第24講分離變量法

1、第24講 分離變量法第4章 介質(zhì)中的電動(dòng)力學(xué)（4）4.4 拉普拉斯方程 分離變量法以上兩節(jié)給出靜電問(wèn)題的一般公式，并說(shuō)明靜電學(xué)的基本問(wèn)題式求解滿足給定邊界條件的泊松方程的解。只有在界面形狀是比較簡(jiǎn)單的幾何曲面時(shí)，這類問(wèn)題的解才能以解析形式給出，而且視具體情況不同而有不同的解法。在許多實(shí)際問(wèn)題中，靜電場(chǎng)是由帶電導(dǎo)體決定的。例如電容器內(nèi)部的電場(chǎng)是由作為電極的兩個(gè)導(dǎo)體板上所帶電荷決定的；又如電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場(chǎng)是由于分布于電極上的自由電荷決定的。這些問(wèn)題的特點(diǎn)是自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒(méi)有其它自由電荷分布。因此，如果我們選擇這些導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊界，則在V內(nèi)部自由電

2、荷密度 = 0 ，因而泊松方程化為比較簡(jiǎn)單的拉普拉斯（Laplace）方程 （4.4-1）產(chǎn)生這電場(chǎng)的電荷都分布于區(qū)域V的邊界上，它們的作用通過(guò)邊界條件反映出來(lái)。因此，這類問(wèn)題的解法是求拉普拉斯方程的滿足邊界條件的解。（4.4-1）式的通解可以用分離變量法求出。先根據(jù)界面形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后在該坐標(biāo)系中由分離變量法解拉普拉斯方程。最常用的坐標(biāo)系有球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系。這里我們寫出用球坐標(biāo)系得出的通解形式（見(jiàn)附錄）。球坐標(biāo)用（R，）表示，R為半徑，為極角，為方位角。拉氏方程在球坐標(biāo)系中的通解為 （4.4-2）式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 為任意常數(shù)，在具體問(wèn)題

3、中有邊界條件定出。Peq o(sup 5(m),sdo 1(n)（cos） 為締和勒讓德（Legendre）函數(shù)。若該問(wèn)題中具有對(duì)稱軸，取此軸為極軸，則電勢(shì)不依賴于方位角，這情形下通解為 （4.4-3）Pn（cos）為勒讓德函數(shù)，an和bn由邊界條件確定。在每一個(gè)沒(méi)有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，滿足拉普拉斯方程，其通解已由（4.4-2）或（4.4-3）式給出，剩下的問(wèn)題就是由邊界條件確定這些通解中所含的任意常數(shù)，得到滿足邊界條件的特解。下面舉一些具體例子說(shuō)明定特解的辦法。例1 一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為 R2 和 R3 的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q ，同心地包圍著一個(gè)半徑為 R1 的導(dǎo)體球（R1 R2）。使這個(gè)導(dǎo)體球

4、接地，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。解 這問(wèn)題有球?qū)ΨQ性，電勢(shì)不依賴于角度和 ，因此可以只取（4.4-3）式的n = 0項(xiàng)。設(shè)導(dǎo)體殼外和殼內(nèi)的電勢(shì)為 () （） （4.4-4）邊界條件為：（1）因內(nèi)導(dǎo)體球接地，故有 （4.4-5）（2）因整個(gè)導(dǎo)體球殼為等勢(shì)體，故有 （4.4-6）（3）球殼帶總電荷Q，因而 （4.4-7）把（4.4-4）式代入這些邊界條件中，得 由此解出 （4.4-8）其中 把（4.4-4）式代入這些邊界條件中，得電勢(shì)的解 （4.4-9）導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為 （4.4-10）例2 電容率為 的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng) E0中，求電勢(shì)。解 介質(zhì)球在外電場(chǎng)中極化，在它表面上產(chǎn)

5、生束縛電荷。這些束縛電荷激發(fā)的電場(chǎng)疊加在原外電場(chǎng) E0上，得總電場(chǎng)E 。束縛電荷分布和總電場(chǎng)E互相制約，邊界條件正確地反映這種制約關(guān)系。設(shè)球半徑為R0，球外為真空（圖2-5）。這問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸為通過(guò)球心沿外電場(chǎng)E0 方向的軸線，取此軸線為極軸。介質(zhì)球的存在使空間分為兩均勻區(qū)域球外區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域。兩區(qū)域內(nèi)部都沒(méi)有自由電荷，因此電勢(shì)都滿足拉普拉斯方程。以1代表球外區(qū)域的電勢(shì)，2代表球內(nèi)的電勢(shì)，由（4.4-3）式,兩區(qū)域的通解為 （4.4-11） （4.4-12）an ,bn ,cn ,和 dn 是待定常數(shù)。邊界條件包括：（1）無(wú)窮遠(yuǎn)處， E E0 ,由第一節(jié)例1得 （4.4-13）因而

6、， （） （4.4-14）（2）R = 0處，2 應(yīng)為有限值，因此 （4.4-15）（3）在介質(zhì)球面上（R = R0）, ， （4.4-16）把（4.4-11）和（4.4-12）式代入得 （4.4-17） 比較P1的系數(shù)得 （4.4-18）由（4.4-18）式解出 （4.4-19）比較（4.4-17）式其他 Pn 項(xiàng)的系數(shù)可解出 （4.4-20）所有系數(shù)已經(jīng)定出，因此本問(wèn)題的解為 （4.4-21）現(xiàn)在討論此解的物理意義。由（4.4-21）式，球內(nèi)的電場(chǎng)為 30E0 / （ + 20），因?yàn)?0 / （ + 20） 總小于1，所以球內(nèi)的電場(chǎng)比原外場(chǎng) E0 為弱，這是由于介質(zhì)球極化后在右半球面上產(chǎn)

7、生正束縛電荷，在左半球面上產(chǎn)生負(fù)束縛電荷，因而在球內(nèi)束縛電荷激發(fā)的場(chǎng)與原外場(chǎng)反向，使總電場(chǎng)減弱。在球內(nèi)總電場(chǎng)作用下，介質(zhì)的極化強(qiáng)度為 （4.4-22）介質(zhì)球的總電偶極矩為 （4.4-23）（4.4-21）式 1中的第二項(xiàng)是這個(gè)電偶極矩所產(chǎn)生的電勢(shì) （4.4-24）例3 半徑為R 0的導(dǎo)體置于均勻外電場(chǎng) E 0 中，求電勢(shì)和導(dǎo)體上的電荷面密度。解 用導(dǎo)體表面邊界條件（1.11a）和（1.12a），找上例方法可解出導(dǎo)體球外電勢(shì) （4.4-25）導(dǎo)體面上電荷面密度為 （4.4-26）讀者可自行推導(dǎo)并討論所得結(jié)果。靜電學(xué)某些應(yīng)用和以上兩例有關(guān)。例如靜電選礦就是利用非均勻電場(chǎng)對(duì)介質(zhì)顆粒的吸引力來(lái)分選礦粒

8、的。在非均勻電場(chǎng)中，若在顆粒體積之內(nèi)電場(chǎng)變化不大，則介質(zhì)顆粒的偶極矩大致上由（4.4-23）式表示，其中 E0 為顆粒所在處的外電場(chǎng)。顆粒極化后受到非均勻電場(chǎng)的吸引力，吸引力的大小依賴于 ，由此可以分選不同礦質(zhì)的顆粒。例4 導(dǎo)體尖劈帶電勢(shì)V，分析它的尖角附近的電場(chǎng)。解 用柱坐標(biāo)系。取z軸沿尖邊。設(shè)尖劈以外的空間，即電場(chǎng)存在的空間為 0 2（為小角）。因不依賴于z ，柱坐標(biāo)下的拉氏方程為 （4.4-27）用分離變量解此方程。設(shè)的特解為= R（r）（） ，則上式分解為兩個(gè)方程 其中 為某些正實(shí)數(shù)或0。把的特解疊加得的通解 （4.4-28）各待定常量和 的可能值都由邊界條件確定。在尖劈 = 0 面上

9、， = V 與r無(wú)關(guān)，由此 （）因 r 0 時(shí)有限，得 在尖劈= 2面上，有 = V ，與r無(wú)關(guān)，必須 因此 的可能值為 （4.4-29）考慮這些條件，可以重寫為 （4.4-30）為了確定待定常量 A n ，還必須用某一大曲面包圍著電場(chǎng)存在的區(qū)域，并給定這曲面上的邊界條件。因此，本題所給的條件是不完全的，還不足以確定全空間的電場(chǎng)。但是，我們可以對(duì)尖角附近的電場(chǎng)做出一定的分析。在尖角附近， r 0 ，（4.4-30）式的求和式的主要貢獻(xiàn)來(lái)自r最低冪次項(xiàng)，即n = 1項(xiàng)。因此， （4.4-31）電場(chǎng)為 （4.4-32）尖劈兩面上的電荷面密度為 （4.4-33）若很小，有 1 1/2，尖角附近的場(chǎng)強(qiáng)

10、和電荷面密度都近似地正比與 r 1/2 。因此可見(jiàn)，尖角附近可能存在很強(qiáng)的電場(chǎng)和電荷面密度。相應(yīng)的三維針尖問(wèn)題就是尖端放電現(xiàn)象。課下作業(yè)：第71-73頁(yè)，第6，7，8，18題。6. 在均勻外電場(chǎng)中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球（介電常數(shù)）求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。7. 在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為的液體，使其中流著均勻的電流，今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布：討論及兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。8. 半徑為的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離球心為處 （）置一點(diǎn)電荷，試用分離變量法求空間各點(diǎn)的電勢(shì)，證明所得的結(jié)果與電象法結(jié)果相同。18. 一半球?yàn)榈那蛎妫谇蜃鴺?biāo)的半

11、球面上的電勢(shì)為，在 的半球面上為，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。補(bǔ)充題：半徑為R0電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)E0中（真空），求空間電勢(shì)和電場(chǎng)分布。取介質(zhì)球球心處的電勢(shì)為零。半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場(chǎng)E0中（真空），求電勢(shì)和導(dǎo)體上的電荷面密度。在均勻外電場(chǎng)E0中置人帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球(電容率)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)分布。取介質(zhì)球球心處的電勢(shì)為零。第23講 課下作業(yè)解答第72頁(yè)，第9，10，11，12，13題。接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R1和R2，在球內(nèi)離球心為a ( aR1 ) 處放置一點(diǎn)電荷Q。用鏡像法求電勢(shì)分布。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解：球殼內(nèi)： （1）

12、（2） ： （3） ： （4） 解得： 球外： 電力線終止在內(nèi)表面內(nèi)導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷為分布在內(nèi)表面。空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R1和R2，在球內(nèi)離球心為a ( aR1 ) 處放置一點(diǎn)電荷Q。用鏡像法求電勢(shì)分布。導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷Q0，或使其有確定電勢(shì)，試求這兩種情況的電勢(shì)。又問(wèn)與Q0是何種關(guān)系時(shí)，兩情況的解是相等的？解： 若電勢(shì)為 當(dāng)時(shí)，兩種情況是相等的。在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部(如圖)，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平面相距為b(ba)，試用電像法求空間電勢(shì) 解：為滿足球面上電勢(shì)為零，上半球中像電荷為 為滿足面上勢(shì)為零，球心有與平面對(duì)稱的像電荷所以： 其中 有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b，求空間電勢(shì)。解：可以構(gòu)造如圖所示的三個(gè)像電荷來(lái)代替兩導(dǎo)體板的作用。設(shè)有兩平面圍成的直角形無(wú)窮容器，其內(nèi)充滿