考研數(shù)學線代知識點的復習指導

1、考研數(shù)學線代知識點的復習指導考研數(shù)學線代知識點的復習指南線性代數(shù)總共分為六章。第一章行列式本章的考試重點是行列式的計算，考查形式有兩種：一是數(shù)值型行列式的計算，二是抽象型行列式的計算.另外數(shù)值型行列式的計算不會單獨的考大題，考選擇填空題較多，有時出現(xiàn)在大題當中的一問或者是在大題的處理其他問題需要計算行列式，題目難度不是很大。主要方法是利用行列式的性質或者展開定理即可。而抽象型行列式的計算主要：利用行列式的性質、利用矩陣乘法、利用特征值、直接利用公式、利用單位陣進行變形、利用相似關系。06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計算問題，14年選擇考了一個數(shù)值型的矩陣行列式，15、

2、16年的數(shù)一、三的填空題考查的是一個n行列式的計算，。今年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三這塊都沒有涉及。第二章矩陣本章的概念和運算較多，而且結論比較多，但是主要以填空題、選擇題為主，另外也會結合其他章節(jié)的知識點考大題。本章的重點較多，有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉化，10年考查的是矩陣的秩，08年考的則是抽象矩陣求逆的問題，這幾年考查的形式為小題，而13年的兩道大題均考查到了本章的知識點，第一道題目涉及到矩陣的運算，第二道大題則用到了矩陣的秩的相關性質。14的第一道大題的第二問延續(xù)了13年第一道大題的思路

3、，考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結合的知識，但是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。16年只有數(shù)二了矩陣等價的判斷確定參數(shù)。第三章向量本章是線代里面的重點也是難點，抽象、概念與性質結論比較多。重要的概念有向量的線性表出、向量組等價、線性相關與線性無關、極大線性無關組等。復習的時候要注意結構和從不同角度理解。做題重心要放在問題轉換上面。出題方式主要以選擇與大題為主。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題，13年考查的則是向量組的等價，14年的選擇題則考查了向量組的線性無關性。15年數(shù)一第2

4、0題結合向量空間的基問題考查了向量組等價的問題。16年數(shù)數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二23題考的同樣的題，第二問考向量組的線性表示的問題。今年17年第四章線性方程組主要考點有兩個：一是解的判定與解的結構、二是求解方程?？疾斓姆绞竭€是比較固定，直接給方程討論解的情況、解方程或者通過其他的關系轉化為線性方程組、矩陣方程的形式來考。06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題，13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯，但也是線性方程組求解的問題。14年的第一道大題就是線性方程組的問題，15年選擇題考查了解的判定，數(shù)二、數(shù)三同一個大題里面考查了矩陣方程的問題。16年數(shù)

5、一第20題矩陣方程解的判斷和求解，數(shù)三第20題與數(shù)二第22題直接考線性方程解的判斷和求解，數(shù)一第21題第二問解矩陣方程。16年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第23題第二問直接考矩陣方程解求解，基本都不需要大家做轉換。今年數(shù)一、數(shù)三第20題、數(shù)二第22題第二問題都考了抽象的線性方程的求解問題。第五章矩陣矩陣的特征值與特征向量，每年大題都會涉及這章的內容?？即箢}的時候較多。重點考查三個方面，一是特征值與特征向量的定義、性質以及求法;二是矩陣的相似對角化問題，三是實對稱矩陣的性質以及正交相似對角化的問題。要的實對稱矩陣的性質與正交相似對角化問題可以說每年必考，09、10、11、12、13年都考了。14考查

6、的則是矩陣的相似對角化問題，是以證明題的形式考查的。15年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三選擇題結合二次型正交化特點然后結合特征值定義考查;大題也是有一個題目相同，都是矩陣相似，然后對角化問題。16年數(shù)一數(shù)三第21題與數(shù)二第23題的第一問以考高次冪的形式出現(xiàn)，實質就是矩陣相似對角化問題。今年數(shù)一、數(shù)三第5、6、20、題與數(shù)二第7、8、14、22、14題都考相似、相似對角的判斷性質。今年在這章涉及的分數(shù)高達20多分。第六章二次型本章是第五章的運用，有兩個重點：一是化二次型為標準形;二是正定二次型。前一個重點主要考查大題，有兩種處理方法：配方法與正交變換法，而正交變換法是考查的重中之重。10、11、12年均以大題

7、的形式出現(xiàn)，考查的是利用正交變換化二次型為標準形，而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目，但它考查的則是二次型的矩陣表示，另外也考到二次型的標準形，它是通過間接的方式求得特征值然后直接得出標準形的。后一考點正定二次型則以小題為主。14則是以填空題的形式出現(xiàn)的，考查的題目為已知二次型的負慣性指數(shù)為1，讓求參數(shù)的取值范圍。15年結合對角化考了個選擇題。16年數(shù)一結合空間解析幾何考了二次型的標準型，數(shù)三、數(shù)二正負慣性指數(shù)考察。今年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第3題考察的就是二次型正交對角化問題。綜合所述，線代每年的考題都比較固定，大題基本上在線性方程和特征值的角度出。所以建議18的同學在復習線代的

8、時候從以下幾個方面去把握：一、把線代基本的概念弄清楚，線代的概念要從定義的角度和形式上面去把握;二、線代的記號要清楚，而且能夠寫成對應的形式去表示;三、重視線代里面知識點的不同角度的轉換關系，比如秩與解關系、行列式與秩關系等;四、前期要把線代里面固定題型的方法弄透，比如齊次方程的基礎解系是怎么求的、矩陣秩怎么求等。考研數(shù)學知識點模塊如何歸納總結高等數(shù)學分為5大知識模塊：1、一元微積分學;2、多元微積分學;3、曲線、曲面積分;4、無窮級數(shù);5、微分方程。這里面的曲線、曲面積分是數(shù)一的同學特有的，其他內容是所有考數(shù)學的同學都要考查的。線性代數(shù)分為3大知識模塊：1、行列式和矩陣;2、向量和線性方程組

9、;3、特征值、特征向量和二次型。線性代數(shù)部分從考綱來看各個卷種的差別不大，近些年的變化也不大，是考研數(shù)學相對穩(wěn)定的一部分考查內容。概率論與數(shù)理統(tǒng)計分為3大知識模塊：1、概率、概率基本性質及簡單的概型，2、隨機變量及其分布與數(shù)字特征，3、統(tǒng)計基本概念、參數(shù)估計及假設檢驗，這部分是數(shù)二的同學不要求的，而數(shù)一和數(shù)三大綱的要求還是有些差距的，比如數(shù)一要求假設檢驗而數(shù)三不要求。建議大家可以按下面提供的方法進行四個不同層次的歸納總結：第一個層次是概念、性質、公式、定理及相關知識之間的聯(lián)系、區(qū)別的歸納與總結。我們的方法是：首先按照自己認為的重要到次重要的順序進行回憶，之后比照考試大綱所規(guī)定的考試內容，看自己

10、有哪些遺漏了，從而形成完整的知識網絡。我們還要對遺漏的知識點進行分析，要搞清楚這個知識點是由于和這個小的知識模塊關系不緊密而沒有聯(lián)系起來，還是自己在復習過程中忽略了。對于前一種情況大家不用放在心上，只要看一看這個知識點說的是什么意思就可以了，比如：在我們回憶一元微積分學時，如果沒想起來曲率的概念，這關系不是很大，要知道和整個知識模塊相對游離的知識點往往不是考研的重點，我們知道即可。可是對于那些本來很重要的知識點由于自己的忽視而沒有想起來，這時我們要高度的重視起來了，這些知識應該是自己的相對弱點和盲點，對這些知識點的復習是我們是否能考出好成績的關鍵!對這些知識點我們要想盡一切辦法去理解，去練習，

11、直到掌握了為止!在這一層次中大家要知道，考研中的重要的考點往往是不同部分的節(jié)點，這樣的知識點可能聯(lián)系著兩個或多個的概念，是起橋梁作用的知識。第二個層次是對題型的歸納總結。做完第一個層次的總結，我們只是把考研要考的一些小的知識點形成了一個知識的網絡圖，但我們還不知道考研是從什么角度，如何考查大家，這時我們要進行第二個層次的總結。我們歸納總結的方法是先根據(jù)自己看過的和做過的輔導材料憑記憶總結出若干的題型，之后比照自己所看的材料看自己總結的是否能涵蓋復習材料中大部分的例題，另外，大家還可以參照專門講題型的書，用自己總結的題型和復習材料上的進行對照，通過對照充實自己總結出來的題型。第三個層次是對題型解

12、法的歸納總結。有了第二個層次的歸納總結，我們對考研數(shù)學的畏懼心理都消失了，你已經知道了考研數(shù)學可能考你的方式、方法和角度了，現(xiàn)在要做的是對總結的題型進行解題方法的總結了。我們的方法是首先根據(jù)自己做過的一種題型的若干例題總結出典型的解題思路形成有效的解題程序和過程。對于一種題型我們可以從不同的例題中歸納出多種的方法和思路。之后，我們對照復習材料進行充實和改造自己歸納的解題思路和方法，盡可能多的把能用的思路和方法總結出來。第四個層次是解題思路的升華。有了第三個層次的歸納總結，我們對自己遇到的題目就心中有底了，我們已經知道，一般的題目只要按照自己總結的方法一種一種的去試，基本上能把題目做出來，只不過

13、我們的解題的速度不快，這時侯我們需要在第三個層次的基礎上進行思路的升華，找到最好的對付一類題型的解題方法，提高我們的解題速度!我們的方法是在自己總結的方法中找最快捷和最適合自己發(fā)揮的解題思路，之后去找些有關題型的復習材料做些比較，再看看自己的方法和這些材料的方法哪個更適合自己。考研數(shù)學：高數(shù)定理證明之微分中值定理這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。費馬引理的條件有兩個：1.f(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f(x0)=0。考慮函數(shù)在一點的導數(shù)，用什么方法?自然想到導數(shù)定義。我們可以按照導數(shù)定義

14、寫出f(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎么用?！癴(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學語言即f(x)-f(x0)0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數(shù)定義式中函數(shù)部分表達式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負號。若能得出函數(shù)部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。費馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導”和“端值相等”，結論是在開區(qū)間存在一點(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點的導數(shù)

15、為0。該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎么用?如何和結論建立聯(lián)系?當然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數(shù)在一點的導數(shù)為0。話說到這，可能有同學要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這么簡單。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?前面提過費馬引理的條件有兩個“可導”和

16、“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質，哪條性質和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關系?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區(qū)間內部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區(qū)間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點都能使結論成立。拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基