2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊人教A版：第三章 3-2-1 第2課時

1、第2課時函數(shù)的最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法知識點一函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義最值條件幾何意義最大值對于xI，都有f(x)M，x0I，使得f(x0)M函數(shù)yf(x)圖象上最高點的縱坐標(biāo)最小值對于xI，都有f(x)M，x0I，使得f(x0)M函數(shù)yf(x)圖象上最低點的縱坐標(biāo)思考函數(shù)f(x)x211總成立，f(x)的最小值是1嗎？答案f(x)的最小值不是1，因為f(x)取不到1.知識點二求函數(shù)最值的常用方法1圖象法：作出yf(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(

2、小)值2運用已學(xué)函數(shù)的值域3運用函數(shù)的單調(diào)性：(1)若yf(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則ymaxf(b)，yminf(a)(2)若yf(x)在區(qū)間a，b上是減函數(shù)，則ymaxf(a)，yminf(b)4分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個預(yù)習(xí)小測自我檢驗1.函數(shù)f(x)在2,2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值為_，最大值為_答案122函數(shù)yx1在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)上的最大值為_答案eq f(1,2)3函數(shù)y2x22，xR的最小值是_答案24函數(shù)yeq f(2,x)在2,4上的最大值與最小值之和等于_答案eq f(3,2)

3、一、圖象法求函數(shù)的最值例1已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，1x1，,f(1,x)，x1.)求f(x)的最大值、最小值解作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)由圖象可知，當(dāng)x1時，f(x)取最大值為f(1)f(1)1.當(dāng)x0時，f(x)取最小值為f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.反思感悟圖象法求函數(shù)最值的一般步驟跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)y|x1|2，畫出函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的最值情況，并寫出值域解y|x1|2eq blcrc (avs4alco1(3x，x1，,x1，x1，)圖象如圖所示，由圖象知，函數(shù)y|x1|2的最大值為2，沒有最小值，所以其值域為(，2二、利用

4、函數(shù)的單調(diào)性求最值例2已知函數(shù)f(x)eq f(x1,x2)，x3,5(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明；(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解(1)f(x)是增函數(shù)，證明如下：任取x1，x23,5且x1x2，f(x1)f(x2)eq f(x11,x12)eq f(x21,x22)eq f(3x1x2,x12x22)，因為3x1x25，所以x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在3,5上為增函數(shù)(2)由(1)知，f(x)在3,5上為增函數(shù)，則f(x)maxf(5)eq f(4,7)，f(x)minf(3)eq f(2,5).反思感悟(1)若函數(shù)yf(x)在

5、區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)(3)若函數(shù)yf(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)的最大(小)值(4)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)eq f(6,1x)3(x2,4)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解設(shè)x1，x2是2,4上任意兩個實數(shù)，且x1x2，所以f(x1)f(x2)eq f(6,1x1)3e

6、q blc(rc)(avs4alco1(f(6,1x2)3)eq f(6,1x1)eq f(6,1x2)eq f(61x261x1,1x11x2)eq f(6x1x2,1x11x2)，因為2x1x24，所以x1x20,1x10,1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)5，)假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉)，根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：(1)寫出利潤函數(shù)yf(x)的解析式(利潤銷售收入總成本)；(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？解(1)由題意得G(x)2.8x，所以f(x)R(x)G(x)eq blcrc (avs4alco1(0.4x23.2x2.8，xN，0

7、 x5，,8.2x，xN，x5.)(2)當(dāng)x5時，因為函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)f(5)3.2(萬元)，當(dāng)0 x5時，函數(shù)f(x)0.4(x4)23.6，當(dāng)x4時，f(x)有最大值為3.6(萬元)，所以當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺產(chǎn)品時，可使盈利最大為3.6萬元反思感悟(1)解實際應(yīng)用題時要弄清題意，從實際出發(fā)，引入數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題，要注意自變量的取值范圍(2)實際應(yīng)用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決，本題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，利用配方法和分類討論思想使問題得到解決跟蹤訓(xùn)練3將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣

8、出500個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應(yīng)為多少元？最大利潤為多少？解設(shè)售價為x元，利潤為y元，單個漲價(x50)元，銷量減少10(x50)個，銷量為50010(x50)(1 00010 x)個，則y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 0009 000.故當(dāng)x70時，ymax9 000.即售價為70元時，利潤最大值為9 000元二次函數(shù)最值分類討論問題典例已知函數(shù)f(x)x22x3，若xt，t2，求函數(shù)f(x)的最小值解對稱軸x1，(1)當(dāng)1t2即t1時，f(x)在t，t2上為減函數(shù)，f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3

9、.(2)當(dāng)t1t2，即1t1時，f(x)minf(1)4.(3)當(dāng)11時，f(x)在t，t2上為增函數(shù)，f(x)minf(t)t22t3.設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(t)，則有g(shù)(t)eq blcrc (avs4alco1(t22t3，t1，,4，11.)素養(yǎng)提升二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關(guān)，求解時要注意這兩個因素利用二次函數(shù)圖象，通過直觀想象，進行分類討論1函數(shù)f(x)eq f(1,x)在1，)上()A有最大值無最小值B有最小值無最大值C有最大值也有最小值D無最大值也無最小值考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點利用一次函數(shù)、分式函數(shù)單調(diào)性求最值答案A2函數(shù)yx22x2在區(qū)

10、間2,3上的最大值、最小值分別是()A10,5 B10,1C5,1 D以上都不對答案B解析因為yx22x2(x1)21，且x2,3，所以當(dāng)x1時，ymin1，當(dāng)x2時，ymax(21)2110.故選B.3已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x7，1x1，,2x6，1x2，)則f(x)的最大值、最小值分別為()A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不對考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點分段函數(shù)最值答案A4已知函數(shù)f(x)2x3，當(dāng)x1時，恒有f(x)m成立，則實數(shù)m的取值范圍是()AR B(，1C1，) D答案B解析因為f(x)2x3在x1，)上為增函數(shù)，所以f(x)min1

11、，故滿足f(x)1.又因為在x1時，f(x)m恒成立，所以m1，故m(，15已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x，1x0，,x2，0 x1，,x，10時，由題意得2a1(a1)2，即a2；當(dāng)a0時，a1(2a1)2，所以a2.綜上a2.4某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(單位：萬元)分別為L1x221x和L22x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A90萬元 B60萬元C120萬元 D120.25萬元答案C解析設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15x)輛，xN，公司獲利為Lx221x2(15x)x219x30eq blc(r

12、c)(avs4alco1(xf(19,2)230eq f(192,4)，當(dāng)x9或10時，L最大為120萬元5已知函數(shù)f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，則f(x)的最大值為()A1 B0 C1 D2答案C解析因為f(x)(x24x4)a4(x2)24a，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x2.所以f(x)在0,1上單調(diào)遞增又因為f(x)min2，所以f(0)2，即a2.所以f(x)maxf(1)1421.6函數(shù)yf(x)的定義域為4,6，若函數(shù)f(x)在區(qū)間4，2上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,6上單調(diào)遞增，且f(4)f(6)，則函數(shù)f(x)的最小值是_，最大值是_答案f(2)f(6)解析

13、作出符合條件的函數(shù)的簡圖(圖略)，可知f(x)minf(2)，f(x)maxf(6)7函數(shù)yeq f(3,x2)(x2)在區(qū)間0,5上的最大值與最小值的和為_答案eq f(27,14)解析因為函數(shù)yeq f(3,x2)在區(qū)間0,5上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0時，ymaxeq f(3,2)，當(dāng)x5時，ymineq f(3,7).所以ymaxymineq f(3,2)eq f(3,7)eq f(27,14).8當(dāng)0 x2時，ax22x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，0)解析令f(x)x22x，則f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a0)的圖象如圖所示(1)f

14、(x)在eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)和(0，)上是增函數(shù)，在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，0)上是減函數(shù)，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)，(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，0).(2)因為f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,4)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(3,4)，所以f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(1，f(1,2)上的最大值為eq f(3,4).10某商場

15、經(jīng)營一批進價是每件30元的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，該商品銷售單價x(不低于進價，單位：元)與日銷售量y(單位：件)之間有如下關(guān)系：x4550y2712(1)確定x與y的一個一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(注明函數(shù)定義域)；(2)若日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)中的關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出當(dāng)銷售單價為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？解(1)因為f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)axb(a0)，由表格得方程組eq blcrc (avs4alco1(45ab27，,50ab12，)解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b162，)所以yf(x)3x162.又y0，所以30 x54

16、，故所求函數(shù)關(guān)系式為y3x162，x30,54(2)由題意得，P(x30)y(x30)(1623x)3x2252x4 8603(x42)2432，x30,54當(dāng)x42時，最大的日銷售利潤P432，即當(dāng)銷售單價為42元時，獲得最大的日銷售利潤11若函數(shù)f(x)eq f(k,x)在區(qū)間2,4上的最小值為5，則k的值為()A10 B10或20C20 D無法確定答案C解析當(dāng)k0時，不滿足當(dāng)k0時，yf(x)eq f(k,x)在2,4上是減函數(shù)，f(x)minf(4)eq f(k,4)5，k20滿足條件，k0時，yf(x)eq f(k,x)在2,4上是增函數(shù)，f(x)minf(2)eq f(k,2)5，

17、k10，又k0，k10舍去，綜上有k20.12已知函數(shù)f(x)4x2kx8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值，則實數(shù)k的取值范圍是()A160，)B(，40C(，40160，)D(，2080，)考點函數(shù)的最值及其幾何意義題點含參二次函數(shù)最值答案C解析由于二次函數(shù)f(x)4x2kx8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值，因此函數(shù)f(x)4x2kx8在區(qū)間(5,20)上是單調(diào)函數(shù)二次函數(shù)f(x)4x2kx8圖象的對稱軸方程為xeq f(k,8)，因此eq f(k,8)5或eq f(k,8)20，所以k40或k160.13已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則

18、m的取值范圍是_答案m|1m2解析yf(x)(x1)22，f(x)min2，f(x)max3，且f(1)2，f(0)f(2)3，利用圖象(圖略)得1m2.14函數(shù)yxeq r(2x1)的最小值為_答案eq f(1,2)解析令teq r(2x1)，t0，xeq f(t21,2)，yeq f(t21,2)teq f(1,2)(t22t1)eq f(1,2)(t1)2，t0，當(dāng)t0時，ymineq f(1,2).15已知f(x)x，g(x)x22x，F(xiàn)(x)eq blcrc (avs4alco1(gx，fxgx，,fx，fxgx，)則F(x)的最值情況是()A最大值為3，最小值為1B最小值為1，無最大值C最大值為3，無最小值D既無最大值，又無最小值答案D解析由f(x)g(x)得0 x3；由f(x)g(x)，得x3，所以F(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，0 x3，,x，x3.)作出函數(shù)F(x)的圖象(圖略)，可得F(x)無最大值，無最小值16已知函數(shù)f(x)對任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x0時，f(x)0，f(1)eq f(2,3).(1)求證：f(x