數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)

1、2221.0/( , )( , )( , ):0/( , )( , ):( , ):( , )0/( , )( , )(ttxxttxxtxxua uf x tF x tf x tua uf x tf x tF x tF x tua uf x tf x tcF x如何寫定解問(wèn)題寫泛定方程(1)均勻弦的微小橫振動(dòng)：作用在每單位質(zhì)量弦上的橫向外力均勻桿的縱振動(dòng)：作用在每單位質(zhì)量桿上的縱向外力作用在桿上每單位長(zhǎng)度每單位橫截面積所受的縱向外力(2)細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題：，2, ):0/( , , , ),( , , , )ttuauf x y z tf x y z t 熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間內(nèi)在單位長(zhǎng)度桿中產(chǎn)生的

2、熱量)熱傳導(dǎo)問(wèn)題：按單位熱容量計(jì)算的熱源強(qiáng)度000200000,00110()0()( , , ) /02.( , , , )(, ),( , )0,( ,xxyyxyzxuuuuuuk uF x y zEuu x y z tf xyz tlu x tu x 邊界（3）穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題：或圓形邊界條件矩形邊界條件泊松方程（4）靜電場(chǎng)問(wèn)題：靜電場(chǎng)方程：電勢(shì)滿足的靜電場(chǎng)方程：寫邊界條件：第一類邊界條件：如：長(zhǎng)為 的弦兩端固定：000)0( , )0,( , )( , )( , )0,( , )x lxx lxx ltu x tu x tf x tu x tu x tu或一端固定一端按已知規(guī)律變化：

3、細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題：一端為零度一端處于恒溫環(huán)境中：000000,( , )( ),(, )00,0 xx axyzxx lxx lxxx luux tf tf xyz tnFYSuuqk ukuu 邊界,第二類邊界條件：,如：桿的某一端是自由的，自由即不受力：又如：細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題：若桿的一端是絕熱的，意味著進(jìn)出該端點(diǎn)的熱流強(qiáng)度為零。0000003.( , , , )( , , )( , , , )( , , )( , )0( , )( , )( , )tttttttu x y z tx y zu x y z tx y zu x tu x tvu x tf x t寫初始條件振動(dòng)問(wèn)題：初始位移:初始速度:

4、如：對(duì)上面的小車問(wèn)題：，如：對(duì)細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題，只需初始溫度分布，v0 xl0v長(zhǎng)為l的均勻桿，一端固定在車壁上，另一端自由，車子以速度 行進(jìn)而突然停止。則邊界條件：000 xxx luu，00P0lxxlTxhF1611：長(zhǎng)為 的均勻弦，兩端和固定，弦中張力為 ，在點(diǎn)，以橫向力拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其自由振動(dòng)，寫出初始條件。習(xí)題TTF0l0hux1211220102000000000000sintan;sintansinsin()(),0, ( , )( )(), , ( , )0tttyyhlhyyTTFTTFhlhF h lhyTlFlhx xhTlu x txF hlx xh lT lu

5、x t初始位移初始速度0PlF1612:長(zhǎng)為 的均勻桿兩端受拉力作用而縱振動(dòng)，寫出邊界條件。習(xí)題/nF SuYFYSYSuunn由胡克定律： =00000000,nxxxxxnxx lx lFFFuuuYSYSYSFFuuYSYS F0 xlF000Plq1613.長(zhǎng)為 的均勻桿，兩端有恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為 ，寫出這個(gè)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的邊界條件。習(xí)題q0 xlq00000000000nx anxx lx lxxx= aqkuqx= aqkuqkuqx=qkuq 若桿的某端點(diǎn)有熱流 沿該端點(diǎn)外法線方向流出：若桿的端點(diǎn)有熱流 沿該端點(diǎn)外法線方向流入：若桿的端點(diǎn)有熱流 沿該端點(diǎn)外法線方向流入：00PlT

6、xF2011：長(zhǎng)為 的弦，兩端固定，弦中張力為 ，在距一端為 的一點(diǎn)以力把弦拉開(kāi)，然后突然撤除這力，求解弦的振動(dòng)。習(xí)題TTF0l0 x0ux1211220012000000000000000sintan;sintansinsin()(),0,( , )( )(), ( , )0tttyyxlxyyTTFTTFxlxF x lxyTlFlxx xxTlu x txF xlx xx lTlu x t初始位移初始速度200000000000,0(),0,(), 0ttxxxx ltttua uuuFlxx xxTluF xlx xx lTlu定解問(wèn)題為：1222212222( , )( )sin(

7、)( )sin0( )( )0( )cossinnnnnnnnnnnn xu x tT tlnan xTtT tllnaTtT tln atn atT tABll解：根據(jù)邊界條件可設(shè)：，代入(1)式得000100100000020002( , )0sin002( , )( ),sin( )( )sin()222sin()sinsin()2( , )sin()tnntnlnntnxlxn an xu x tBBlln xn xu x txAxAxdxlllFlxF xF ln xn xn xxdxlxdxlTlllTllT nlF ln xu x tT n 代入初始條件：又1sincosnn x

8、n atlll000uuq2.研究細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題，桿的初始溫度是均勻的,保持桿的一端溫度為不變的 ，至于另一端則有強(qiáng)度為恒定的 熱流流入。習(xí)題q0 xl0000nxx lx lx= aqkuqkuq 解：若桿的端點(diǎn)有熱流 流入：uunx2000000,txxxxx ltua uquuukuu定解問(wèn)題為：(1 2 )ll3.長(zhǎng)為的均勻桿，兩端受壓從而長(zhǎng)度縮為，放手后自由振動(dòng)，求解桿的這一振動(dòng)。習(xí)題F0 xl0uunx00020000(1 2 )2,0,2220,( , )(2 )20,0( , )(2 ),( , )0 xtttxxxxxx ltttullFYSYSFYSxltuudxCxClxu

9、Clu x tlxua uuuuu x tlx u x t 又處，定解問(wèn)題為：F0/nF SuYFYSYSuunn解：首先應(yīng)正確理解物理量u:表示桿上各點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的縱向位移由胡克定律： =lF04.長(zhǎng)為 的均勻桿，一端固定，另一端受力后而伸長(zhǎng)，求解桿在放手后的振動(dòng)。習(xí)題F0 xl0uunx200000( , )0,( , )0( , ),( , )0ttxxxxx ltttua uu x tux tFu x tx u x tYS定解問(wèn)題為：00000/0,( , )0,00( , )ttF SuYFYSuxxFFtdudxu x txCYSYSFxuCu x txYS 解：桿因受力而伸長(zhǎng)

10、，顯然桿上各點(diǎn)有初始位移。由胡克定律： =時(shí)刻，積分得：20102000204.0( , )0, ( , )0( , )( )sin( , )( )0( , )0,( , )0( , )( )cos( , )( )0( , )0,( , )txxnxx lnttxxxxnxx lnttxxxxx lua un xu x tu x tu x tT tlu x txua un xux tux tu x tT tlu x txua uu x tux t定解問(wèn)題和試探解設(shè)：設(shè)：000001()20( , )( )sin( , )( )0( , ), ( , )( , )( )cos( , )0,( ,

11、 )0nntxxyyxx anyyyy bnxu x tT tlu x txuun yu x yA u x yAyu x yX xbux yux y設(shè)：設(shè)：010210004.0( , )0, ( , )0( , )( )sin( , )( ), ( , )0110,0( , )(cossin)( , )0ln( , )cosxxyyxx lnyymmmmauun xu x yu x yu x yY ylu x yx u x yuuuuuAmBmuCDuE 定解問(wèn)題和試探解設(shè)：或1(cossin)mmmmCmDm0100001( , )( ) ( )() (cos )( )lllllllr r

12、ruu rR r=ArBPufur ，有限值0001000( , , )(cossin)(cos )( , )1cossin(cos )lmmmlllml mr rmmmllllrml murru rrAmBmPufCmDmPur （）有限5.非齊次泛定方程處理200020( )00( , )0,00,000,00,( , )( , ; )( , )( , )( , ; )ttxxxx ltttttxxxx lttttttua uf x tuuuuva vvvvvf xv x tu x tux tv x td解出后6.非齊次邊界條件的處理20000(1)( ),( ) (2)( ),( ) (

13、3)ttxxxx ltttua uututux ux(一)一般處理方法例：自由振動(dòng)問(wèn)題0( , )( )( )( )( )( )( ) 0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( , )( ) ( )( )(4)xx lv x tA t xB tB ttvtA tB ttttvtA tlB ttA tlxv x ttttl 可選取一個(gè)函數(shù)使之滿足邊界條件(2)20000(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uututux ux22000000( , )( , )( , ) (5)0( ),( )( ),( )ttxxttxxxxx lx

14、lttttttu x tv x tw x twa wva vvwtvwtvwx vwx利用疊加原理，令將(4)(5)代入(1)(2)(3)中( , )( ) ( )( )(4)xv x ttttl2000( ) ( )( )0,0( )(0) (0)(0)( )(0) (0)(0)ttxxxx ltttxwa wtttlwwxwxlxwxl 這樣邊界條件化為齊次的了，但是泛定方程卻變?yōu)榉驱R次的，接著可參照非齊次方程的求解過(guò)程進(jìn)行。02( ),( )( , )( )( )xxxx lututv x tA t xB t x若為第二類非齊次邊界條件：可設(shè)這樣無(wú)論弦振動(dòng)方程是否齊次，邊界條件是否齊次，

15、最終可用分離變量法求解。（二）特殊處理方法特解法( , )( )sin,v x tX xt設(shè)代入(1)(2)20000(1)0,(2)0,0(3)ttxxxx ltttua uuuAsin tuu22000,xx lXXaXXA( )cos()sin()(0)0,( )sin()/sinX xCxDxaaXCllX lDADAaa( , )sinsinsinAxv x ttlaa( , )( , )( , )sinsin( , ),sinAxu x tv x tw x ttw x tlaa令代入(1)(2)(3)得：200000,0sin(/ )0,sin(/ )ttxxxx ltttwa w

16、wwAx awwl a 2000( , )(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uf x tututux ux(一)一般的有界波動(dòng)和輸運(yùn)問(wèn)題以有界弦的一般振動(dòng)問(wèn)題為例：0( , )( )( )( )( )( )( ) 0( )( )( )( )( )( )( )( )( )( , )( ) ( )( )(4)xx lv x tA t xB tB ttvtA tB ttttvtA tlB ttA tlxv x ttttl 采取以下求解步驟：（1）化邊界條件為齊次取使之滿足邊界條件(2)非齊次泛定方程非齊次邊界條件非零值初始條件弦受外力作用，有初始位移、初始

17、速度兩個(gè)端點(diǎn)按已知規(guī)律隨時(shí)間變化2000( , )(1)( ),( ) (2)( ),( ) (3)ttxxxx ltttua uf x tututux ux200000( , )( , )( , ) (5)( , )( , )0,0( )( ),( )( )ttxxttxx lttttttu x tv x tw x twwa wf x tvg x twwwxvx wxvx 利用疊加原理，令將(4)(5)代入(1)(2)(3)中得 的定解問(wèn)題( , )( ) ( )( )(4)xv x ttttl然后用傅立葉級(jí)數(shù)法求解，如$8.2例1,P204法二：采用疊加原理利用疊加原理化成兩個(gè)簡(jiǎn)單的定解問(wèn)

18、題。(2)(1)2(1)(2)2(2)(1)(1)(2)(2)00(1)(1)(2)(2)0000( , )( , )( , )0( , )0,00,0( ),( )0,0ttxxttxxxx lxx lttttttw x twx twx twa wwa wg x twwwwwx wxww 令齊次方程，非零值初始條件非齊次方程，零值初始條件分離變數(shù)法，傅立葉級(jí)數(shù)(1)法求解沖量定理法求解200( , )( ),( )( )txxxx ltua uf x tututux對(duì)于一般的有界輸運(yùn)問(wèn)題，如求解步驟與上述振動(dòng)問(wèn)題完全相同。（二）一般的有界穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題以二維矩形域穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題為例，其定解問(wèn)題是：00( , )( , )( , )( , )( , )( , )0( )(0, ),( )