新高二2022年暑假講義第8講 圓的方程（解析版）

1、第8講 圓的方程新課標(biāo)要求回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程知識(shí)梳理一、圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓其中定點(diǎn)是圓的圓心；定長是圓的半徑2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系，即點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：(1)幾何法：將所給的點(diǎn)M與圓心C的距離跟半徑r比較：若|CM|r，則點(diǎn)M在圓上；若|CM|r，則點(diǎn)M在圓外；若|CM|r2；點(diǎn)M(m，n)在圓C內(nèi)(ma)2(nb)20時(shí)，方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方程，其圓心為eq blc(rc)(avs4alco

2、1(f(D,2)，f(E,2)，半徑為eq f(r(D2E24F),2)2當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程x2y2DxEyF0表示點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)3當(dāng)D2E24F0)則其位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系代數(shù)關(guān)系點(diǎn)M在圓外xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0點(diǎn)M在圓上xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0點(diǎn)M在圓內(nèi)xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)Dx0Ey0F0名師導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例11】已知圓過兩點(diǎn)A(3，1)，B(1，3)，且它的圓心在直線3xy20上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【

3、解】直線AB的斜率keq f(31,13)eq f(1,2)，所以線段AB的垂直平分線m的斜率為2.又線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為xeq f(31,2)1，yeq f(13,2)2，因此直線m的方程為y22(x1)，即2xy0.又因?yàn)閳A心在直線3xy20上，所以圓心是這兩條直線的交點(diǎn)聯(lián)立方程，得eq blc(avs4alco1(2xy0，,3xy20，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y4.)設(shè)圓心為C，所以圓心坐標(biāo)為(2，4)又因?yàn)榘霃絩|CA|eq r(10)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)210.【例12】ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，5)，B(1，2)，

4、C(3，4)，求其外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】法一設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2.因?yàn)锳(0，5)，B(1，2)，C(3，4)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的方程，于是有eq blc(avs4alco1(（0a）2（5b）2r2，,（1a）2（2b）2r2，,（3a）2（4b）2r2.)解此方程組，得eq blc(avs4alco1(a3，,b1，,r225.)故所求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y1)225.法二因?yàn)锳(0，5)，B(1，2)，所以線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，直線AB的斜率kABeq f(25,10)7.所

5、以線段AB的垂直平分線的方程是yeq f(3,2)eq f(1,7)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，即x7y100，同理，線段BC的垂直平分線的方程是2xy50.由eq blc(avs4alco1(x7y100，,2xy50，)得圓心的坐標(biāo)為(3，1)又因?yàn)閳A的半徑長req r(（30）2（15）2)5，所以所求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y1)225.【變式訓(xùn)練1-1】圓心為(1，1)且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22圓的半徑req r(（10）2（10）2)eq r(2)，

6、圓心坐標(biāo)為(1，1)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22.D知識(shí)點(diǎn)2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷【例2-1】已知點(diǎn)A(1，2)不在圓C：(xa)2(ya)22a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】由題意，得點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，aeq f(5,2)，又a0，a的取值范圍是eq blcrc)(avs4alco1(f(5,2)，0)(0，)【變式訓(xùn)練2-1】已知a，b是方程x2xeq r(2)0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)P(a，b)與圓C：x2y28的位置關(guān)系是()A點(diǎn)P在圓C內(nèi) B點(diǎn)P在圓C外C點(diǎn)P在圓C上 D無法確定由題意，ab1，abeq r(2)，a

7、2b2(ab)22ab12eq r(2)0，解得m0，a2，該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2(y1)21B組-素養(yǎng)提升8若實(shí)數(shù)x，y滿足(x5)2(y12)2142，則x2y2的最小值為()A2 B1 C.eqC.eq r(3) D.eqD.eq r(2)由幾何意義可知最小值為14eq r(52122)1.B9已知一圓的圓心為點(diǎn)A(2，3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則圓的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，圓的半徑req r(（20）2（30）2)eq r(13).故所求圓的方程為(x

8、2)2(y3)213.B10圓C的半徑為1，圓心在第一象限，與y軸相切，與x軸相交于點(diǎn)A，B，若|AB|eq r(3)，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_K根據(jù)|AB|eq r(3)，可得圓心到x軸的距離為eq f(1,2)，故圓心坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)eq sup12(2)1.(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)eq sup12(2)111圓(x1)2(y1)21上的點(diǎn)到直線xy2的距離的最大值是_圓(x1)2(y1)21的圓心為C(1，1)，則圓

9、心到直線xy2的距離deq f(|112|,r(12（1）2)eq r(2)，故圓上的點(diǎn)到直線xy2的距離的最大值為eq r(2)1.eq r(2)112已知x，y滿足(x1)2y21，求Seq r(x2y22x2y2)的最小值【解】因?yàn)镾eq r(x2y22x2y2)eq r(（x1）2（y1）2)，又點(diǎn)(x，y)在圓(x1)2y21上運(yùn)動(dòng)，即S表示圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(1，1)的距離，如圖所示，顯然當(dāng)定點(diǎn)(1，1)和圓心(1，0)共線時(shí)取得最值，且最小值為eq r(（11）2（01）2)1eq r(5)1，所以Seq r(x2y22x2y2)的最小值為eq r(5)1. &科&網(wǎng)Z&X&X&K

10、13一個(gè)等腰三角形ABC底邊上的高等于4，底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是B(3，0)和C(3，0)，求它的外接圓的方程【解】(1)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)時(shí)(如圖)，kABeq f(4,3)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，線段AB的垂直平分線的方程是y2eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，即yeq f(3,4)xeq f(7,8).令x0，則yeq f(7,8).所以圓心的坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,8)，半徑長為4eq f(7,8)eq f(25,8)，此時(shí)所求外接圓的方程是x

11、2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).(2)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，4)時(shí)(如圖)，kABeq f(4,3)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)，線段AB的垂直平分線的方程是y2eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，即yeq f(3,4)xeq f(7,8).令x0，則yeq f(7,8).所以圓心的坐標(biāo)是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,8)，半徑長為eq f(7,8)(4)eq f(25,8)，此時(shí)所求外接圓的方程是x2eq

12、 blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).綜上可知，所求外接圓的方程是x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64)或x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(7,8)eq sup12(2)eq f(625,64).2.4.2 圓的一般方程A組-應(yīng)知應(yīng)會(huì)1已知ab0，bc0，則直線axbyc通過()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限由題意可把a(bǔ)xbyc化為yeq f(a,b)xeq f(c,b).ab0，直線在y軸上的截距eq

13、 f(c,b)0且l在y軸上的截距不大于零，即eq blc(avs4alco1(a0，,f(a3,5)0，)a3.13已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(8，6)，B(2，2)(1)求AB的中垂線方程；(2)求過點(diǎn)P(2，3)且與直線AB平行的直線l的方程；(3)一束光線從B點(diǎn)射向(2)中的直線l，若反射光線過點(diǎn)A，求反射光線所在直線的方程【解】(1)因?yàn)閑q f(82,2)5，eq f(62,2)2，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5，2)因?yàn)閗ABeq f(62,82)eq f(4,3)，所以AB的中垂線的斜率為eq f(3,4)，故AB的中垂線的方程為y2eq f(3,4)(x5)即3x4y230.(2)由(1)知kABeq f(4,3)，所以直線l的方程為y3eq f(4,3)(x2)，即4x3y10.(3)設(shè)B(2，2)關(guān)于直