2014年湖北省預(yù)賽試題參考答案（高二年級(jí)）

1、PAGE 2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽試題參考答案（高二年級(jí)）一、填空題（本題滿分90分，每小題9分。直接將答案寫在橫線上。） 1. 已知正整數(shù)數(shù)列滿足，若，則= 3 .2. 函數(shù)的值域?yàn)?3. 在中，則的最大角的余弦值為4在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，曲線圍成的圖形的面積是 5 .5若恒成立，則的取值范圍是.6. 去掉集合中所有的完全平方數(shù)和完全立方數(shù)后，將剩下的元素按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的第2014項(xiàng)為 2068 .7 在四面體中，面，則四面體的外接球的半徑為.8. 三對(duì)夫妻排成一排照相，僅有一對(duì)夫妻相鄰的概率為.9. 若且，則稱為集合的孤立元素.那么，集合1，2，3，4，

2、5，6，7，8，9的無(wú)孤立元素的4元子集有 21 個(gè).10. 共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率分別為，若橢圓的短軸長(zhǎng)為雙曲線的虛軸長(zhǎng)的2倍，則的最大值為.二、解答題（本題滿分60分，每小題20分。）11. 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求的最大值解法1 令.（1）先考慮時(shí)的情況， = 1 * GB3 若，即，則由題意知，即，整理得.設(shè)，其中，則.設(shè)，且，則，等號(hào)成立的條件是：，即，. 10分 = 2 * GB3 若，即，則由得，所以，從而可得，此時(shí)； = 3 * GB3 若，即，則； 15分（2）當(dāng)時(shí)，由得，故.綜合可知：的最大值為2 20分解法二 特殊值法.在不等式中取特殊值，得 10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以

3、，的最大值為2 20分12. 設(shè)是雙曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線交雙曲線于兩點(diǎn)（1）確定的取值范圍；（2）試判斷四點(diǎn)是否共圓？并說(shuō)明理由解 （1）依題意，可設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程并整理得 = 1 * GB3 設(shè)，則是方程 = 1 * GB3 的兩個(gè)不同實(shí)根，于是可知 = 2 * GB3 且又是線段的中點(diǎn)，故，解得，故直線的方程為，即將代入 = 2 * GB3 ，得，解得又是線段的垂直平分線，故所在直線的方程是，即，將其代入雙曲線方程，整理得 = 3 * GB3 由題意，方程 = 3 * GB3 也有兩個(gè)不同實(shí)根，所以，解得又，于是可得：的取值范圍為 10分（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則是方程 = 3 * GB3 的兩根，所以，于是，于是，由弦長(zhǎng)公式可得.又方程 = 1 * GB3 即，同理可得.顯然，又是線段的垂直平分線，假設(shè)存在使得四點(diǎn)共圓，則必為該圓的直徑，點(diǎn)為圓心又點(diǎn)到直線的距離為，由勾股定理得又 ，所以故當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)均在以為圓心、為半徑的圓上 20分13. 在單調(diào)遞增數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，解 （1）因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以（）.由題意得，于是，化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.又，所以數(shù)列的首項(xiàng)為，