北京試題點(diǎn)評(píng)

1、第 PAGE 3 頁(yè) 共 NUMPAGES 3 頁(yè)“剖析壓軸題，改編更精彩”創(chuàng)新與應(yīng)用，是人類的靈魂2013年北京中考試題第25題江蘇省啟東中學(xué) 張 杰電子郵箱： HYPERLINK mailto: 手機(jī)新課改后的中考試題，重點(diǎn)突出了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法及基本生活經(jīng)驗(yàn)的考查, 壓軸題通常以“實(shí)踐與操作，綜合與探究，創(chuàng)新與應(yīng)用”為命題原則，考查學(xué)生的潛在能力，本文就北京市2013年壓軸題作如下改編：原題：（2013北京25）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系O中的點(diǎn)P和C，給出如下定義：若C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得APB=60，則稱P為C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D（，），E

2、（0，-2），F(xiàn)（，0）（1）當(dāng)O的半徑為1時(shí)，在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_；過點(diǎn)F作直線交軸正半軸于點(diǎn)G，使GFO=30，若直線上的點(diǎn)P（，）是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑的取值范圍。規(guī)范解答： (1) ； 由題意可知，若點(diǎn)要?jiǎng)偤檬菆A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)到圓的兩條切線和之間所夾的角度為，由圖可知，則，連接，則，若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；則需點(diǎn)到圓心的距離滿足；由上述證明可知，考慮臨界位置的點(diǎn)，如圖2；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，過作軸的垂線，垂足為，易得點(diǎn)與點(diǎn)重合，過作軸于點(diǎn)，易得，從而若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)必在線段上，；(2) 若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓

3、的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段的中點(diǎn)，考慮臨界情況，如圖3，即恰好點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)時(shí)，則，此時(shí)，故若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查圓中的位置關(guān)系、解直角三角形等相關(guān)知識(shí)。知識(shí)要點(diǎn)是：（1）從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等，此點(diǎn)與圓心的連線平分兩切線的夾角；（2）特殊角的三角函數(shù)值?？疾榈乃枷敕椒ㄓ校恨D(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想。難點(diǎn)：把“新定義”通過知識(shí)正遷移到已學(xué)知識(shí)。突破口是通過對(duì)第（1）小題問的回答，猜想點(diǎn)P滿足的大致條件，然后根據(jù)“極端有理”證之。改編之一：同原題，增補(bǔ)第（3）問：實(shí)踐與應(yīng)用：某地區(qū)周圍半徑為10km的范

4、圍內(nèi)發(fā)生疫情，而所有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的區(qū)域受到影響，在該區(qū)域旁邊有一條筆直的高速公路，離疫情中心的最短距離是km，試問公路上行駛的汽車是否受到影響？若在此區(qū)域停留時(shí)間超過分鐘時(shí)，就有可能感染，試求汽車至少以多少速度行駛，才能不受到感染。說明：此原題似乎是意猶未盡，再增加上述小題，顯得更為實(shí)用。本小題考查垂徑定理、行程問題。答案：根據(jù)原題的探究過程可知，受到影響的區(qū)域是一個(gè)半徑為20km的圓形內(nèi)，故此公路上行駛的汽車一定受到影響，可計(jì)算知弦長(zhǎng)為20km，從而所求速度是。 改編之二：閱讀理解對(duì)于平面直角坐標(biāo)系O中的點(diǎn)P和線段AB，給出如下定義：若，稱點(diǎn)P是線段AB的“友好點(diǎn)”。已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0）和B（5，0），在點(diǎn)、中，線段AB的“友好點(diǎn)”是 ；若直線上存在著線段AB的“友好點(diǎn)”， 求的取值范圍； 若直線上存在著線段AB的“友好點(diǎn)”， 直接寫出的取值范圍。 靈活應(yīng)用 某海軍部隊(duì)在祖國(guó)領(lǐng)海進(jìn)行軍事演習(xí)，靶場(chǎng)設(shè)在長(zhǎng)10海里寬海里的條形區(qū)域內(nèi)，若將其視為一線段，且由“友好點(diǎn)”組成的區(qū)域是“危險(xiǎn)區(qū)”，試求“危險(xiǎn)區(qū)”面積。 說明：本題與原題十分相似，也是要求學(xué)生正確理解“友好點(diǎn)”的定義，從而考查“同弧所對(duì)的圓周角相等”、“ 三角形外接圓半徑”計(jì)算方法、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)。 答案：