概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：4-2 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、3.4 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知二維隨機(jī)變量( X ,Y )的概率特性 g(x,y)為已知的二元函數(shù)，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率特性方法：轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件當(dāng)( X ,Y )為離散型隨機(jī)變量時，Z 也為離散型，當(dāng)( X ,Y )為連續(xù)型隨機(jī)變量時，其中的幾何意義：Dz例1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量( X,Y )的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 0求的概率分布離散型二維隨機(jī)變量的函數(shù)解 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合概率分布可得如下表格：P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y )(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0

2、)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX + Y-2 -1 0 1 2PX - Y-1 0 1 2 3PX Y-2 -1 0 1 PY /X-1 -1/2 0 1 設(shè) X B(n1,p), Y B(n2,p), 且 X ,Y 相互獨(dú)立， 則 X + Y B(n1+n2, p)關(guān)于離散型隨機(jī)變量的兩個重要結(jié)論： 設(shè) X P (1), Y P (2), 且 X ,Y 相互獨(dú)立， 則 X + Y P(1+ 2) X B(n1, p), Y B(n2, p), 則Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, , n1+

3、 n2設(shè)n1 n2 , 當(dāng)k n1時，關(guān)于二項(xiàng)分布的和的分布的說明：其中當(dāng) n1 k n2 時當(dāng) n2 k n1+ n2 時故 X + Y B ( n1+ n2 , p)事實(shí)上，從二項(xiàng)分布的背景，若每次試驗(yàn)事件A 發(fā)生的概率為 p , 則X + Y 表示做了n1+ n2 次獨(dú)立試驗(yàn)事件A 發(fā)生的次數(shù)關(guān)于Poisson 分布的和的分布的說明：X P(1), Y P(2), 則Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, , 問題：已知二維隨機(jī)變量( X ,Y )的密度函數(shù)， g(x,y)為已知的二元函數(shù)，Z = g( X ,Y )求：Z 的密度函數(shù)方法： 從求Z 的分布函數(shù)出發(fā)，將Z 的分布函

4、數(shù) 轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件 建立一個新的二維隨機(jī)變量(Z ,X )或(Z, Y ), 求其邊緣分布得Z 的密度函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1) 和的分布：Z = X + Y 設(shè)( X ,Y )為連續(xù)型隨機(jī)變量， 聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x,y), 則 zzx +y= z或特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則或或稱之為函數(shù) f X ( z) 與 f Y ( z)的卷積 例1 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度為Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一（圖形定限法）顯然X ,Y 相互獨(dú)立,且z1z = xz-1 = xx21解法二 從分布函數(shù)出發(fā)x+y = z當(dāng)z 0 時，1yx1x

5、+y = z當(dāng)0 z 1 時，1yx1zzx+y = z當(dāng)1 z 2 時，z-11yx1zz1yx1x+y = z22當(dāng)2 z 時，對于 X ,Y 不相互獨(dú)立的情形可同樣的用直接求密度函數(shù)與通過分布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布例2 已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一 （圖形定限法）由公式（1）zxz = xz = 2xx = 112當(dāng) z 2 , zzzz當(dāng) 0 z 1, 當(dāng) 1 z 2, f Z (z) = 0這比用分布函數(shù)做簡便解法二 （不等式組定限法）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域由此不等式邊邊相等，解得 z 軸上的三個分界點(diǎn) 0，1，

6、2當(dāng) 或 時不等式組 無解當(dāng) 時不等式組 解為當(dāng) 時不等式組 解為 正態(tài)隨機(jī)變量的情形 若X ,Y 相互獨(dú)立,則 若(X ,Y )則 若相互獨(dú)立,則推廣：已知 ( X ,Y )的聯(lián)合密度 f (x,y) 求 Z = aX +bY + c 的密度函數(shù), 其中 a,b,c為常數(shù)，a , b 0另一種計算 f Z (z) 的方法: 先構(gòu)造一個新的二維隨機(jī)變量(Z ,U ), 它們是 ( X , Y ) 的函數(shù)，而Z = aX +bY + c 求( Z , U ) 的聯(lián)合密度函數(shù) f ( z, u ) 求邊緣密度 f Z (z)設(shè)存在唯一的反函數(shù)：h , s 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，記則已知 ( X ,Y )

7、的聯(lián)合密度 f XY (x,y)求(Z, U )的聯(lián)合密度函數(shù) f ZU(z, u) 的方法：證例2 已知 ( X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為Z = X + Y ,求 f Z (z)解法三令2uzz = 2uz = u + 1z = u11z = 2u2uzz = u + 1已知 ( X ,Y )的聯(lián)合密度 f (x,y)求 Z = aX +bY + c 的密度函數(shù), 其中 a,b,c為常數(shù)，a , b 0令例3 已知 ( X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為Z = 3X 2Y ,求 f Z (z)解令uzz =3- 2uz = u311uzz =3- 2uz = u311zzzz利用此種方法也可以求某

8、些其他的函數(shù)的密度例如 已知(X ,Y )的聯(lián)合概率密度 f (x,y)， Z = X / Y , 求 f Z(z)令(2) 商的分布： Z = X / Y 例4 已知( X, Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為求Z = X / Y 的概率密度函數(shù)解uz但是, 當(dāng)反函數(shù)不唯一時, 或不易求時，仍需用分布函數(shù)法(3) 平方和的分布： Z = X 2+Y 2設(shè)(X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x,y)則例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相互獨(dú)立， Z = X 2+Y 2 , 則稱為自由度為2的 2分布若相互獨(dú)立，且則所服從的分布稱為自由度為n 的 2分布它的概率密度函數(shù)為其中 稱為

9、函數(shù)自由度為5的 2分布的密度函數(shù)圖形自由度分別為1,2,5,8,10的 2分布的密度函數(shù)圖形另外，若 X ,Y 相互獨(dú)立X N(0,1), Y 2(n) 則所服從的分布稱為自由度為n的 t 分布，記為 t (n)X 2(n), Y 2(m) ,則所服從的分布稱為第一自由度為n，第二自由度為m的 F 分布，記為 F (n,m)(4) 極值分布：即極大值，極小值的分布對于離散型隨機(jī)變量的極值分布可直接計算只討論相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的極值分布maxX ,Y P1 00.75 0.25 例5 X,Y 相互獨(dú)立, X ,Y 參數(shù)為0.5的0-1分布求M = maxX ,Y 的概率分布解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25對于連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè) X ,Y 相互獨(dú)立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函數(shù).推廣至相互獨(dú)立的 n 個隨機(jī)變量的情形：相互獨(dú)立，且設(shè)則例6 設(shè)系統(tǒng) L 由相互獨(dú)立的 n 個元件組成，連 接方式為 串聯(lián)； 并聯(lián)； 冷貯備(起初由一個元件工作，其它 n 1 個元件做冷貯備，當(dāng)工作元件失效時， 貯備的元件逐個地自動替換)；(4) L 為 n 個取 k 個的表決系統(tǒng)