概率統(tǒng)計(jì)課件：13第五章第一講

1、目的、意義: 第五章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征分布函數(shù)(分布律, 概率密度)完整描述 r.v.的全部概率規(guī)律，但實(shí)際應(yīng)用中，很難求或并不需了解其全部概率規(guī)律。只需知道 r.v.的某些統(tǒng)計(jì)特性.由上面例子看到：與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征 . 1 判斷棉花質(zhì)量時(shí), 著重于纖維的長度 平均長度越長,偏離程度越小, 質(zhì)量就越好. 既看纖維的平均長度；又要看 纖維長度與平均長度的偏離程度。例如：2 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 又看他彈著點(diǎn)的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小.這些描述隨機(jī)變量的特征的數(shù)字，統(tǒng)稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征，在理論和實(shí)踐上都具有重要

2、意義.(3)描述兩 r.v.間的某種關(guān)系 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)r.v.的均值 數(shù)學(xué)期望(2)r.v.取值偏離均值的平均偏離程度 方差5.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解: 平均環(huán)數(shù)為例 設(shè)某射手進(jìn)行了100次射擊,其中 命中7環(huán)10次，命中8環(huán)20次， 命中9環(huán)40次，命中10環(huán)30次， 求此人平均命中環(huán)數(shù).其中 是環(huán)數(shù)k出現(xiàn)的頻率.由于頻率趨向于概率值,因此我們用概率來代替頻率而引出數(shù)學(xué)期望的概念. 數(shù)學(xué)期望是平均值的推廣.若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂(即收斂)，定義 設(shè)X的分布律為：記為 1. 離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：為X的數(shù)學(xué)期望，則稱級(jí)數(shù)2. 離散型隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：

3、設(shè)Y=g(X)，g(x)是連續(xù)函數(shù)；定理 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則有：X-202P0.40.30.3例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下:求: EX, E(3X2+5)解: 例2 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為: 求: EX.解: 冪級(jí)數(shù)求和: 定義 設(shè)X的概率密度為f(x)，絕對(duì)收斂(即收斂),為X的數(shù)學(xué)期望，3. 連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：記為 若積分則稱積分4.連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X) 數(shù)學(xué)期望:定理 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分則隨機(jī)變量Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望絕對(duì)收斂 例3 已知隨機(jī)變量X的概率密度為求: EX和EX2.解:例4 隨機(jī)變量X服從柯西分布,其概率

4、密度為問:X的數(shù)學(xué)期望是否存在.解:不收斂, 則所以柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.發(fā)散,定理 設(shè)(X,Y)為隨機(jī)向量，g(x,y)為連續(xù)函數(shù)， 那么Z=g(X,Y)是一個(gè)隨機(jī)變量.5. 隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(1) 若(X,Y)為離散型， 其分布律為則有:其中絕對(duì)收斂.(2) 若(X,Y)為連續(xù)型, 其概率密度為f(x,y), 則有:其中絕對(duì)收斂.例5 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為求 : EX, EY及E(XY) XY 1 2 -1 0.25 0.5 1 0 0.25解 : 例6 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域 內(nèi)服從均勻分布,求解 (X,Y)的概率密度為 例7 設(shè) (X ,Y ) N (0,

5、1;0,1;0), 求的數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)C為常數(shù),則有E(C)=C;(3)設(shè)X,Y為任意隨機(jī)變量, 二. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(2)設(shè)C為常數(shù),X為隨機(jī)變量,則有則證: 只就離散型隨機(jī)變量的情形給出證明. 若(X,Y) 分布律為為常數(shù)隨機(jī)變量, 則有 性質(zhì)(3)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量的和的情形:設(shè)(4) 設(shè)X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有證明: 只就離散型隨機(jī)變量的情形給出證明. X與Y相互獨(dú)立,即:則有 (X,Y) 分布律為 性質(zhì)(4)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量的積的情形:設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有 例1 一批產(chǎn)品中有M件正品,N件次品,從中任意抽取n件,以X表示取到次品的件數(shù),求隨

6、機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望. 解 =恰取到k件次品， 取 n個(gè)產(chǎn)品可看作不放回地取n次,每次取一個(gè)產(chǎn)品.利用性質(zhì)計(jì)算數(shù)學(xué)期望則 令 且有例9 設(shè)一袋中有m個(gè)黑球和n個(gè)白球, 現(xiàn)從中連續(xù)取球，每次取1個(gè)，取后無放回, 求第i次 取得黑球的概率。解： 設(shè)A=“第i次取得黑球”, 于是例2 將n只球放入M只盒子中去,每只球落入各個(gè)盒子是等可能的,(每盒容納球的個(gè)數(shù)不限),求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.解 設(shè) Xi=1=第i只盒子中有球, Xi=0=第i只盒子中無球, i=1,2,M 則故所以例3 將100只鉛筆隨機(jī)地分給80個(gè)孩子,如果每支鉛筆分給哪個(gè)孩子是等可能的,問:平均有多少孩子得到鉛筆？解 設(shè)有X個(gè)孩子得到鉛筆, Xi=1=第i個(gè)孩子得到鉛筆, Xi=0=第i個(gè)孩子沒得到鉛筆, 則利用性質(zhì)計(jì)算數(shù)學(xué)期望i=1,2,80. 故例4 投擲n顆色子， X表示n顆色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，求EX解 Xi=j=第i個(gè)顆色子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)j, j=1, 2, 6 i=1,2,n.則例5 將n只球(1n號(hào))隨機(jī)地放進(jìn)n只盒子(1n號(hào))中去， 一只盒子裝一只球， 將一只球裝入與球同號(hào)碼的盒子中稱為一個(gè)配