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1、PAGE 2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽試題參考答案(高二年級(jí))一、填空題(本題滿分90分,每小題9分。直接將答案寫在橫線上。) 1. 已知正整數(shù)數(shù)列滿足,若,則= 3 .2. 函數(shù)的值域?yàn)?3. 在中,則的最大角的余弦值為4在直角坐標(biāo)平面內(nèi),曲線圍成的圖形的面積是 5 .5若恒成立,則的取值范圍是.6. 去掉集合中所有的完全平方數(shù)和完全立方數(shù)后,將剩下的元素按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列,這個(gè)數(shù)列的第2014項(xiàng)為 2068 .7 在四面體中,面,則四面體的外接球的半徑為.8. 三對(duì)夫妻排成一排照相,僅有一對(duì)夫妻相鄰的概率為.9. 若且,則稱為集合的孤立元素.那么,集合1,2,3,4,
2、5,6,7,8,9的無(wú)孤立元素的4元子集有 21 個(gè).10. 共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率分別為,若橢圓的短軸長(zhǎng)為雙曲線的虛軸長(zhǎng)的2倍,則的最大值為.二、解答題(本題滿分60分,每小題20分。)11. 當(dāng)時(shí),不等式恒成立,試求的最大值解法1 令.(1)先考慮時(shí)的情況, = 1 * GB3 若,即,則由題意知,即,整理得.設(shè),其中,則.設(shè),且,則,等號(hào)成立的條件是:,即,. 10分 = 2 * GB3 若,即,則由得,所以,從而可得,此時(shí); = 3 * GB3 若,即,則; 15分(2)當(dāng)時(shí),由得,故.綜合可知:的最大值為2 20分解法二 特殊值法.在不等式中取特殊值,得 10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),所以
3、,的最大值為2 20分12. 設(shè)是雙曲線上的兩點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),線段的垂直平分線交雙曲線于兩點(diǎn)(1)確定的取值范圍;(2)試判斷四點(diǎn)是否共圓?并說(shuō)明理由解 (1)依題意,可設(shè)直線的方程為,代入雙曲線方程并整理得 = 1 * GB3 設(shè),則是方程 = 1 * GB3 的兩個(gè)不同實(shí)根,于是可知 = 2 * GB3 且又是線段的中點(diǎn),故,解得,故直線的方程為,即將代入 = 2 * GB3 ,得,解得又是線段的垂直平分線,故所在直線的方程是,即,將其代入雙曲線方程,整理得 = 3 * GB3 由題意,方程 = 3 * GB3 也有兩個(gè)不同實(shí)根,所以,解得又,于是可得:的取值范圍為 10分(2)設(shè),線段的中點(diǎn)為,則是方程 = 3 * GB3 的兩根,所以,于是,于是,由弦長(zhǎng)公式可得.又方程 = 1 * GB3 即,同理可得.顯然,又是線段的垂直平分線,假設(shè)存在使得四點(diǎn)共圓,則必為該圓的直徑,點(diǎn)為圓心又點(diǎn)到直線的距離為,由勾股定理得又 ,所以故當(dāng)時(shí),四點(diǎn)均在以為圓心、為半徑的圓上 20分13. 在單調(diào)遞增數(shù)列中,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:,解 (1)因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,所以().由題意得,于是,化簡(jiǎn)得,所以數(shù)列為等差數(shù)列.又,所以數(shù)列的首項(xiàng)為,
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