八年級三角形四邊形動點問題知識點與題答案

1、. .PAGE8 / NUMPAGES8三角形四邊形動點問題適用學科初中適用年級初二適用區(qū)域人教版課時時長（分鐘）60分鐘知識點幾何綜合動點教學目標1、能掌握幾何動點類問題的思想方法：數(shù)學思想：分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想2、培養(yǎng)學生的幾何動點問題中動中求靜的思考能力教學重點培養(yǎng)學生的分析問題、解決問題的能力，容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力問題.教學難點培養(yǎng)學生主動探究知識，合作交流的意識，體驗數(shù)學中的美，激發(fā)學習興趣，從而培養(yǎng)學生勤于動腦和動手的良好品質(zhì).教學過程復(fù)習預(yù)習復(fù)習所學過的幾何圖形與其性質(zhì)列出所有幾何圖形的面積邊長公式.二、知識講解專題一： 一函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量

2、之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學的重要容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式。二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式。三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式。專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三

3、角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點撥。以動態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點動問題。 （二）線動問題。 （三）面動問題。二、解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:1、特殊探路，一般推證。2、動手實踐，操作確認。3、建立聯(lián)系，計算說明。三、專題二總結(jié)，本大類習題的共性：1代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學本質(zhì)與核心容的考查;四大數(shù)學思想：數(shù)學結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值。專題三：雙動點問題點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何

4、問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以與分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中 HYPERLINK :/ t _blank 考試題的熱點，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動點為載體，探求函數(shù)圖象問題。2 以雙動點為載體，探求結(jié)論開放性問題。3 以雙動點為載體，探求存在性問題。4 以雙動點為載體，探求函數(shù)最值問題。雙動點問題的動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學的熱點題型.這類試題信息量大,對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高;

5、解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動。專題四：函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 專題五：以圓為載體的動點問題動點問題是初中數(shù)學的一個難點，中考經(jīng)?？疾欤幸活悇狱c問題，題中未說到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。三、例題精析例題1如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；動點Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度

6、運動P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？（3）當t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？解析：（1）四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ（2）四邊形PQCD為等腰梯形時QC-PD=2CE（3）四邊形PQCD為直角梯形時QC-PD=EC所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可解答：解：（1）四邊形PQCD平行為四邊形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即當t=6時，四邊形PQCD平行為四邊形（2）過D作DEBC于E則四邊形AB

7、ED為矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四邊形PQCD為等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即當t=7（s）時，四邊形PQCD為等腰梯形（3）由題意知：QC-PD=EC時，四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即當t=6.5（s）時，四邊形PQCD為直角梯形點評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中例題2如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止已知在一

8、樣時間，若BQ=xcm（x0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；（2）當x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由解析：以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形的必須條件是點P、N重合且點Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即x+3x20cm；或者點Q、M重合且點P、N不重合，此時AP+NDAD即2x+x220c

9、m，BQ+MC=BC即x+3x=20cm所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x的值以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點Q只能在點M的左側(cè)當點P在點N的左側(cè)時，AP=MC，BQ=ND；當點P在點N的右側(cè)時，AN=MC，BQ=PD所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式如果以P，Q，M，N為頂點的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MCBC即x+3x20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x0這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯形解答：解：（1）當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一

10、部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形當點P與點N重合時，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）因為BQ+CM=x+3x=4（ -1）20，此時點Q與點M不重合所以x= -1符合題意當點Q與點M重合時，由x+3x=20，得x=5此時DN=x2=2520，不符合題意故點Q與點M不能重合所以所求x的值為 -1（2）由（1）知，點Q只能在點M的左側(cè)，當點P在點N的左側(cè)時，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形當點P在點N的右側(cè)時，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4當x=4時

11、四邊形NQMP是平行四邊形所以當x=2或x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形（3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)由于2xx，所以點E一定在點P的左側(cè)若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形，則點F一定在點N的右側(cè)，且PE=NF，即2x-x=x2-3x解得x1=0（舍去），x2=4由于當x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，所以以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形點評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點例題3如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，動點P從點D出發(fā)，沿射線DA

12、的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，P、Q分別從點D、C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s）（1）設(shè)BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；（2）當t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？解析：（1）若過點P作PMBC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PMQB=96-6t；（2）本題應(yīng)分三種情況進行討論，若PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；若BP=BQ，在RtPMB中，由PB

13、2=BM2+PM2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出解答：解：（1）過點P作PMBC于M，則四邊形PDCM為矩形PM=DC=12，QB=16-t，s= QBPM= （16-t）12=96-6t（0t ）（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況四、課堂運用基礎(chǔ)1.如圖，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，點E從點D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當B，E，F(xiàn)三點共線

14、時，兩點同時停止運動設(shè)點E移動的時間為t（秒）（1）設(shè)四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值圍；（2）求當t為何值時，以E，F(xiàn)，C三點為頂點的三角形是等腰三角形；解析（1）ED=t，CF=2t，S=SBCE+ SBCF=84+2tt=16+ t2即S=16+ t2（0 t 4）；（2）若EF=EC時，則點F只能在CD的延長線上，EF2=，EC2=，=t=4或t=0（舍去）；若EC=FC時，EC2=，F(xiàn)C2=4t2，=4t2；若EF=FC時，EF2=，F(xiàn)C2=4t2，=4t2t1=（舍去），t2=當t的值為4，時，以E，F(xiàn)，C三點為頂點的三角形是等腰三角形鞏固2.如圖

15、1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P從A點出發(fā)，沿ABCD路線運動，到D點停止；點Q從D點出發(fā)，沿DCBA運動，到A點停止若點P、點Q同時出發(fā)，點P的速度為每秒1cm，點Q的速度為每秒2cm，a秒時點P、點Q同時改變速度，點P的速度變?yōu)槊棵隻（cm），點Q的速度變?yōu)槊棵隿（cm）如圖2是點P出發(fā)x秒后APD的面積S1（cm2）與x（秒）的函數(shù)關(guān)系圖象；圖3是點Q出發(fā)x秒后AQD的面積S2（cm2）與x（秒）的函數(shù)關(guān)系圖象根據(jù)圖象：（1）求a、b、c的值；（2）設(shè)點P離開點A的路程為y1（cm），點Q到點A還需要走的路程為y2（cm），請分別寫出改變速度后y1、y2與出發(fā)后的

16、運動時間x（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求出P與Q相遇時x的值答案(1) a=8；b=2；c=1 (2) y1=2x8（x8）;y2=22x（x8）; 出發(fā)10秒時，P與Q相遇解析（1）觀察圖象得，SAPQ=PAAD=（1a）6=24，解得a=8（秒）b=2（厘米/秒）（228）c=（122+6）28解得c=1（厘米/秒）（2）依題意得：y1=18+2（x8），即：y1=2x8（x8），y2=（3028）1（x8）=22x（x8）又據(jù)題意，當y1=y2時，P與Q相遇，即2x8=22x，解得x=10（秒）出發(fā)10秒時，P與Q相遇拔高3.如圖1，在矩形ABCD中，點P從B點出發(fā)沿著四邊按BCDA方向運動，

17、開始以每秒m個單位勻速運動，a秒后變?yōu)槊棵?個單位勻速運動，b秒后又恢復(fù)為每秒m個單位勻速運動在運動過程中，ABP的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系如圖2所示（1）求矩形ABCD的長和寬；（2）求m、a、b的值答案(1) 長方形的長為8，寬為4 (2) m=1;a=4；b=11解析（1）從圖象可知，當6t8時，ABP面積不變即6t8時，點P從點C運動到點D，且這時速度為每秒2個單位CD=2（86）=4AB=CD=4當t=6時（點P運動到點C），SABP=16ABBC=164BC=16BC=8長方形的長為8，寬為4（2）當t=a時，SABP=8=16即點P此時在BC的中點處PC=BC=8=42（6a

18、）=4a=4BP=PC=4m=BPa=44=1，當t=b時，SABP=ABAP=44AP=4，AP=2b=132=11；課程小結(jié)本節(jié)重點講解?？碱}型即一次函數(shù)動點類綜合題，著重講解幾何中解決動點問題的思路，講解過程中需讓學生學會如何運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，學會動中求靜。課后作業(yè)基礎(chǔ)1.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，點M從點A開始，沿邊AD向點D運動，速度為1cm/s；點N從點C開始，沿邊CB向點B運動，速度為2cm/s、點M、N分別從點A、C出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒（1）當t為何值時，四邊形MNCD是平行四邊形？（2）當t為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？答案(1) t=5時