241線性回歸方程（1）

1、必修三 第2章 統(tǒng)計(jì)第8課時(shí)：線性回歸方程普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修三蘇教版2.4 第8課時(shí) 線性回歸方程(1)教學(xué)目標(biāo)（1）通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；（2）在兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，會(huì)在散點(diǎn)較長中作出線性直線，會(huì)用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；（3）知道最小二乘法的含義，知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，了解（線性）相關(guān)系數(shù)的定義教學(xué)重點(diǎn)散點(diǎn)圖的畫法，回歸直線方程的求解方法教學(xué)難點(diǎn)回歸直線方程的求解方法教學(xué)過程一、問題情境1情境： 客觀事物是相互聯(lián)系的 過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系，但實(shí)際上

2、更多存在的是一種非因果關(guān)系 比如說：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與物理成績，彼此是互相聯(lián)系的，但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因”，物理是“果”，或者反過來說 事實(shí)上數(shù)學(xué)和物理成績都是“果”，而真正的“因”是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度 所以說，函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系 但還存在著另一種非確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系2問題：某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：氣溫/C261813104杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是，你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？二、學(xué)生活動(dòng)為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關(guān)系，我們以橫坐標(biāo)表示氣溫，縱坐標(biāo)表示熱茶銷

3、量，建立直角坐標(biāo)系，將表中數(shù)據(jù)構(gòu)成的個(gè)數(shù)對(duì)所表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出，得到下圖，今后我們稱這樣的圖為散點(diǎn)圖(scatterplot). 從右圖可以看出.這些點(diǎn)散布在一條直線的附近,故可用一個(gè)線性函數(shù)近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系. 選擇怎樣的直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系? 我們有多種思考方案:(1)選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn),例如取這兩點(diǎn)的直線；（2）取一條直線,使得位于該直線一側(cè)和另一側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同；（3）多取幾組點(diǎn),確定幾條直線方程,再分別算出各條直線斜率、截距的平均值,作為所求直線的斜率、截距； 怎樣的直線最好呢?三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1最小平方法： 用方程為的直線擬合散點(diǎn)圖中的

4、點(diǎn)，應(yīng)使得該直線與散點(diǎn)圖中的點(diǎn)最接近。那么，怎樣衡量直線與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度呢？我們將表中給出的自變量的六個(gè)值帶入直線方程,得到相應(yīng)的六個(gè)的值: .這六個(gè)值與表中相應(yīng)的實(shí)際值應(yīng)該越接近越好.所以,我們用類似于估計(jì)平均數(shù)時(shí)的思想,考慮離差的平方和 是直線與各散點(diǎn)在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和,可以用來衡量直線與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度,所以,設(shè)法取的值,使達(dá)到最小值.這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法) . 先把看作常數(shù),那么是關(guān)于的二次函數(shù).易知,當(dāng)時(shí), 取得最小值.同理, 把看作常數(shù),那么是關(guān)于的二次函數(shù).當(dāng)時(shí), 取得最小值.因此,當(dāng)時(shí)，取的最小值，由此解得.所求直線方程為.當(dāng)時(shí),

5、故當(dāng)氣溫為時(shí),熱茶銷量約為杯.2線性相關(guān)關(guān)系： 像能用直線方程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系.3線性回歸方程：一般地,設(shè)有個(gè)觀察數(shù)據(jù)如下：當(dāng)使取得最小值時(shí),就稱為擬合這對(duì)數(shù)據(jù)的線性回歸方程,該方程所表示的直線稱為回歸直線.上述式子展開后，是一個(gè)關(guān)于的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配方法，可求出使為最小值時(shí)的的值即,（*） , 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：例1 下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料，請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程；如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由機(jī)動(dòng)車輛數(shù)千臺(tái)95110112120129135150180交通事故數(shù)千件6.27

6、.57.78.58.79.810.213解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：，將它們代入（）式計(jì)算得，所以，所求線性回歸方程為2練習(xí)：（1）第75頁練習(xí)1、2（2）下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（D）A角度和它的余弦值B.正方形邊長和面積C正邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高（3）給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形 解：(1)散點(diǎn)圖（略）(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475,故可得到 從而得回歸直線方程是(圖形略)五、回顧小結(jié)：1對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)的計(jì)算公式，算出由于計(jì)算量