八年級三角形四邊形動點問題知識點與題答案

1、. .PAGE8 / NUMPAGES8三角形四邊形動點問題適用學科初中適用年級初二適用區(qū)域人教版課時時長（分鐘）60分鐘知識點幾何綜合動點教學目標1、能掌握幾何動點類問題的思想方法：數學思想：分類思想 數形結合思想 轉化思想2、培養(yǎng)學生的幾何動點問題中動中求靜的思考能力教學重點培養(yǎng)學生的分析問題、解決問題的能力，容包括空間觀念、應用意識、推理能力問題.教學難點培養(yǎng)學生主動探究知識，合作交流的意識，體驗數學中的美，激發(fā)學習興趣，從而培養(yǎng)學生勤于動腦和動手的良好品質.教學過程復習預習復習所學過的幾何圖形與其性質列出所有幾何圖形的面積邊長公式.二、知識講解專題一： 一函數揭示了運動變化過程中量與量

2、之間的變化規(guī)律,是初中數學的重要容.動點問題反映的是一種函數思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,這種變化關系就是動點問題中的函數關系.那么,我們怎樣建立這種函數解析式呢?下面結合中考試題舉例分析.一、應用勾股定理建立函數解析式。二、應用比例式建立函數解析式。三、應用求圖形面積的方法建立函數關系式。專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三

3、角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關鍵給以點撥。以動態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點動問題。 （二）線動問題。 （三）面動問題。二、解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:1、特殊探路，一般推證。2、動手實踐，操作確認。3、建立聯(lián)系，計算說明。三、專題二總結，本大類習題的共性：1代數、幾何的高度綜合（數形結合）；著力于數學本質與核心容的考查;四大數學思想：數學結合、分類討論、方程、函數2以形為載體，研究數量關系；通過設、表、列獲得函數關系式；研究特殊情況下的函數值。專題三：雙動點問題點動、線動、形動構成的問題稱之為動態(tài)幾何

4、問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以與分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中 HYPERLINK :/ t _blank 考試題的熱點，現采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動點為載體，探求函數圖象問題。2 以雙動點為載體，探求結論開放性問題。3 以雙動點為載體，探求存在性問題。4 以雙動點為載體，探求函數最值問題。雙動點問題的動態(tài)問題是近幾年來中考數學的熱點題型.這類試題信息量大,對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高;

5、解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系,動中取靜,靜中求動。專題四：函數中因動點產生的相似三角形問題 專題五：以圓為載體的動點問題動點問題是初中數學的一個難點，中考經?？疾?，有一類動點問題，題中未說到圓，卻與圓有關，只要巧妙地構造圓，以圓為載體，利用圓的有關性質，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。三、例題精析例題1如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；動點Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度

6、運動P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為ts（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？（3）當t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？解析：（1）四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ（2）四邊形PQCD為等腰梯形時QC-PD=2CE（3）四邊形PQCD為直角梯形時QC-PD=EC所有的關系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可解答：解：（1）四邊形PQCD平行為四邊形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即當t=6時，四邊形PQCD平行為四邊形（2）過D作DEBC于E則四邊形AB

7、ED為矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四邊形PQCD為等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即當t=7（s）時，四邊形PQCD為等腰梯形（3）由題意知：QC-PD=EC時，四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即當t=6.5（s）時，四邊形PQCD為直角梯形點評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中例題2如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止已知在一

8、樣時間，若BQ=xcm（x0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形；（2）當x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由解析：以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形的必須條件是點P、N重合且點Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即x+3x20cm；或者點Q、M重合且點P、N不重合，此時AP+NDAD即2x+x220c

9、m，BQ+MC=BC即x+3x=20cm所以可以根據這兩種情況來求解x的值以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點Q只能在點M的左側當點P在點N的左側時，AP=MC，BQ=ND；當點P在點N的右側時，AN=MC，BQ=PD所以可以根據這些條件列出方程關系式如果以P，Q，M，N為頂點的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MCBC即x+3x20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x0這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯形解答：解：（1）當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一

10、部分為第三邊可能構成一個三角形當點P與點N重合時，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）因為BQ+CM=x+3x=4（ -1）20，此時點Q與點M不重合所以x= -1符合題意當點Q與點M重合時，由x+3x=20，得x=5此時DN=x2=2520，不符合題意故點Q與點M不能重合所以所求x的值為 -1（2）由（1）知，點Q只能在點M的左側，當點P在點N的左側時，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形當點P在點N的右側時，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4當x=4時

11、四邊形NQMP是平行四邊形所以當x=2或x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形（3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F由于2xx，所以點E一定在點P的左側若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形，則點F一定在點N的右側，且PE=NF，即2x-x=x2-3x解得x1=0（舍去），x2=4由于當x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，所以以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形點評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點例題3如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，動點P從點D出發(fā)，沿射線DA

12、的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，P、Q分別從點D、C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設運動時間為t（s）（1）設BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系；（2）當t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？解析：（1）若過點P作PMBC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PMQB=96-6t；（2）本題應分三種情況進行討論，若PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數據代入，可將時間t求出；若BP=BQ，在RtPMB中，由PB

13、2=BM2+PM2，BP=BQ，將數據代入，可將時間t求出；若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數據代入，可將時間t求出解答：解：（1）過點P作PMBC于M，則四邊形PDCM為矩形PM=DC=12，QB=16-t，s= QBPM= （16-t）12=96-6t（0t ）（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況四、課堂運用基礎1.如圖，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，點E從點D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當B，E，F三點共線

14、時，兩點同時停止運動設點E移動的時間為t（秒）（1）設四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值圍；（2）求當t為何值時，以E，F，C三點為頂點的三角形是等腰三角形；解析（1）ED=t，CF=2t，S=SBCE+ SBCF=84+2tt=16+ t2即S=16+ t2（0 t 4）；（2）若EF=EC時，則點F只能在CD的延長線上，EF2=，EC2=，=t=4或t=0（舍去）；若EC=FC時，EC2=，FC2=4t2，=4t2；若EF=FC時，EF2=，FC2=4t2，=4t2t1=（舍去），t2=當t的值為4，時，以E，F，C三點為頂點的三角形是等腰三角形鞏固2.如圖

15、1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P從A點出發(fā)，沿ABCD路線運動，到D點停止；點Q從D點出發(fā)，沿DCBA運動，到A點停止若點P、點Q同時出發(fā)，點P的速度為每秒1cm，點Q的速度為每秒2cm，a秒時點P、點Q同時改變速度，點P的速度變?yōu)槊棵隻（cm），點Q的速度變?yōu)槊棵隿（cm）如圖2是點P出發(fā)x秒后APD的面積S1（cm2）與x（秒）的函數關系圖象；圖3是點Q出發(fā)x秒后AQD的面積S2（cm2）與x（秒）的函數關系圖象根據圖象：（1）求a、b、c的值；（2）設點P離開點A的路程為y1（cm），點Q到點A還需要走的路程為y2（cm），請分別寫出改變速度后y1、y2與出發(fā)后的

16、運動時間x（秒）的函數關系式，并求出P與Q相遇時x的值答案(1) a=8；b=2；c=1 (2) y1=2x8（x8）;y2=22x（x8）; 出發(fā)10秒時，P與Q相遇解析（1）觀察圖象得，SAPQ=PAAD=（1a）6=24，解得a=8（秒）b=2（厘米/秒）（228）c=（122+6）28解得c=1（厘米/秒）（2）依題意得：y1=18+2（x8），即：y1=2x8（x8），y2=（3028）1（x8）=22x（x8）又據題意，當y1=y2時，P與Q相遇，即2x8=22x，解得x=10（秒）出發(fā)10秒時，P與Q相遇拔高3.如圖1，在矩形ABCD中，點P從B點出發(fā)沿著四邊按BCDA方向運動，

17、開始以每秒m個單位勻速運動，a秒后變?yōu)槊棵?個單位勻速運動，b秒后又恢復為每秒m個單位勻速運動在運動過程中，ABP的面積S與運動時間t的函數關系如圖2所示（1）求矩形ABCD的長和寬；（2）求m、a、b的值答案(1) 長方形的長為8，寬為4 (2) m=1;a=4；b=11解析（1）從圖象可知，當6t8時，ABP面積不變即6t8時，點P從點C運動到點D，且這時速度為每秒2個單位CD=2（86）=4AB=CD=4當t=6時（點P運動到點C），SABP=16ABBC=164BC=16BC=8長方形的長為8，寬為4（2）當t=a時，SABP=8=16即點P此時在BC的中點處PC=BC=8=42（6a

18、）=4a=4BP=PC=4m=BPa=44=1，當t=b時，SABP=ABAP=44AP=4，AP=2b=132=11；課程小結本節(jié)重點講解?？碱}型即一次函數動點類綜合題，著重講解幾何中解決動點問題的思路，講解過程中需讓學生學會如何運用數形結合思想解決問題，學會動中求靜。課后作業(yè)基礎1.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，點M從點A開始，沿邊AD向點D運動，速度為1cm/s；點N從點C開始，沿邊CB向點B運動，速度為2cm/s、點M、N分別從點A、C出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（1）當t為何值時，四邊形MNCD是平行四邊形？（2）當t為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？答案(1) t=5時