高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列專題講解

1、高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列專題講解教學(xué)目標(biāo)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，深刻理解等比中項(xiàng)概念，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)：1.等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用.2.等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程：.復(fù)習(xí)回顧等比數(shù)列定義，等比數(shù)列通項(xiàng)公式.講授新課根據(jù)定義、通項(xiàng)公式，再與等差數(shù)列對(duì)照，看等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)?(1)若a，A，b成等差數(shù)列a eq f(ab,2) ，A為等差中項(xiàng).那么，如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則即 eq f(G,a) eq f(b,G) ，即G2ab反之，

2、若G2ab，則 eq f(G,a) eq f(b,G) ，即a，G，b成等比數(shù)列a，G，b成等比數(shù)列G2ab(ab0)總之，如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G eq r(ab) ，(a，b同號(hào))另外，在等差數(shù)列中，若mnpq，則amanapaq，那么，在等比數(shù)列中呢？由通項(xiàng)公式可得：ama1qm1，ana1qn1，apa1qp1，aqa1qq1不難發(fā)現(xiàn)：amana12qm+n2，apaqa12qp+q2若mnpq，則amanapaq下面看應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決哪些問(wèn)題?例1在等比數(shù)列an中，若a3a5100，求a4.分析：由等比數(shù)列性質(zhì)，

3、若mnpq，則amanapaq可得：解：在等比數(shù)列中，a3a5a42又a3a5100，a410.例2已知an、bn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證anbn是等比數(shù)列.分析：由等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式求得.解：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比為p；bn的首項(xiàng)為b1，公比為q.則數(shù)列an的第n項(xiàng)與第n1項(xiàng)分別為a1pn1，a1pn數(shù)列bn的第n項(xiàng)與第n1項(xiàng)分別為b1qn1，b1qn.數(shù)列anbn的第n項(xiàng)與第n1項(xiàng)分別為a1pn1b1qn1與a1pnb1qn，即為a1b1(pq)n1與a1b1(pq)n eq f(an+1,an) eq f(bn+1,bn) eq f(a1b1（pq）n,a1b1（pq）n1)

4、 pq它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，anbn是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列.特別地，如果an是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，那么數(shù)列can是等比數(shù)列.例3三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個(gè)數(shù).解：設(shè)m，G，n為此三數(shù)由已知得：mnG14，mnG64，又G2mn，G364，G4，mn10 eq blc(aal(m2,n8) 或 eq blc(aal(m8,n2) 即這三個(gè)數(shù)為2，4，8或8，4，2.評(píng)述：結(jié)合已知條件與定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)，選擇解題捷徑.課堂練習(xí)課本P50練習(xí)1，2，3，4，5.課時(shí)小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：(1)若a，G，b成等比數(shù)列，則G2ab，G叫做a與b的等

5、比中項(xiàng).(2)若在等比數(shù)列中，mnpq，則amanapaq.課后作業(yè)課本P52習(xí)題5，6，7，91已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于（）A.5B.10C.15D.202在等比數(shù)列中，a11，qR且|q|1，若ama1a2a3a4a5，則m等于（）A.9B.10C.11D.123非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x1、y、z與x、y、z2分別成等比數(shù)列，則y等于（）A.10B.12C.14D.164有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).5在數(shù)列an和bn中，an0，bn0，且an，bn，an+1成等差數(shù)

6、列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a11，b12，a23，求anbn的值.6設(shè)xy2，且xy，xy，xy， eq f(y,x) 能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個(gè)等比數(shù)列.7有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個(gè)數(shù).等比數(shù)列(二)答案1已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于（）A.5B.10C.15D.20分析：要確定一個(gè)等比數(shù)列，必須有兩個(gè)獨(dú)立條件，而這里只有一個(gè)條件，故用先確定基本量a1和q，再求a3a5的方法是不行的，而應(yīng)尋求a3a5整體與已知條件之間的關(guān)系.解法一：設(shè)此等比

7、數(shù)列的公比為q，由條件得a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q525即a12q4(q21)225，又an0，得q0a1q2(q21）5a3a5a1q2a1q4a1q2(q21)5解法二：a2a42a3a5a4a625由等比數(shù)列性質(zhì)得a322a3a5a5225即(a3a5)225，又an0，a3a55評(píng)述：在運(yùn)用方程思想方法的過(guò)程中，還要注意整體觀念，善于利用等比數(shù)列的性質(zhì)，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程、快速求解的目的.2在等比數(shù)列中，a11，qR且|q|1，若ama1a2a3a4a5，則m等于（）A.9B.10C.11D.12解：ama1a2a3a4a5a15q1+2+3+4a15q10a15q

8、111又a11，amq111，m11.答案：C3非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x1、y、z與x、y、z2分別成等比數(shù)列，則y等于（）A.10B.12C.14D.16解：由已知得 eq blc(aal(2yxz,y2（x1）z,y2x（z2）) eq blc(aal(2yxz,y2（x1）z,z2x) eq blc(aal(2y3x,y2（x1）2x) y12答案：B4有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).解：設(shè)所求的四個(gè)數(shù)分別為a，xd，x，xd則 eq blc(aal(（xd）2ax ,a（xd）x19 ,（xd）x（xd）12 ) 解得x4，代

9、入、得 eq blc(aal(（4d）24a, ad11) 解得 eq blc(aal(a25,d14) 或 eq blc(aal(a9,d2) 故所求四個(gè)數(shù)為25，10，4，18或9，6，4，2.5在數(shù)列an和bn中，an0，bn0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a11，b12，a23，求anbn的值.分析：關(guān)鍵是求出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)條件，應(yīng)注意兩個(gè)數(shù)列之間的聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)換.解：由題意知： eq blc(aal(2bnanan1 ,an12bnbn1 ) an+1 eq r(bnbn1) ，an eq r(bnbn1) (n2)代入得2bn e

10、q r(bnbn1) eq r(bnbn1) 即2 eq r(bn) eq r(bn1) eq r(bn1) (n2) eq r(bn) 成等差數(shù)列，設(shè)公差為d又b12，b2 eq f(a22,b1) eq f(9,2) ，d eq r(b2) eq r(b1) eq f(3r(2),2) eq r(2) eq f(r(2),2) eq r(bn) eq r(2) eq f(r(2),2)（n1） eq f(r(2),2)（n1），bn eq f(1,2) （n1）2，當(dāng)n2時(shí)，an eq r(bnbn1) eq f(n（n1）,2) 且a11時(shí)適合于式，故 eq f(an,bn) eq f(

11、n,n1) .評(píng)述：對(duì)于通項(xiàng)公式有關(guān)系的兩個(gè)數(shù)列的問(wèn)題，一般采用消元法，先消去一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，并對(duì)只含另一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列.6設(shè)xy2，且xy，xy，xy， eq f(y,x) 能按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個(gè)等比數(shù)列.分析：先由xy2，可知xyxyxy，下來(lái)只需討論 eq f(y,x) 和xy的大小關(guān)系，分成兩種情況討論.解：xy2，xyxy，xyxy，而 eq f(y,x) 1xy當(dāng) eq f(y,x) xy時(shí)，由 eq f(y,x) ，xy，xy，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列.則有 eq blc(aal( eq f(y,x) xy（xy）（xy）,（xy）2（xy）

12、xy) 解方程組得x75 eq r(2) ，y5 eq f(7,2) eq r(2) 所求等比數(shù)列為 eq f(r(2),2)，2 eq f(3,2) eq r(2) ，12 eq f(17,2) eq r(2) ，70 eq f(99,2) eq r(2) .當(dāng) eq f(y,x) xy時(shí)，由xy， eq f(y,x) ，xy，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列則有 eq blc(aal( eq f(y,x) xy（xy）2, eq f(y,x) （xy）（xy）xy) 解方程組得y eq r( eq f(1,12) ) ，這與y2矛盾，故這種情況不存在.7有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列

13、，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個(gè)數(shù).分析一：從后三個(gè)數(shù)入手.解法一：設(shè)所求的四個(gè)數(shù)為 eq f(（xd）2,x) ，xd，x，xd，根據(jù)題意有 eq blc(aal( eq f(（xd）2,x) （xd）21,（xd）x18) ，解得 eq blc(aal(x12,d6) 或 eq blc(aal(x eq f(27,4) ,d eq f(9,2) ) eq f(27,4) 所求四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或 eq f(75,4) ， eq f(45,4) ， eq f(27,4) ， eq f(9,4) .分析二：從前三數(shù)入手.解法二：設(shè)前三個(gè)數(shù)為 eq f(x,q) ，x，xq，則第四個(gè)數(shù)為2xqx.依題設(shè)有 eq blc(aal( eq f(x,q) 2xqx21,xxq18) ，解得 eq blc(aal(x6,q2) 或 eq blc(aal(x eq f(45,4) ,q eq f(3,5) ) 故所求的四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或 eq f(75,4) ， eq f(45,4) ， eq f(27,4) ， eq f(9,4)