概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件統(tǒng)計(jì)2

1、12.2隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)：設(shè)X是隨機(jī)變量，g(x)是x的一個(gè)函數(shù)(一般連續(xù))，如果當(dāng)隨機(jī)變量X取值x時(shí)，另一個(gè)隨機(jī)變量Y必取值g(x)，則稱隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)，記作Y= g(X)。 顯然，隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量 問題:如何由隨機(jī)變量X的分布求其函數(shù)Y= g(X)的分布？(有時(shí)X分布易知，而Y的分布難求)2一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般思想方法XPkY=g(X)或： Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, (若其中g(shù)(xk)有相同的，其對(duì)應(yīng)概率合并。)3例題與解答例1:已知X的分布律如下表，

2、求Y=2X-1和Z=X2的概率分布。XP-1 0 1解:由函數(shù)關(guān)系易知Y的可取值為:-3,-1,1;分布律為:YP-3 -1 1Z的可取值為: 0,1;分布律為:PZ=0=PX=0=1/3PZ=1=PX=-1+PX=1=2/3ZP0 1PY=-3=PX=-1=1/3PY=-1=PX=0=1/3PY=1 =PX=1=1/3事件合并例題與解答4即例題與解答5 1 0 -1二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布67連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)情形舉例例：設(shè)X在0,1上服從均勻分布求Y=2X的分布函數(shù)與概率密度。解:當(dāng)y0時(shí)，當(dāng)0y2時(shí)當(dāng)y2,(y/21)時(shí)8連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的“分布函數(shù)法

3、”若Xf(x), -x+, Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù),則先將事件“Y在范圍Yy取值”轉(zhuǎn)化為“X在相應(yīng)范圍I(y): g(X) y(積分區(qū)間)內(nèi)取值”,然后求Y的分布函數(shù) FY(y) PYyPg(X) y最后再求Y的密度函數(shù)這種方法就是所謂的“分布函數(shù)法”9例題與解答例3.設(shè)X在-1,1上服從均勻分布即X U(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。解:當(dāng)0y1時(shí)當(dāng)y0,(x=)時(shí)當(dāng)y1,(x21)時(shí)y=x2=PYy=PX2y=10例題與解答例4.設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)且導(dǎo)數(shù)恒不為零，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函數(shù)為若y=g(x)單調(diào)遞減,則FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y的概率密度為若y=g(x)單調(diào)遞增,則FY(y)=PYy=Pg(X)y=PX g-1(y)=FX(g-1(y)Y的概率密度為11“公式法”求分布(定理2.2)定理2.2：若XfX(x), y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)且導(dǎo)數(shù)恒不為零.記x=h(y)為yg(x)的反函數(shù),(a,b)是yg(x)的值域,其中-ab0,其反函數(shù)x=lny可導(dǎo)且(lny)=1/y 0，由定理2.2，有13續(xù)上頁對(duì)Z=X2 ,由于g(x)=x2不是單調(diào)函數(shù),故只能