北京試題點評

1、第 PAGE 3 頁 共 NUMPAGES 3 頁“剖析壓軸題，改編更精彩”創(chuàng)新與應(yīng)用，是人類的靈魂2013年北京中考試題第25題江蘇省啟東中學 張 杰電子郵箱： HYPERLINK mailto: 手機新課改后的中考試題，重點突出了對數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法及基本生活經(jīng)驗的考查, 壓軸題通常以“實踐與操作，綜合與探究，創(chuàng)新與應(yīng)用”為命題原則，考查學生的潛在能力，本文就北京市2013年壓軸題作如下改編：原題：（2013北京25）對于平面直角坐標系O中的點P和C，給出如下定義：若C上存在兩個點A，B，使得APB=60，則稱P為C 的關(guān)聯(lián)點。已知點D（，），E

2、（0，-2），F(xiàn)（，0）（1）當O的半徑為1時，在點D，E，F(xiàn)中，O的關(guān)聯(lián)點是_；過點F作直線交軸正半軸于點G，使GFO=30，若直線上的點P（，）是O的關(guān)聯(lián)點，求的取值范圍；（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑的取值范圍。規(guī)范解答： (1) ； 由題意可知，若點要剛好是圓的關(guān)聯(lián)點，則點到圓的兩條切線和之間所夾的角度為，由圖可知，則，連接，則，若點為圓的關(guān)聯(lián)點；則需點到圓心的距離滿足；由上述證明可知，考慮臨界位置的點，如圖2；點到原點的距離，過作軸的垂線，垂足為，易得點與點重合，過作軸于點，易得，從而若點為圓的關(guān)聯(lián)點，則點必在線段上，；(2) 若線段上的所有點都是某個圓

3、的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應(yīng)在線段的中點，考慮臨界情況，如圖3，即恰好點為圓的關(guān)聯(lián)時，則，此時，故若線段上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，這個圓的半徑的取值范圍為.點評：本題綜合考查圓中的位置關(guān)系、解直角三角形等相關(guān)知識。知識要點是：（1）從圓外一點引圓的兩條切線長相等，此點與圓心的連線平分兩切線的夾角；（2）特殊角的三角函數(shù)值?？疾榈乃枷敕椒ㄓ校恨D(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想。難點：把“新定義”通過知識正遷移到已學知識。突破口是通過對第（1）小題問的回答，猜想點P滿足的大致條件，然后根據(jù)“極端有理”證之。改編之一：同原題，增補第（3）問：實踐與應(yīng)用：某地區(qū)周圍半徑為10km的范

4、圍內(nèi)發(fā)生疫情，而所有“關(guān)聯(lián)點”的區(qū)域受到影響，在該區(qū)域旁邊有一條筆直的高速公路，離疫情中心的最短距離是km，試問公路上行駛的汽車是否受到影響？若在此區(qū)域停留時間超過分鐘時，就有可能感染，試求汽車至少以多少速度行駛，才能不受到感染。說明：此原題似乎是意猶未盡，再增加上述小題，顯得更為實用。本小題考查垂徑定理、行程問題。答案：根據(jù)原題的探究過程可知，受到影響的區(qū)域是一個半徑為20km的圓形內(nèi)，故此公路上行駛的汽車一定受到影響，可計算知弦長為20km，從而所求速度是。 改編之二：閱讀理解對于平面直角坐標系O中的點P和線段AB，給出如下定義：若，稱點P是線段AB的“友好點”。已知線段AB的端點坐標分別為A（1，0）和B（5，0），在點、中，線段AB的“友好點”是 ；若直線上存在著線段AB的“友好點”， 求的取值范圍； 若直線上存在著線段AB的“友好點”， 直接寫出的取值范圍。 靈活應(yīng)用 某海軍部隊在祖國領(lǐng)海進行軍事演習，靶場設(shè)在長10海里寬海里的條形區(qū)域內(nèi)，若將其視為一線段，且由“友好點”組成的區(qū)域是“危險區(qū)”，試求“危險區(qū)”面積。 說明：本題與原題十分相似，也是要求學生正確理解“友好點”的定義，從而考查“同弧所對的圓周角相等”、“ 三角形外接圓半徑”計算方法、直線與圓的位置關(guān)系等知識。 答案：