考研數(shù)學線代知識點的復習指導

1、考研數(shù)學線代知識點的復習指導考研數(shù)學線代知識點的復習指南線性代數(shù)總共分為六章。第一章行列式本章的考試重點是行列式的計算，考查形式有兩種：一是數(shù)值型行列式的計算，二是抽象型行列式的計算.另外數(shù)值型行列式的計算不會單獨的考大題，考選擇填空題較多，有時出現(xiàn)在大題當中的一問或者是在大題的處理其他問題需要計算行列式，題目難度不是很大。主要方法是利用行列式的性質(zhì)或者展開定理即可。而抽象型行列式的計算主要：利用行列式的性質(zhì)、利用矩陣乘法、利用特征值、直接利用公式、利用單位陣進行變形、利用相似關(guān)系。06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計算問題，14年選擇考了一個數(shù)值型的矩陣行列式，15、

2、16年的數(shù)一、三的填空題考查的是一個n行列式的計算，。今年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三這塊都沒有涉及。第二章矩陣本章的概念和運算較多，而且結(jié)論比較多，但是主要以填空題、選擇題為主，另外也會結(jié)合其他章節(jié)的知識點考大題。本章的重點較多，有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉(zhuǎn)化，10年考查的是矩陣的秩，08年考的則是抽象矩陣求逆的問題，這幾年考查的形式為小題，而13年的兩道大題均考查到了本章的知識點，第一道題目涉及到矩陣的運算，第二道大題則用到了矩陣的秩的相關(guān)性質(zhì)。14的第一道大題的第二問延續(xù)了13年第一道大題的思路

3、，考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結(jié)合的知識，但是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。16年只有數(shù)二了矩陣等價的判斷確定參數(shù)。第三章向量本章是線代里面的重點也是難點，抽象、概念與性質(zhì)結(jié)論比較多。重要的概念有向量的線性表出、向量組等價、線性相關(guān)與線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組等。復習的時候要注意結(jié)構(gòu)和從不同角度理解。做題重心要放在問題轉(zhuǎn)換上面。出題方式主要以選擇與大題為主。這一章無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題，13年考查的則是向量組的等價，14年的選擇題則考查了向量組的線性無關(guān)性。15年數(shù)一第2

4、0題結(jié)合向量空間的基問題考查了向量組等價的問題。16年數(shù)數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二23題考的同樣的題，第二問考向量組的線性表示的問題。今年17年第四章線性方程組主要考點有兩個：一是解的判定與解的結(jié)構(gòu)、二是求解方程?？疾斓姆绞竭€是比較固定，直接給方程討論解的情況、解方程或者通過其他的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組、矩陣方程的形式來考。06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題，13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯，但也是線性方程組求解的問題。14年的第一道大題就是線性方程組的問題，15年選擇題考查了解的判定，數(shù)二、數(shù)三同一個大題里面考查了矩陣方程的問題。16年數(shù)

5、一第20題矩陣方程解的判斷和求解，數(shù)三第20題與數(shù)二第22題直接考線性方程解的判斷和求解，數(shù)一第21題第二問解矩陣方程。16年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第23題第二問直接考矩陣方程解求解，基本都不需要大家做轉(zhuǎn)換。今年數(shù)一、數(shù)三第20題、數(shù)二第22題第二問題都考了抽象的線性方程的求解問題。第五章矩陣矩陣的特征值與特征向量，每年大題都會涉及這章的內(nèi)容?？即箢}的時候較多。重點考查三個方面，一是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法;二是矩陣的相似對角化問題，三是實對稱矩陣的性質(zhì)以及正交相似對角化的問題。要的實對稱矩陣的性質(zhì)與正交相似對角化問題可以說每年必考，09、10、11、12、13年都考了。14考查

6、的則是矩陣的相似對角化問題，是以證明題的形式考查的。15年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三選擇題結(jié)合二次型正交化特點然后結(jié)合特征值定義考查;大題也是有一個題目相同，都是矩陣相似，然后對角化問題。16年數(shù)一數(shù)三第21題與數(shù)二第23題的第一問以考高次冪的形式出現(xiàn)，實質(zhì)就是矩陣相似對角化問題。今年數(shù)一、數(shù)三第5、6、20、題與數(shù)二第7、8、14、22、14題都考相似、相似對角的判斷性質(zhì)。今年在這章涉及的分數(shù)高達20多分。第六章二次型本章是第五章的運用，有兩個重點：一是化二次型為標準形;二是正定二次型。前一個重點主要考查大題，有兩種處理方法：配方法與正交變換法，而正交變換法是考查的重中之重。10、11、12年均以大題

7、的形式出現(xiàn)，考查的是利用正交變換化二次型為標準形，而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目，但它考查的則是二次型的矩陣表示，另外也考到二次型的標準形，它是通過間接的方式求得特征值然后直接得出標準形的。后一考點正定二次型則以小題為主。14則是以填空題的形式出現(xiàn)的，考查的題目為已知二次型的負慣性指數(shù)為1，讓求參數(shù)的取值范圍。15年結(jié)合對角化考了個選擇題。16年數(shù)一結(jié)合空間解析幾何考了二次型的標準型，數(shù)三、數(shù)二正負慣性指數(shù)考察。今年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第3題考察的就是二次型正交對角化問題。綜合所述，線代每年的考題都比較固定，大題基本上在線性方程和特征值的角度出。所以建議18的同學在復習線代的

8、時候從以下幾個方面去把握：一、把線代基本的概念弄清楚，線代的概念要從定義的角度和形式上面去把握;二、線代的記號要清楚，而且能夠?qū)懗蓪男问饺ケ硎?三、重視線代里面知識點的不同角度的轉(zhuǎn)換關(guān)系，比如秩與解關(guān)系、行列式與秩關(guān)系等;四、前期要把線代里面固定題型的方法弄透，比如齊次方程的基礎(chǔ)解系是怎么求的、矩陣秩怎么求等?？佳袛?shù)學知識點模塊如何歸納總結(jié)高等數(shù)學分為5大知識模塊：1、一元微積分學;2、多元微積分學;3、曲線、曲面積分;4、無窮級數(shù);5、微分方程。這里面的曲線、曲面積分是數(shù)一的同學特有的，其他內(nèi)容是所有考數(shù)學的同學都要考查的。線性代數(shù)分為3大知識模塊：1、行列式和矩陣;2、向量和線性方程組

9、;3、特征值、特征向量和二次型。線性代數(shù)部分從考綱來看各個卷種的差別不大，近些年的變化也不大，是考研數(shù)學相對穩(wěn)定的一部分考查內(nèi)容。概率論與數(shù)理統(tǒng)計分為3大知識模塊：1、概率、概率基本性質(zhì)及簡單的概型，2、隨機變量及其分布與數(shù)字特征，3、統(tǒng)計基本概念、參數(shù)估計及假設(shè)檢驗，這部分是數(shù)二的同學不要求的，而數(shù)一和數(shù)三大綱的要求還是有些差距的，比如數(shù)一要求假設(shè)檢驗而數(shù)三不要求。建議大家可以按下面提供的方法進行四個不同層次的歸納總結(jié)：第一個層次是概念、性質(zhì)、公式、定理及相關(guān)知識之間的聯(lián)系、區(qū)別的歸納與總結(jié)。我們的方法是：首先按照自己認為的重要到次重要的順序進行回憶，之后比照考試大綱所規(guī)定的考試內(nèi)容，看自己

10、有哪些遺漏了，從而形成完整的知識網(wǎng)絡(luò)。我們還要對遺漏的知識點進行分析，要搞清楚這個知識點是由于和這個小的知識模塊關(guān)系不緊密而沒有聯(lián)系起來，還是自己在復習過程中忽略了。對于前一種情況大家不用放在心上，只要看一看這個知識點說的是什么意思就可以了，比如：在我們回憶一元微積分學時，如果沒想起來曲率的概念，這關(guān)系不是很大，要知道和整個知識模塊相對游離的知識點往往不是考研的重點，我們知道即可。可是對于那些本來很重要的知識點由于自己的忽視而沒有想起來，這時我們要高度的重視起來了，這些知識應該是自己的相對弱點和盲點，對這些知識點的復習是我們是否能考出好成績的關(guān)鍵!對這些知識點我們要想盡一切辦法去理解，去練習，

11、直到掌握了為止!在這一層次中大家要知道，考研中的重要的考點往往是不同部分的節(jié)點，這樣的知識點可能聯(lián)系著兩個或多個的概念，是起橋梁作用的知識。第二個層次是對題型的歸納總結(jié)。做完第一個層次的總結(jié)，我們只是把考研要考的一些小的知識點形成了一個知識的網(wǎng)絡(luò)圖，但我們還不知道考研是從什么角度，如何考查大家，這時我們要進行第二個層次的總結(jié)。我們歸納總結(jié)的方法是先根據(jù)自己看過的和做過的輔導材料憑記憶總結(jié)出若干的題型，之后比照自己所看的材料看自己總結(jié)的是否能涵蓋復習材料中大部分的例題，另外，大家還可以參照專門講題型的書，用自己總結(jié)的題型和復習材料上的進行對照，通過對照充實自己總結(jié)出來的題型。第三個層次是對題型解

12、法的歸納總結(jié)。有了第二個層次的歸納總結(jié)，我們對考研數(shù)學的畏懼心理都消失了，你已經(jīng)知道了考研數(shù)學可能考你的方式、方法和角度了，現(xiàn)在要做的是對總結(jié)的題型進行解題方法的總結(jié)了。我們的方法是首先根據(jù)自己做過的一種題型的若干例題總結(jié)出典型的解題思路形成有效的解題程序和過程。對于一種題型我們可以從不同的例題中歸納出多種的方法和思路。之后，我們對照復習材料進行充實和改造自己歸納的解題思路和方法，盡可能多的把能用的思路和方法總結(jié)出來。第四個層次是解題思路的升華。有了第三個層次的歸納總結(jié)，我們對自己遇到的題目就心中有底了，我們已經(jīng)知道，一般的題目只要按照自己總結(jié)的方法一種一種的去試，基本上能把題目做出來，只不過

13、我們的解題的速度不快，這時侯我們需要在第三個層次的基礎(chǔ)上進行思路的升華，找到最好的對付一類題型的解題方法，提高我們的解題速度!我們的方法是在自己總結(jié)的方法中找最快捷和最適合自己發(fā)揮的解題思路，之后去找些有關(guān)題型的復習材料做些比較，再看看自己的方法和這些材料的方法哪個更適合自己?？佳袛?shù)學：高數(shù)定理證明之微分中值定理這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。費馬引理的條件有兩個：1.f(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結(jié)論為f(x0)=0?？紤]函數(shù)在一點的導數(shù)，用什么方法?自然想到導數(shù)定義。我們可以按照導數(shù)定義

14、寫出f(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學語言即f(x)-f(x0)0)，對x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導數(shù)定義式中函數(shù)部分表達式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負號。若能得出函數(shù)部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。費馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導”和“端值相等”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點的導數(shù)

15、為0。該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數(shù)在一點的導數(shù)為0。話說到這，可能有同學要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)?，但過程沒這么簡單。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?前面提過費馬引理的條件有兩個“可導”和

16、“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關(guān)系?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點都能使結(jié)論成立。拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基