314三角函數(shù)的性質(zhì)

1、內(nèi)部資料，不得翻印！高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)講稿第 PAGE 6 頁(yè) 共 NUMPAGES 7 頁(yè)第 PAGE 7 頁(yè) 共 NUMPAGES 7 頁(yè)高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)本資源由專人彭劍平整理，未經(jīng)允許不得復(fù)制影印，資源僅供教師研習(xí)，歡迎批評(píng)指正說(shuō)明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（?？家?guī)律總結(jié)），Level C為競(jìng)賽（拓展的課外知識(shí)）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題： 三角函數(shù)的性質(zhì) 基本知識(shí)點(diǎn)（Level A）【1】正弦函數(shù)

2、、余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為、的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象【2】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減在上是單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸無(wú) 思考：在解含有正余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？ 經(jīng)典案例 有疑問(wèn)隨時(shí)mail例：（1）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則 ， 答案：或（2）函數(shù)（）的值域是 答案：（3）若，則

3、的最大值和最小值分別是 、 答案：，（4）函數(shù)的最小值是 ，此時(shí) 答案：，（5）己知，求的變化范圍答案：（6）若，求的最大、最小值答案：，【3】三角函數(shù)變換的通性通法（1）相位變換:的圖象的圖象；（2）周期變換:的圖象的圖象；（3）振幅變換:的圖象的圖象正弦型函數(shù)的圖象變換切記： 注意圖象變換有時(shí)用向量表達(dá)，注意兩者之間的轉(zhuǎn)譯 拓展知識(shí)點(diǎn)（Level B）【1】函數(shù)的圖象與性質(zhì)（整體思想的集中體現(xiàn)）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意和的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將化正1函數(shù)的簡(jiǎn)圖的作法了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫(huà)法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦、余

4、弦函數(shù)和函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并能由圖象寫(xiě)出解析式法一：“五點(diǎn)法”設(shè)，令、求出相應(yīng)的值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象法二：圖象變換法，這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法2函數(shù)的基本性質(zhì) = 1 * GB3 振幅：； = 2 * GB3 周期：； = 3 * GB3 頻率：； = 4 * GB3 相位：； = 5 * GB3 初相： 最值：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，3函數(shù)解析式的確定 = 1 * GB3 由最值確定； = 2 * GB3 由周期確定； = 3 * GB3 初相由圖象上的特殊點(diǎn)確定，代（最高、低）點(diǎn)法，公式4函數(shù)對(duì)稱軸、對(duì)稱中心 對(duì)稱軸：令，得；對(duì)稱中心：； 對(duì)稱軸：令，

5、得；對(duì)稱中心：； 5函數(shù)的周期公式函數(shù)及的周期 (、為常數(shù)，且)；6函數(shù)的奇偶性函數(shù)為奇函數(shù)且 為偶函數(shù)特別提醒，別忘了！ 經(jīng)典案例 有疑問(wèn)隨時(shí)mail例：（1）（周期性）若，則 答案：（2）（周期性）函數(shù)的最小正周期為 答案：（3）（周期性）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意都有成立，則的最小值為 答案：（4）（奇偶對(duì)稱）函數(shù)的奇偶性是 答案：偶函數(shù)（5）（奇偶對(duì)稱）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則 答案：（6）（奇偶對(duì)稱）函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是 、 答案：、（7）（奇偶對(duì)稱）已知為偶函數(shù)，求的值答案：（8）（單調(diào)性）函數(shù)的遞減區(qū)間是 答案：（9）（單調(diào)性）的遞減區(qū)間是 答案：（10）（綜合）設(shè)函數(shù)的圖象

6、關(guān)于直線對(duì)稱，它的周期是，則 的圖像過(guò)； 在區(qū)間上是減函數(shù)； 圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是； 的最大值是答案：（11）（綜合）對(duì)于函數(shù)給出下列結(jié)論： 圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱； 圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱； 圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到； 圖像向左平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖像其中正確結(jié)論是 答案：（12）（周期性）已知函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間的距離為，那么此函數(shù)的周期是 答案：【2】函數(shù)的圖象與圖象間的兩種變換形式法一： 函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（）或向右（）平移個(gè)單位得的圖象； 再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象； 再將函數(shù)的圖象

7、上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象； 最后將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（）或向下（），得到的圖象法二： 函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象； 再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象； 再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象； 最后將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（）或向下（），得到的圖象 注意：若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個(gè)單位 經(jīng)典案例 有疑問(wèn)隨時(shí)mail例：（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到的圖象？答案：向上平移個(gè)單位得的圖

8、象，再向左平移個(gè)單位得的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得的圖象，最后將縱坐標(biāo)縮小到原來(lái)的即得的圖象（2）要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向 平移 個(gè)單位答案：左；（3）將函數(shù)圖像，按向量平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量 答案：存在但不唯一，模最小的向量（4）若函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是答案：【3】三角函數(shù)最值題型及解題捷徑（1）（或)型：用（或）求解但要注意的正負(fù)（事實(shí)上是劃歸到一次函數(shù)求值域問(wèn)題）（2），運(yùn)用重要等式求解（3）（或）型：設(shè)（或），則，化為二次函數(shù)的最問(wèn)題（4），化歸到同一個(gè)角的同一個(gè)三角函數(shù)（5）（或）型：解出（或），用（或）求解或用分離常數(shù)法（6）：用均值不等式（7）（或）型：整理后運(yùn)用重要等式求解（8）含有或，考慮用換元法，設(shè)，則，化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題理由： 深化知識(shí)點(diǎn)（Level C）【1】絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定如：，的周期都是，但的周期為，而，