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文檔簡介

1、2021-2022學年四川省瀘州市瀘縣高二下學期第一學月(3月)考試數學(理)試題一、單選題1某公司將個產品,按編號為,從小到大的順序均勻的分成若干組,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個樣本進行檢測,若第一組抽取的編號是,第二組抽取的編號是,則樣本中最大的編號應該是()ABCDA【分析】先求樣本間隔,然后根據抽查樣本容量,結合系統(tǒng)抽樣的定義進行求解即可【詳解】樣本間隔為18315,即抽取樣本數為1512,則最大的樣本編號為3+1511168,故選:A2命題“若”,則的否命題是()A“若,則”B“若,則”C“若,則”D“若,則”A根據否命題的轉化規(guī)則,進行轉化并選擇即可.【詳解】根據否命題的要求,需要將條

2、件和結論都要否定,故命題:若,則的否命題是:若,則.故選:A.本題考查命題的否命題的求解,注意條件和結論都要進行否定.3甲乙兩組數的數據如莖葉圖所示,則甲乙的平均數方差極差及中位數中相同的是()A極差B方差C平均數D中位數C根據莖葉圖中數據的波動情況,可直接判斷方差不同;根據莖葉圖中的數據,分別計算極差、中位數、平均數,即可得出結果.【詳解】由莖葉圖可得:甲的數據更集中,乙的數據較分散,所以甲與乙的方差不同;甲的極差為;乙的極差為,所以甲與乙的極差不同;甲的中位數為,乙的中位數為,所以中位數不同;甲的平均數為,乙的平均數為,所以甲乙的平均數相同;故選:C.4已知樣本,的平均數為2,方差為5,則

3、,的平均數和方差分別為()A4和10B5和11C5和21D5和20D利用平均數和方程的性質可算出答案.【詳解】因為樣本,的平均數為2,方差為5,所以,的平均數為,方差為故選:D本題考查的是平均數和方程的性質,較簡單.5函數的導數是()ABCDD【分析】直接根據基本初等函數的導數公式及導數的運算法則計算可得;【詳解】解:因為所以故選:D本題考查導數的計算,基本初等函數的導數公式的應用,屬于基礎題.6函數的極小值是()A4B2C4D2D【分析】首先求出函數的導函數,說明其單調性,即可得到函數的極值點,從而求出函數的極小值;【詳解】解:因為,所以令,解得或,可得或時,當時,所以在和上單調遞增,上單調

4、遞減;故函數在處取得極小值,故選:D本題考查利用導數研究函數的單調性、極值,屬于基礎題.7“”是“函數在區(qū)間單調遞增”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A【詳解】分析:求出導函數,若函數在單調遞增,可得 在區(qū)間上恒成立解出,故選A 即可詳解: ,若函數函數在單調遞增, 在區(qū)間上恒成立 ,而在區(qū)間上單調遞減,即“”是“函數在單調遞增”的充分不必要條件.故選A.點睛:本題考查充分不必要條件的判定,考查利用導數研究函數的單調性、恒成立問題的等價轉化方法,屬中檔題8直三棱柱中,側棱長為2,D是的中點,F是上的動點,交于點E要使,則線段的長為()AB1CD2B【分析】先證

5、明,再求出,中, 勾股定理求出,再利用面積相等求出的長.【詳解】設 ,平面, ,由已知可得 ,設 斜邊上的高為,則,對三角形使用等面積法得 ,,所以由中位線定理知,在中, ,對使用等面積法得 ,解得 ,故選:B.9設三棱柱的側棱垂直于底面,且三棱柱的所有頂點都在同一球面上,則該球的表面積是( )ABCDD【詳解】試題分析:依題三棱柱的外接球即為底面為正方形(邊長為)、高為的長方體外接球,其直徑為長方體的體對角線,且為,故所求球體表面積為長方體外接球10若不等式對所有正數x,y均成立,則實數m的最小值是()ABC3D4B【分析】由題意可知對所有正數x,y均成立,即,然后結合均值不等式求出的最大值

6、即可.【詳解】解:對所有正數x,y均成立,對所有正數x,y均成立,又,當且僅當時等號成立,故m的最小值為故B11拋物線的焦點為,準線為,是拋物線上的兩個動點,且滿足,設線段的中點在上的投影為,則的最大值是( )ABCDB【詳解】試題分析:設在直線上的投影分別是,則,又是中點,所以,則,在中,所以,即,所以,故選B拋物線的性質【名師點晴】在直線與拋物線的位置關系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準線(或與準線平行的直線)的距離時,常??紤]用拋物線的定義進行問題的轉化象本題弦的中點到準線的距離首先等于兩點到準線距離之和的一半,然后轉化為兩點到焦點的距離,從而與弦長之間

7、可通過余弦定理建立關系12若關于x的不等式成立,則的最小值是ABCDA【分析】構造函數,利用函數圖象的性質,借助數形結合,確定最小值,即可得到答案【詳解】令,函數單調遞增,函數單調遞減,且 時,繪制函數的圖象如圖所示,滿足題意時,直線恒不在函數圖象的下方,很明顯時不合題意,當時,令可得:,故取到最小值時,直線在x軸的截距最大,令可得:,據此可得:的最小值是故選A本題主要考查了導函數研究函數圖象的性質及其應用,其中解答合理利用導數得出函數的單調性,刻畫處函數的性質上解答的關鍵,著重考查了數形結合的數學思想,等價轉化的數學思想等知識,屬于中等題二、填空題13雙曲線的實軸長與虛軸長之比為_.【分析】

8、根據雙曲線方程,求得,即可求得實軸長和虛軸長,進而求比值即可.【詳解】因為雙曲線方程為,故,故,則實軸長,虛軸長,故其比值為.故答案為.14在平面直角坐標系中,曲線在處的切線方程是_【分析】根據導數幾何意義得切線斜率,再根據點斜式得結果.【詳解】因為,所以,因此在x0處的切線斜率為,因為x0時,所以切線方程是本題考查導數幾何意義,考查基本求解能力.屬基礎題.15若點為圓的弦的中點,則弦所在直線方程為_.【詳解】試題分析:因為 為圓的弦的中點,所以圓心坐標為,所在直線方程為,化簡為,故答案為.1、兩直線垂直斜率的關系;2、點斜式求直線方程.16函數,若,則實數的取值范圍是_【分析】先研究函數在上

9、的奇偶性與單調性,然后運用函數的性質求解不等式.【詳解】解:因為的定義域為,且,所以函數為奇函數,因為當時,恒成立,所以函數在為增函數,故等價于,即,根據函數的定義域及單調性可得,解得,故x的取值范圍是.本題考查了函數性質的運用,判斷函數的奇偶性一定要注意定義域的分析,函數單調性的判斷往往可以借助導數、圖像等方法進行研究.三、解答題17下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據:x3456y2.5344.5(1)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出y關于的線性回歸方程;(2)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準

10、煤,試根據(1)求出的線性回歸方程,預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤?(參考數值:,用最小二乘法求線性回歸方程系數公式).(1);(2)19.65噸.【分析】(1)先利用所給數據求出中心點值,再代入所給公式進行求解;(2)根據(1)求出的線性回歸方程進行預測.【詳解】(1)由系數公式可知:,所以線性回歸方程為.(2)當時,.所以比改造前降低了19.65噸標準煤.18已知函數(1)求的單調減區(qū)間(2)若在區(qū)間上的最大值為,求它在該區(qū)間上的最小值.(1) (,1),(3,)(2)-7【詳解】試題分析:()先求出函數f(x)的導函數f(x),然后令f(x)0,解得的區(qū)間即為函

11、數f(x)的單調遞減區(qū)間;()先求出端點的函數值f(2)與f(2),比較f(2)與f(2)的大小,然后根據函數f(x)在1,2上單調遞增,在2,1上單調遞減,得到f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小值,建立等式關系求出a,從而求出函數f(x)在區(qū)間2,2上的最小值解:()f(x)=3x2+6x+9令f(x)0,解得x1或x3,所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(,1),(3,+)()因為f(2)=8+1218+a=2+a,f(2)=8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(2)因為在(1,3)上f(x)0,所以f(x)在1,2上單調遞增,又由于f(x)在2,1上單調遞

12、減,因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=2故f(x)=x3+3x2+9x2,因此f(1)=1+392=7,即函數f(x)在區(qū)間2,2上的最小值為7點評:本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系,即當導函數大于0時原函數單調遞增,當導函數小于0時原函數單調遞減以及在閉區(qū)間上的最值問題等基礎知識,同時考查了分析與解決問題的綜合能力19在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,PA平面ABCD,E,F分別是線段AD,PB的中點,.(1)求證:EF平面DCP;(2)求平面EFC與平面PDC所成銳二面角的余弦值.(1)見解析(2

13、) 【詳解】(1)取中點,連接,易得四邊形為平行四邊形,從而所以平面;(2)平面,且四邊形是正方形,兩兩垂直,以為原點,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,求出平面與平面的法向量,代入公式得到所成銳二面角的余弦值.解:取中點,連接,分別是中點, ,為中點,為正方形,,四邊形為平行四邊形,平面,平面,平面. 平面,且四邊形是正方形,兩兩垂直,以為原點,所在直線為軸,建立空間直角坐標系, 則 設平面法向量為,則, 即,取,則設平面法向量為,則, 即, 取,.平面與平面所成銳二面角的余弦值為.點睛:本題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(

14、1)觀察圖形,建立恰當的空間直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據定理結論求出相應的角和距離.20已知函數求曲線在點處的切線方程若函數,恰有2個零點,求實數a的取值范圍(1) x+y-1=0.(2) .【分析】(1)求得f(x)的導數,可得切線的斜率和切點,即可得到所求切線方程;(2) 函數恰有2個零點轉化為兩個圖象的交點個數問題,數形結合解題即可.【詳解】(1)因為,所以.所以又所以曲線在點處的切線方程為即.(5分)(2)由題意得,所以.由,解得,故當

15、時,在上單調遞減;當時,在上單調遞增.所以.又,若函數恰有兩個零點,則解得. 所以實數的取值范圍為.本題考查函數零點問題.函數零點問題有兩種解決方法,一個是利用二分法求解,另一個是化原函數為兩個函數,利用兩個函數的交點來求解.21已知一動圓經過點,且在軸上截得的弦長為4,設動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點任意作相互垂直的兩條直線,分別交曲線于不同的兩點和不同的兩點.設線段的中點分別為.求證:直線過定點R,并求出定點R的坐標;求的最小值.(1)(2)證明見解析,;4【分析】(1)設圓心坐標,然后根據半徑、圓心到直線距離和弦長一半之間的關系列方程化簡可得;(2)設直線方程與拋物線方程聯立消元,利用韋達定理表示出P、Q坐標,然后考察其方程可得;用兩點間距離公式表示出,通過換元轉化為二次函數求解可得.【詳解】(1)設圓心.則半徑、圓心到y(tǒng)軸距離和弦長一半滿足勾股定理.化簡得: 曲線的方程為.(2)易知直線的斜率存在且不為0,設直線的斜率為,.則直線的方程為.由消去,得.同理可得.當或時,直線的方程為;當且時,直線的斜率為.直線的方程為,即.直線過定點R,其坐標為.由,知,. (當且僅當或時取等號),記.當時,的最小值為16.當即或時,的最小值為4.22已知函數,函數的圖象在點處的切線平行于軸.(

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