范圍是：13，1+3，

15、故答案為13，1+3點評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題13（5分）已知非零向量與滿足（）（2）=0，則的最小值為1考點：平面向量數(shù)量積的運算；向量的模.專題：計算題；平面向量及應(yīng)用分析：由已知結(jié)合向量的數(shù)量積的定義可求，結(jié)合1cos1可求的范圍，進而可求最小值解答：解：（）（2）=0，cos令m=|，n=|1cos111解不等式可得即的最小值為1故答案為：1點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)試題14（5分）已知，點P（x，y）的坐標滿足，則的取值范圍為）考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用.專題：計算題；壓軸題；不等式的解

16、法及應(yīng)用；平面向量及應(yīng)用分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，P（x，y）為內(nèi)部一點，設(shè)A（，），可得向量、的夾角（，由向量的夾角公式可得=2cos，由此結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到本題的答案解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的平面區(qū)域，其中B（2，0），C（1，）設(shè)A（，），P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個動點，向量、的夾角為|=，=x+ycos=當(dāng)P運動到C點時，達到最小值；P運動到與x軸負半軸上一點重合時，達到最大值A(chǔ)OCAOB，由直線OA、OC的傾斜角分別為、，可得（，由此可得：cos，即，即的取值范圍為）故答案為：）點評：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，求式子的取值范圍，

17、著重考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、向量的夾角公式和簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用等知識，屬于中檔題二、解答題（本大題共6小題，共90分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟來）15（14分）（2013鎮(zhèn)江一模）在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列（1）若=，b=，求a+c的值；（2）求2sinAsinC的取值范圍考點：余弦定理的應(yīng)用；數(shù)列的應(yīng)用；向量在幾何中的應(yīng)用.專題：計算題分析：（1）通過A，B，C成等差數(shù)列，求得B的值，通過已知的向量積求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c（2）通過兩角和公式對2sinAsinC，再根據(jù)C的范圍和余弦函數(shù)的單調(diào)性求出2sinAsinC的

18、取值范圍解答：解：（1）A，B，C成等差數(shù)列，B=，accos（B）=，ac=，即ac=3b=，b2=a2+c22accosB，a2+c2ac=3，即（a+c）23ac=3（a+c）2=12，所以a+c=2（2）2sinAsinC=2sin（C）sinC=2（cosC+sinC）sinC=cosC0C，cosC（，）2sinAsinC的取值范圍是（，）點評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用解決本題的關(guān)鍵就是充分利用了余弦定理的性質(zhì)16（14分）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知底面ABC是邊長為a的正三角形，側(cè)棱AA1=a，點D，E，F(xiàn)，O分別為邊AB，A1C，AA1，BC的中點，A1O底面ABC

19、（）求證：線段DE平面BB1C1C；（）求證：FO平面BB1C1C考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.專題：空間位置關(guān)系與距離分析：（I）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得E也為AC1的中點，由中位線定理可得DEBC1，再由線面平行的判定定理可得線段DE平面BB1C1C；（）由A1O底面ABC可得A1OAO，求出A1O，AO長，可由等腰三角形三線合一得到OFAA1，即OFBB1由線面垂直的判定定理可得BC平面AOA1，即BCFO，再由線面垂直的判定定理可得FO平面BB1C1C解答：證明：（）E為A1C的中點，E也為AC1的中點，又D為AB的中點，（2分）DEBC1，（4分）又DE平

20、面BB1C1C，BC1平面BB1C1CDE平面BB1C1C （6分）（）因為ABC是邊長這a的正三角形，所以AO=a又A1O底面ABC，AO底面ABC，所以A1OAO，（8分）又AA1=a，所以A1O=AO=a又F為AA1的中點，所以O(shè)FAA1，又BB1AA1，OFBB1 （10分）又BCAO，BCA1O，AOA1O=0，AO，A1O平面AOA1，BC平面AOA1，又FO平面AOA1，BCFO，（12分）又BCBB1=B，BC，BB1平面BB1C1C所以FO平面BB1C1C （14分）點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面垂直和平行的判定定理

21、是解答的關(guān)鍵17（14分）（2013泗陽縣模擬）某生產(chǎn)旅游紀念品的工廠，擬在2010年度將進行系列促銷活動經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀念品的年銷售量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3x與t+1成反比例若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件已知工廠2010年生產(chǎn)紀念品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件紀念品另外需要投資32萬元當(dāng)工廠把每件紀念品的售價定為：“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等（利潤=收入生產(chǎn)成本促銷費用）（1）求出x與t所滿足的關(guān)系式；（2）請把該工廠2010年的年利潤y萬元表示成促銷費t萬元的函數(shù)；（3）試問：當(dāng)2010年的促

22、銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.專題：應(yīng)用題分析：（1）根據(jù)題意，3x與t+1成反比例，列出關(guān)系式，然后根據(jù)當(dāng)t=0時，x=1，求出k的值（2）通過x表示出年利潤y，并化簡，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)（3）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大解答：解 （1）設(shè)比例系數(shù)為k（k0）由題知，有（2分）又t=0時，x=1（4分）（5分）（2）依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn)x萬件紀念品的生產(chǎn)成本為（3+32x）萬元，促銷費用為t萬元，則每件紀念品的定價為：（）元/件（8分）于是，進一步化簡，得（11

23、分）因此，工廠2010年的年利潤萬元（3）由（2）知，（15分）所以，當(dāng)2010年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元（16分）點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，屬于中檔題18（16分）如圖，橢圓C：過點M（1，），N（），梯形ABCD（ABCDy軸，且ABCD）內(nèi)接于橢圓，E是對角線AC與BD的交點（）求橢圓C的方程；（）設(shè)AB=m，CD=n，OE=d，試求的最大值考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程.專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（）把M、N兩點坐

24、標代入橢圓方程解方程組即可；（）易判斷點E在x軸上，則E（d，0），設(shè)BD的方程為x=ky+d（k0），與橢圓方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），由韋達定理可得y1+y2，進而可把mn、用k表示出來，再利用基本不等式即可求得其最大值解答：解：（）由題意得，解得a2=9，b2=4，所以橢圓C的方程為：（）根據(jù)對稱性可知點E在x軸上，則E點的坐標為（d，0），設(shè)BD的方程為x=ky+d（k0），由得（9+4k2）y2+8dky+4d236=0，設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），則y1+y2=，mn=2y12y2=，從而=，等號當(dāng)且僅當(dāng)k=取得的最大值為點評

25、：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解，考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，（）問關(guān)鍵是表示為k的函數(shù)19（16分）已知函數(shù)，且f（1）=1，f（2）=4（1）求a、b的值；（2）已知定點A（1，0），設(shè)點P（x，y）是函數(shù)y=f（x）（x1）圖象上的任意一點，求|AP|的最小值，并求此時點P的坐標；（3）當(dāng)x1，2時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍考點：函數(shù)恒成立問題；函數(shù)最值的應(yīng)用.專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）由f（1）=1，f（2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得關(guān)于a，b的（2）由（1）可知，利用兩點間的距離個公式

26、代入，結(jié)合x的范圍可求x+1=t0，然后結(jié)合基本不等式式即可求解（3）問題即為對x1，2恒成立，即對x1，2恒成立，則0m1或m2法一：問題化為對x1，2恒成立，mxmx2mx+m對x1，2恒成立，從而可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解法二：問題即為對x1，2恒成立，即對x1，2恒成立，0m1或m2問題轉(zhuǎn)化為x|xm|m對x1，2恒成立，令g（x）=x|xm|，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（2）=4得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t0，則=因為x1，所以t0，所以，當(dāng)，所以，（8分）即AP的最小值是，此時，點P的坐標是（9分）（3）問題

27、即為對x1，2恒成立，也就是對x1，2恒成立，（10分）要使問題有意義，0m1或m2法一：在0m1或m2下，問題化為對x1，2恒成立，即對x1，2恒成立，mxmx2mx+m對x1，2恒成立，當(dāng)x=1時，或m2，當(dāng)x1時，且對x（1，2恒成立，對于對x（1，2恒成立，等價于，令t=x+1，x（1，2，則x=t1，t（2，3，t（2，3遞增，結(jié)合0m1或m2，m2對于對x（1，2恒成立，等價于令t=x1，x（1，2，則x=t+1，t（0，1，t（0，1遞減，m4，0m1或2m4，綜上：2m4（16分）法二：問題即為對x1，2恒成立，也就是對x1，2恒成立，（10分）要使問題有意義，0m1或m2故問

28、題轉(zhuǎn)化為x|xm|m對x1，2恒成立，令g（x）=x|xm|若0m1時，由于x1，2，故g（x）=x（xm）=x2mx，g（x）在x1，2時單調(diào)遞增，依題意g（2）m，舍去；若m2，由于x1，2，故，考慮到，再分兩種情形：（），即2m4，g（x）的最大值是，依題意，即m4，2m4；（），即m4，g（x）在x1，2時單調(diào)遞增，故g（2）m，2（m2）m，m4，舍去綜上可得，2m4（16分）點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，及基本不等式在求解函數(shù)的 值域中的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題與函數(shù)最值求解中的綜合應(yīng)用20（16分）（2013昌平區(qū)二模）設(shè)數(shù)列an，對任意nN*都有（kn+b）

29、（a1+an）+p=2（a1+a2+an），（其中k、b、p是常數(shù)）（1）當(dāng)k=0，b=3，p=4時，求a1+a2+a3+an；（2）當(dāng)k=1，b=0，p=0時，若a3=3，a9=15，求數(shù)列an的通項公式；（3）若數(shù)列an中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”當(dāng)k=1，b=0，p=0時，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，a2a1=2，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”an，使得對任意nN*，都有Sn0，且若存在，求數(shù)列an的首項a1的所有取值；若不存在，說明理由考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式.專題：綜合題；壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）當(dāng)k=0，b=3，p=

30、4時，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列an是以首項為1，公比為3的等比數(shù)列，從而可求a1+a2+a3+an；（2）當(dāng)k=1，b=0，p=0時，n（a1+an）=2（a1+a2+an），再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列an是等差數(shù)列，從而可求數(shù)列an的通項公式；（3）確定數(shù)列an的通項，利用an是“封閉數(shù)列”，得a1是偶數(shù)，從而可得，再利用，驗證，可求數(shù)列an的首項a1的所有取值解答：解：（1）當(dāng)k=0，b=3，p=4時，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，3（a1+an+1）4=2（a1+a2+an+an+1），得，3（an+1an

31、）=2an+1，an+1=3an，（2分）在中令n=1得，a1=1，則an0，數(shù)列an是以首項為1，公比為3的等比數(shù)列，a1+a2+a3+an=（4分）（2）當(dāng)k=1，b=0，p=0時，n（a1+an）=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2+an+an+1），得，（n1）an+1nan+a1=0，（6分）用n+1去代n得，nan+2（n+1）an+1+a1=0，得，nan+22nan+1+nan=0，即an+2an+1=an+1an，（8分）數(shù)列an是等差數(shù)列a3=3，a9=15，公差，an=2n3（10分）（3）由（2）知數(shù)列an是等差數(shù)列，

32、a2a1=2，an=a1+2（n1）又an是“封閉數(shù)列”，得：對任意m，nN*，必存在pN*使a1+2（n1）+a1+2（m1）=a1+2（p1），得a1=2（pmn+1），故a1是偶數(shù)，（12分）又由已知，故一方面，當(dāng)時，Sn=n（n+a11）0，對任意nN*，都有另一方面，當(dāng)a1=2時，Sn=n（n+1），則，取n=2，則，不合題意（14分）當(dāng)a1=4時，Sn=n（n+3），則，當(dāng)a16時，Sn=n（n+a11）n（n+3），又，a1=4或a1=6或a1=8或a1=10（16分）點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題三、加試部分2

33、1（10分）學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩樣菜可供選擇，調(diào)查資料表明，凡是在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，若用AAn、Bn分別表示在第n個星期一選A、B菜的人數(shù)（1）若，請你寫出二階矩陣M；（2）求二階矩陣M的逆矩陣考點：二階矩陣.專題：計算題分析：（1）由二階矩陣的運算法則可知；（2）設(shè)矩陣M的逆矩陣為，則由，能求出二階矩陣M的逆矩陣解答：解：（1）；（2）設(shè)矩陣M的逆矩陣為，則由：，得：，解之得：，點評：認真閱讀題目，理解題意，得到An、Bn、An+1、Bn+1之間的關(guān)系式，再用矩陣形式表示，根據(jù)逆矩陣的定義

34、求之22（10分）（附加題選做題）（坐標系與參數(shù)方程）已知曲線C的參數(shù)方程為，0，2），曲線D的極坐標方程為（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；（2）曲線C與曲線D有無公共點？試說明理由考點：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系.專題：計算題分析：（1）先由，0，2），利用三角函數(shù)的平方關(guān)系消去參數(shù)即得x2+y=1，x1，1（2）由利用三角函數(shù)的和角公式展開，得曲線D的普通方程為x+y+2=0，欲曲線C與曲線D有無公共點，主要看它們組成的方程有沒有實數(shù)解即可解答：解：（1）由，0，2），得x2+y=1，x1，1（2）由得曲線D的普通方程為x+y+2=0得x2x3=0解x=，故曲線C與曲線D無公共點點評：本小題主要考