信號(hào)與系統(tǒng)：3-6 傅里葉變換的性質(zhì)

1、3.6 傅里葉變換的性質(zhì)北京航空航天大學(xué)電子信息學(xué)院2022/7/9信號(hào)與系統(tǒng)一、基于傅里葉變換定義的性質(zhì)1對(duì)稱性兩者在形式上存在驚人的相似性。令，相應(yīng)地一、基于傅里葉變換定義的性質(zhì)1對(duì)稱性 (a) 矩形脈沖 (b) 矩形脈沖信號(hào)傅里葉變換矩形脈沖信號(hào)及其傅里葉變換 (a) Sa信號(hào) (b) Sa信號(hào)傅里葉變換Sa信號(hào)及其傅里葉變換一、基于傅里葉變換定義的性質(zhì)2奇偶虛實(shí)性傅里葉變換是傅里葉級(jí)數(shù)乘以常數(shù)再取極限，這個(gè)過程不改變運(yùn)算結(jié)果的奇偶虛實(shí)性，傅里葉變換具有與傅里葉級(jí)數(shù)相同的奇偶虛實(shí)性。對(duì)于實(shí)信號(hào)f(t)，其 為 的偶函數(shù)， 為 的奇函數(shù) 1. 當(dāng)信號(hào)f(t)為實(shí)偶函數(shù)時(shí)， 為實(shí)偶函數(shù)。 2

2、. 當(dāng)信號(hào)f(t)為實(shí)奇函數(shù)時(shí)， 為虛奇函數(shù)。 二、基于信號(hào)時(shí)間變量運(yùn)算的性質(zhì)1反褶性質(zhì)根據(jù)傅里葉變換的定義， 又根據(jù)傅里葉變換的奇偶虛實(shí)性， 和 分別為 的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則有由FT的奇偶虛實(shí)性， 的實(shí)部是變量t的偶函數(shù)，虛部是t的奇函數(shù)，則可直接得到二、基于信號(hào)時(shí)間變量運(yùn)算的性質(zhì)2時(shí)移性質(zhì)根據(jù)傅里葉變換的定義， 因 ，所以 。這說明信號(hào)的時(shí)移不影響其幅頻特性，只改變其相頻特性。 二、基于信號(hào)時(shí)間變量運(yùn)算的性質(zhì)3壓擴(kuò)特性根據(jù)傅里葉變換的定義， 1）當(dāng) 時(shí)，令 ，則2）當(dāng) 時(shí)，令 ，則綜合1）和2）兩種情況，得到二、基于信號(hào)時(shí)間變量運(yùn)算的性質(zhì)3壓擴(kuò)特性信號(hào)在時(shí)域展寬，而其頻譜在頻域壓縮 信號(hào)在

3、時(shí)域壓縮，而其頻譜在頻域展寬 二、基于信號(hào)時(shí)間變量運(yùn)算的性質(zhì)4時(shí)間運(yùn)算綜合特性三、基于信號(hào)幅度變量運(yùn)算的性質(zhì)1線性性質(zhì)根據(jù)傅里葉變換的定義， 傅里葉變換的線性特性是積分運(yùn)算的線性特性所決定的。 三、基于信號(hào)幅度變量運(yùn)算的性質(zhì)2時(shí)域微分根據(jù)傅里葉變換的定義， 兩邊對(duì)t進(jìn)行微分，得到 由傅里葉變換的定義， 三、基于信號(hào)幅度變量運(yùn)算的性質(zhì)2時(shí)域微分需要注意的是，時(shí)域微分特性在應(yīng)用中需要注意微分與積分不完全互逆，函數(shù)加上任意常數(shù)的微分與原函數(shù)的微分相同，這和第二章中應(yīng)用卷積的微分積分特性需要注意的問題是相同的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)將信號(hào)中的直流分量提取出來單獨(dú)處理。 三、基于信號(hào)幅度變量運(yùn)算的性質(zhì)3

4、時(shí)域積分根據(jù)傅里葉變換的定義， 將 改寫為 ，則 交換t與 的積分順序，得到， 三、基于信號(hào)幅度變量運(yùn)算的性質(zhì)3時(shí)域積分請(qǐng)注意 表示 的傅里葉變換，且則 因?yàn)?在 時(shí)取值為0，所以 四、基于信號(hào)頻域運(yùn)算的性質(zhì)1頻移特性根據(jù)傅里葉變換的定義， 依據(jù)同樣的過程，可以很容易地證明四、基于信號(hào)頻域運(yùn)算的性質(zhì)2頻域微分根據(jù)傅里葉變換的定義， 由傅里葉變換的定義，得兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得到 五、基于卷積運(yùn)算的性質(zhì)1時(shí)域卷積定理交換積分順序，得到根據(jù)傅里葉變換的定義， 根據(jù)傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)五、基于卷積運(yùn)算的性質(zhì)時(shí)域卷積定理與時(shí)域微分性質(zhì)的關(guān)系根據(jù)時(shí)域卷積定理， 顯然，所得結(jié)果相同，但分析過程大為簡化?？梢詫(t)的積分運(yùn)算看成是 f(t)與u(t)的卷積運(yùn)算，即五、基于卷積運(yùn)算的性質(zhì)2頻域卷積定理交換積分順序，得到根據(jù)傅里葉逆變換的定義， 根據(jù)傅里葉變換的頻移性質(zhì)六、傅里葉變換性質(zhì)的應(yīng)用本節(jié)似乎沒有討論信號(hào)乘法運(yùn)算的傅里葉變換的性質(zhì)。傅里葉變換的特性實(shí)際上給出了計(jì)算信號(hào)傅里葉變換的方法 一般信號(hào)基本信號(hào) F 基本信號(hào) F 一般信號(hào) F 基本信號(hào)一般信號(hào)基本信號(hào) 一般信號(hào)多個(gè)基本信