新高二2022年暑假講義第8講 圓的方程（解析版）

1、第8講 圓的方程新課標(biāo)要求回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程知識梳理一、圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓其中定點是圓的圓心；定長是圓的半徑2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、點與圓的位置關(guān)系點與圓有三種位置關(guān)系，即點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)判斷點與圓的位置關(guān)系有兩種方法：(1)幾何法：將所給的點M與圓心C的距離跟半徑r比較：若|CM|r，則點M在圓上；若|CM|r，則點M在圓外；若|CM|r2；點M(m，n)在圓C內(nèi)(ma)2(nb)20時，方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方程，其圓心為eq blc(rc)(avs4alco

2、1(f(D,2)，f(E,2)，半徑為eq f(r(D2E24F),2)2當(dāng)D2E24F0時，方程x2y2DxEyF0表示點eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)3當(dāng)D2E24F0)則其位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系代數(shù)關(guān)系點M在圓外xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0點M在圓上xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0點M在圓內(nèi)xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0名師導(dǎo)學(xué)知識點1 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例11】已知圓過兩點A(3，1)，B(1，3)，且它的圓心在直線3xy20上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【

3、解】直線AB的斜率keq f(31,13)eq f(1,2)，所以線段AB的垂直平分線m的斜率為2.又線段AB的中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為xeq f(31,2)1，yeq f(13,2)2，因此直線m的方程為y22(x1)，即2xy0.又因為圓心在直線3xy20上，所以圓心是這兩條直線的交點聯(lián)立方程，得eq blc(avs4alco1(2xy0，,3xy20，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y4.)設(shè)圓心為C，所以圓心坐標(biāo)為(2，4)又因為半徑r|CA|eq r(10)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)210.【例12】ABC的三個頂點分別為A(0，5)，B(1，2)，

4、C(3，4)，求其外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】法一設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2.因為A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的方程，于是有eq blc(avs4alco1(（0a）2（5b）2r2，,（1a）2（2b）2r2，,（3a）2（4b）2r2.)解此方程組，得eq blc(avs4alco1(a3，,b1，,r225.)故所求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y1)225.法二因為A(0，5)，B(1，2)，所以線段AB的中點的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，直線AB的斜率kABeq f(25,10)7.所

5、以線段AB的垂直平分線的方程是yeq f(3,2)eq f(1,7)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，即x7y100，同理，線段BC的垂直平分線的方程是2xy50.由eq blc(avs4alco1(x7y100，,2xy50，)得圓心的坐標(biāo)為(3，1)又因為圓的半徑長req r(（30）2（15）2)5，所以所求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y1)225.【變式訓(xùn)練1-1】圓心為(1，1)且過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22圓的半徑req r(（10）2（10）2)eq r(2)，

6、圓心坐標(biāo)為(1，1)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22.D知識點2 點與圓的位置關(guān)系的判斷【例2-1】已知點A(1，2)不在圓C：(xa)2(ya)22a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值范圍【解】由題意，得點A在圓C上或圓C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，aeq f(5,2)，又a0，a的取值范圍是eq blcrc)(avs4alco1(f(5,2)，0)(0，)【變式訓(xùn)練2-1】已知a，b是方程x2xeq r(2)0的兩個不等的實數(shù)根，則點P(a，b)與圓C：x2y28的位置關(guān)系是()A點P在圓C內(nèi) B點P在圓C外C點P在圓C上 D無法確定由題意，ab1，abeq r(2)，a

7、2b2(ab)22ab12eq r(2)0，解得m0，a2，該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2(y1)21B組-素養(yǎng)提升8若實數(shù)x，y滿足(x5)2(y12)2142，則x2y2的最小值為()A2 B1 C.eqC.eq r(3) D.eqD.eq r(2)由幾何意義可知最小值為14eq r(52122)1.B9已知一圓的圓心為點A(2，3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則圓的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，圓的半徑req r(（20）2（30）2)eq r(13).故所求圓的方程為(x

8、2)2(y3)213.B10圓C的半徑為1，圓心在第一象限，與y軸相切，與x軸相交于點A，B，若|AB|eq r(3)，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_K根據(jù)|AB|eq r(3)，可得圓心到x軸的距離為eq f(1,2)，故圓心坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)eq sup12(2)1.(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)eq sup12(2)111圓(x1)2(y1)21上的點到直線xy2的距離的最大值是_圓(x1)2(y1)21的圓心為C(1，1)，則圓

9、心到直線xy2的距離deq f(|112|,r(12（1）2)eq r(2)，故圓上的點到直線xy2的距離的最大值為eq r(2)1.eq r(2)112已知x，y滿足(x1)2y21，求Seq r(x2y22x2y2)的最小值【解】因為Seq r(x2y22x2y2)eq r(（x1）2（y1）2)，又點(x，y)在圓(x1)2y21上運(yùn)動，即S表示圓上的動點到定點(1，1)的距離，如圖所示，顯然當(dāng)定點(1，1)和圓心(1，0)共線時取得最值，且最小值為eq r(（11）2（01）2)1eq r(5)1，所以Seq r(x2y22x2y2)的最小值為eq r(5)1. &科&網(wǎng)Z&X&X&K

10、13一個等腰三角形ABC底邊上的高等于4，底邊兩端點的坐標(biāo)分別是B(3，0)和C(3，0)，求它的外接圓的方程【解】(1)當(dāng)點A的坐標(biāo)是(0，4)時(如圖)，kABeq f(4,3)，線段AB的中點坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，線段AB的垂直平分線的方程是y2eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，即yeq f(3,4)xeq f(7,8).令x0，則yeq f(7,8).所以圓心的坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,8)，半徑長為4eq f(7,8)eq f(25,8)，此時所求外接圓的方程是x

11、2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).(2)當(dāng)點A的坐標(biāo)是(0，4)時(如圖)，kABeq f(4,3)，線段AB的中點坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，線段AB的垂直平分線的方程是y2eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，即yeq f(3,4)xeq f(7,8).令x0，則yeq f(7,8).所以圓心的坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,8)，半徑長為eq f(7,8)(4)eq f(25,8)，此時所求外接圓的方程是x2eq

12、 blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).綜上可知，所求外接圓的方程是x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64)或x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).2.4.2 圓的一般方程A組-應(yīng)知應(yīng)會1已知ab0，bc0，則直線axbyc通過()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限由題意可把a(bǔ)xbyc化為yeq f(a,b)xeq f(c,b).ab0，直線在y軸上的截距eq

13、 f(c,b)0且l在y軸上的截距不大于零，即eq blc(avs4alco1(a0，,f(a3,5)0，)a3.13已知平面內(nèi)兩點A(8，6)，B(2，2)(1)求AB的中垂線方程；(2)求過點P(2，3)且與直線AB平行的直線l的方程；(3)一束光線從B點射向(2)中的直線l，若反射光線過點A，求反射光線所在直線的方程【解】(1)因為eq f(82,2)5，eq f(62,2)2，所以AB的中點坐標(biāo)為(5，2)因為kABeq f(62,82)eq f(4,3)，所以AB的中垂線的斜率為eq f(3,4)，故AB的中垂線的方程為y2eq f(3,4)(x5)即3x4y230.(2)由(1)知kABeq f(4,3)，所以直線l的方程為y3eq f(4,3)(x2)，即4x3y10.(3)設(shè)B(2，2)關(guān)于直