暑期班第11講.平面向量的概念、線性運算和基本定理.學(xué)生版

1、 PAGE14 / NUMPAGES14 第11講平面向量的概念、線性運算與基本定理高考要求平面向量平面向量平面向量的相關(guān)概念B向量的線性運算向量加法與減法C向量的數(shù)乘C兩個向量共線B平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的基本定理A平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示B用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算C用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件C平面向量的數(shù)量積數(shù)量積C數(shù)量積的坐標(biāo)表示C用數(shù)量積表示兩個向量的夾角B用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系C向量的應(yīng)用用向量方法解決簡單的問題B理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾

2、何意義，以及兩個向量共線的條件了解向量的線形運算性質(zhì)及其幾何意義了解平面向量的基本定理及其幾何意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘向量運算；會用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；知道平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系知識精講板塊一：向量的線性運算（一）知識內(nèi)容向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算，通常叫做向量的線性運算1向量的概念： 向量的概念：在高中階段，我們把具有大小和方向的量稱為向量有些向量不僅有大

3、小和方向，而且還有作用點例如，力就是既有大小和方向，又有作用點的向量有些量只有大小和方向，而無特定的位置例如，位移、速度等，通常把后一類向量叫做自由向量高中階段學(xué)習(xí)的主要是自由向量，以后我們說到向量，如無特別說明，指的都是自由向量是可以任意平行移動的向量不同于數(shù)量，數(shù)量之間可以進行各種代數(shù)運算，可以比較大小，兩個向量不能比較大小 向量的表示：幾何表示法：用有向線段表示向量，有向線段的方向表示向量的方向，線段的長度表示向量的長度字母表示法：，注意起點在前，終點在后 相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等向量 向量共線或平行：通過有向線段的直線，叫做向量的基線如果向量的基線互相平行或重

4、合，則稱這些向量共線或平行向量平行于向量，記作說明：共線向量的方向相同或相反，注意：這里說向量平行，包含向量基線重合的情形，與兩條直線平行的概念有點不同事實上，在高等數(shù)學(xué)中，重合直線是平行直線的特殊情形 零向量：長度等于零的向量，叫做零向量記作：零向量的方向不確定，零向量與任意向量平行 用向量表示點的位置：任給一定點和向量，過點作有向線段，則點相對于點位置被向量所唯一確定，這時向量又常叫做點相對于點的位置向量2向量的加法： 向量加法的三角形法則：已知向量，在平面上任取一點，作，再作向量，則向量叫做和的和（或和向量），記作，即 向量求和的平行四邊形法則： 已知兩個不共線的向量，作，則，三點不共線

5、，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線上的向量，這個法則叫做向量求和的平行四邊形法則 向量的運算性質(zhì)：向量加法的交換律：向量加法的結(jié)合律：關(guān)于： 向量求和的多邊形法則：已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的始點為始點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量這個法則叫做向量求和的多邊形法則3.向量的減法： 相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量，記作零向量的相反向量仍是零向量 差向量定義：如果把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點，被減向量的終點為終點的向量推論：一個向量等于它的終點相對于點的位置向量減去它的始點相對于點的位置向量，或簡記“終

6、點向量減始點向量” 一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量4.數(shù)乘向量：定義：實數(shù)和向量的乘積是一個向量，記作，且的長判斷正誤：已知；（） ；（）；（）（）5.向量共線的條件 平行向量基本定理：如果，則；反之，如果，且，則一定存在唯一的一個實數(shù)，使 單位向量：給定一個非零向量，與同方向且長度等于的向量，叫做向量的單位向量如果的單位向量記作，由數(shù)乘向量的定義可知或（二）典例分析 已知的兩條對角線交于點，設(shè)，用向量和表示向量， 已知的兩條對角線交于點，設(shè)對角線=，=，用，表示，設(shè)是正六邊形的中心，若，試用向量，表示、如圖，、分別是的邊、的靠近的三等分點求證：，且已知，則已知，方向相同，且

7、，則已知矩形中，寬為，長為，試作出向量，并求其長度下列命題中正確的有：（）四邊形是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)；向量與是兩平行向量；向量與是共線向量，則，四點必在同一直線上；單位向量不一定都相等；與共線，與共線，則與也共線；平行向量的方向一定相同；如圖所示，是的個等分點，以，及這個點中任意兩個為起始點和終點的向量中，模等于半徑倍的向量有多少個？（第14屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽）已知正六邊形，在下列表達式：；中，與等價的有（ ）A個 B個 C個 D個設(shè)是不共線的向量，已知向量，若三點共線，求的值設(shè)，為非零向量，其中任意兩個向量不共線，已知與共線，且與共線，則 證明：若向量的終點共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)滿足

8、等式，使得（2007年某）如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，則的值為（2008年全國）在中，若點滿足，則（ ）ABCD（2009某高考卷）在平行四邊形中，和分別是邊和的中點若，其中，則在平行四邊形中，和分別是邊和的點且，若，其中，則（2008某）設(shè)，分別是的三邊、上的點，且則與（）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直板塊二：向量的分解與基本定理（一）知識內(nèi)容1平面向量基本定理：如果和是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的一對實數(shù)，使2基底：我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記作叫做向量關(guān)于基底的分解式說明

9、： 定理中，是兩個不共線向量； 是平面內(nèi)的任一向量，且實數(shù)對，是惟一的； 平面的任意兩個不共線向量都可作為一組基底 平面向量基本定理的證明：在平面內(nèi)任取一點，作，由于與不平行，可以進行如下作圖：過點作的平行（或重合）直線，交直線于點，過點作的平行（或重合）直線，交直線于點，于是依據(jù)平行向量基本定理，存在兩個唯一的實數(shù)和分別有，所以證明表示的唯一性：如果存在另對實數(shù)，使，則，即，由于與不平行，如果與中有一個不等于，不妨設(shè)，則，由平行向量基本定理，得與平行，這與假設(shè)矛盾，因此，即， 證明，三點共線或點在線上的方法：已知、是直線上的任意兩點，是外一點，則對直線上任意一點，存在實數(shù)，使關(guān)于基底的分解式

10、為 ，并且滿足式的點一定在上證明：設(shè)點在直線上，則由平行向量定理知，存在實數(shù)，使，設(shè)點滿足等式，則，即在上其中式可稱為直線的向量參數(shù)方程式，當(dāng)時，點是的中點，則，這是向量的中點的向量表達式可推廣到中，若為邊中點，則有存在（二）典例分析已知的兩條對角線與交，是任意一點求證：+=如圖，已知的面積為，、分別為邊、上的點， 且，、交于點，求的面積如圖，平行四邊形中，分別是的中點，為的交點，若=，=，試以，為基底表示、證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形已知五邊形，、分別是邊、的中點，、分別是和的中點，求證：平行且等于四邊形中，分別為，的中點，為的中點，試用向量的方法證明：也是的中點 （2008年某高考） 在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則（）ABCD（2009年某高考） 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起若， 則， =（2009年某高考改編） 若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點滿足，則，（用，向量表示）家庭作業(yè)根據(jù)圖示填空： ； 化簡下列各式： ； 設(shè)向量，且點的坐標(biāo)