量子力學(xué)課件：第九章 全同粒子系

1、第九章 全同粒子系9.1 全同粒子波函數(shù)的 粒子交換對(duì)稱(chēng)性9.2 氦原子9.1 全同粒子波函數(shù)的粒子交換對(duì)稱(chēng)性（1）全同粒子和全同粒子系（2）分類(lèi)：粒子交換 波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是確定的，與粒子的自旋有關(guān)。Boson； Fermion式中以下簡(jiǎn)記為1. Boson系對(duì)于 s= 0，1，2， 的粒子，多粒子體系波函數(shù)對(duì)于任意兩個(gè)粒子交換是對(duì)稱(chēng)的2. Fermion系對(duì)于 s =1/2，3/2， 的粒子，多粒子體系波函數(shù)對(duì)于任意兩個(gè)粒子交換是反對(duì)稱(chēng)的微觀粒子運(yùn)動(dòng)具有波粒二象性，如果全同，則粒子在波動(dòng)重疊的區(qū)域內(nèi)是完全不可分辨的。全同粒子系中任意二個(gè)粒子交換，體系狀態(tài)不變?nèi)Ｗ拥牟豢煞直嫘栽恚ㄈ栽?/p>

2、理）9.1-1 全同性原理和粒子交換對(duì)稱(chēng)性Hamilton 算符的粒子交換不變性即以下簡(jiǎn)記為有證明:故引入粒子交換算符和設(shè)任一 滿(mǎn)足薛定諤方程用 作用，得的本征值方程、本征值和本征函數(shù)描述同一個(gè)量子態(tài),故只差一個(gè)因子即本征值方程全同粒子系任一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都是 的本征態(tài)由本征值方程有本征值由定義有對(duì)于全同粒子系波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換是(全)對(duì)稱(chēng)的對(duì)于全同粒子系波函數(shù)對(duì)于兩個(gè)粒子交換是(全)反對(duì)稱(chēng)的任意全同粒子系的波函數(shù)都具有粒子交換對(duì)稱(chēng)性，“對(duì)稱(chēng)”或“反對(duì)稱(chēng)”，且不隨時(shí)間變化。守恒量且是守恒量9.1-2 量子力學(xué)的第五條假設(shè)一個(gè)由全同粒子組成的微觀多粒子體系的任意運(yùn)動(dòng)狀態(tài)波函數(shù)對(duì)于任意兩個(gè)粒子交換而

3、言具有對(duì)稱(chēng)性。玻色子系的波函數(shù)是兩粒子交換全對(duì)稱(chēng)的，費(fèi)米子系的波函數(shù)是兩粒子交換全反對(duì)稱(chēng)的。注意:可以不含粒子的自旋坐標(biāo)；波函數(shù)需包含空間和自旋坐標(biāo)?！叭钡暮x:同時(shí)交換9.1-3 獨(dú)立粒子模型;全同粒子系的波函數(shù)以多電子原子為例。設(shè)原子內(nèi)有N(Z)個(gè)電子，哈密頓算符為：寫(xiě)成其中每個(gè)電子所受的平均勢(shì)場(chǎng)單電子的哈密頓算符的本征值方程為可寫(xiě)成其本征值譜為 ，正交歸一本征函數(shù)組若取 ，的本征值方程為令得類(lèi)氫原子的本征函數(shù)此時(shí)相當(dāng)于類(lèi)氫原子此時(shí)與 的本征值方程比較有在全同粒子系中，粒子間并不是沒(méi)有相互作用。把其它粒子對(duì)于某一粒子的作用用一種平均勢(shì)場(chǎng)的作用來(lái)代替，這樣每個(gè)粒子好像都是在等效的勢(shì)場(chǎng)中作與

4、其它粒子無(wú)關(guān)的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，每個(gè)粒子都有自己的本征值和本征函數(shù)(單粒子態(tài))。體系的本征函數(shù)為獨(dú)立粒子模型滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性?全同粒子系的波函數(shù)全同費(fèi)米子系: 本征函數(shù)是兩個(gè)粒子交換全反對(duì)稱(chēng)滿(mǎn)足粒子交換反對(duì)稱(chēng)不滿(mǎn)足反對(duì)稱(chēng)由 構(gòu)造可以看出 仍然滿(mǎn)足本征值方程是 的具有相同本征值的本征函數(shù)全同玻色子系：本征函數(shù)是兩個(gè)粒子交換全對(duì)稱(chēng)波色子可以有任意多個(gè)粒子處于同一個(gè)單粒子態(tài)因?yàn)樵O(shè)共有N個(gè)波色子，其中有此時(shí)，對(duì)稱(chēng)的波函數(shù)可由 構(gòu)造為交換只對(duì)處于不同狀態(tài)的粒子進(jìn)行，滿(mǎn)足所以， 的具有相同本征值的歸一化本征函數(shù)為這樣交換共有9.1-4 泡利不相容原理多電子系若 ,即兩電子處于相同的單電子態(tài)，則在一個(gè)多電子原子中，不可能

5、有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子處于同一狀態(tài)，即每一個(gè)單電子態(tài)只能容納一個(gè)電子。_泡利不相容原理可推廣到費(fèi)米子系9.1-5 二電子體系當(dāng)單電子的哈密頓算符 不含自旋時(shí)分離變量為所以 的四種形式為：作線(xiàn)性組合，有可以相等，也可以不相等以上本征函數(shù)為空間坐標(biāo)交換反對(duì)稱(chēng)而自旋坐標(biāo)交換對(duì)稱(chēng)自旋態(tài)矢量為對(duì)稱(chēng)的總自旋三重態(tài)三式須滿(mǎn)足與對(duì)稱(chēng)的自旋態(tài)矢量 的乘積是反對(duì)稱(chēng)的空間波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)空間波函數(shù)對(duì)稱(chēng)的自旋態(tài)矢量為總自旋三重態(tài)此為空間坐標(biāo)交換對(duì)稱(chēng)而自旋坐標(biāo)交換反對(duì)稱(chēng)是對(duì)稱(chēng)的空間波函數(shù) 與反對(duì)稱(chēng)的自旋態(tài)矢量 的乘積對(duì)稱(chēng)空間波函數(shù)有當(dāng)總自旋單態(tài)對(duì)于兩粒子交換都是反對(duì)稱(chēng)的反對(duì)稱(chēng)自旋態(tài)矢量9.2 氦原子9.2-1 氦原子的哈密頓量9.2-3 激發(fā)態(tài)9.2-2 氦原子的基態(tài)能級(jí)和波函數(shù)由于 中不含自旋變量，故空間波函數(shù)滿(mǎn)足定態(tài)薛定諤方程9.2-1 氦原子的哈密頓算符二電子體系（1） 的分解9.2-2 氦原子的基態(tài)能級(jí)和波函數(shù)記類(lèi)氫原子其中其解為的定態(tài)能量為零級(jí)近似波函數(shù)為式中(2)基態(tài)：零級(jí)近似波函數(shù)此時(shí)空間波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的,自旋態(tài)矢量反對(duì)稱(chēng)基態(tài)零級(jí)近似能量(3)基態(tài)能量的一級(jí)修正基態(tài)能量（1）激發(fā)態(tài)的波函數(shù)考慮單激發(fā)態(tài):9.2-3 激發(fā)態(tài)一個(gè)電子處于另一個(gè)電子處于（2）激發(fā)態(tài)能量能量零級(jí)近似有 度簡(jiǎn)并,