5時(shí)間序列模型

1、時(shí)間序列分析時(shí)間序列模型-ARIMA1時(shí)間序列分析概論計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中常用的數(shù)據(jù)類型截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)面板數(shù)據(jù)一、什么是時(shí)間序列： 所謂時(shí)間序列數(shù)據(jù)，是指反應(yīng)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然等現(xiàn)象的某一數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行時(shí)間上的觀察所得到的數(shù)據(jù)。而時(shí)間序列就是講這些觀測(cè)數(shù)據(jù)按照時(shí)間先后順序排列起來(lái)所形成的序列。2時(shí)間序列具有如下幾個(gè)特點(diǎn)：時(shí)間序列中數(shù)據(jù)的位置與時(shí)間有關(guān)，數(shù)據(jù)的取值隨時(shí)間的變化而變化。1978-2012年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值不變價(jià)2007年上證綜指3分鐘收益率數(shù)據(jù)3時(shí)間序列具有如下幾個(gè)特點(diǎn)：時(shí)間序列是對(duì)相關(guān)的指標(biāo)變量在不同時(shí)間進(jìn)行觀察得到的結(jié)果。時(shí)間序列中的數(shù)據(jù)可以是一個(gè)時(shí)期內(nèi)的數(shù)據(jù)也可能是一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。

2、時(shí)間序列通常存在前后時(shí)間上的相依性，不一定是相鄰時(shí)刻，從整體上看，時(shí)間序列往往呈現(xiàn)出某種趨勢(shì)性或出現(xiàn)周期性變化的現(xiàn)象。1992年1季度到2009年1季度批發(fā)與零售業(yè)增加值（2005年不變價(jià)格）4按照所研究問題的不同可以將時(shí)間序列進(jìn)行如下分類：1、按照研究對(duì)象的多少，時(shí)間序列也可以分為一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。2、按照觀察時(shí)間是否連續(xù)可以分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列。經(jīng)濟(jì)分析中主要研究離散時(shí)間序列。3、按時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性，可將時(shí)間序列分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。5時(shí)間序列分析方法的開展過(guò)程基礎(chǔ)階段：G.U.Yule 1927年，AR模型G.T.Walker1931年，MA模型，ARM

3、A模型核心階段：G.E.P.Box和 G.M.Jenkins 1970年，出版Time Series Analysis Forecasting and Control 提出ARIMA模型（BoxJenkins 模型）BoxJenkins模型實(shí)際上是主要運(yùn)用于單變量、同方差場(chǎng)合的線性模型 完善階段：異方差場(chǎng)合Robert F.Engle，1982年，ARCH模型 Bollerslov，1986年GARCH模型多變量場(chǎng)合C.A.Sims等，1980年，向量自回歸模型C.Granger ，1987年，提出了協(xié)整（co-integration）理論6確定性時(shí)間序列分析方法：長(zhǎng)期趨勢(shì)分析、季節(jié)變動(dòng)分析、

4、循環(huán)波動(dòng)分析。隨機(jī)性時(shí)間序列分析方法：ARIMA模型等。模擬時(shí)間序列數(shù)據(jù)：7一、時(shí)間序列分析的幾個(gè)根本概念1.隨機(jī)過(guò)程 由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，記為 ，簡(jiǎn)記為Yt。隨機(jī)過(guò)程也可以簡(jiǎn)稱為過(guò)程，其中每一個(gè)元素xt都是隨機(jī)變量。將每一個(gè)元素的樣本點(diǎn)按序排列，稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，即時(shí)間序列數(shù)據(jù)，亦即樣本。時(shí)間序列：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)稱為時(shí)間序列，也用Y t 或Y t表示。8隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列的關(guān)系如下所示：隨機(jī)過(guò)程: y1, y2, , yT-1, yT,第1次觀測(cè)：y11, y21, , yT-11, yT1第2次觀測(cè)：y12, y22, , yT-12, yT2 第n次觀測(cè)：

5、y1n, y2n, , yT-1n, yTn某河流一年的水位值，y1, y2, , yT-1, yT,，可以看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。每一年的水位紀(jì)錄則是一個(gè)時(shí)間序列，y11, y21, , yT-11, yT1。而在每年中同一時(shí)刻（如t = 2時(shí)）的水位紀(jì)錄是不相同的。 y21, y22, , y2n, 構(gòu)成了y2取值的樣本空間。92、隨機(jī)過(guò)程的分布及其數(shù)字特征設(shè)Yt為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)任意一個(gè) ，Yt的分布函數(shù)為：對(duì)任意給定的 ，隨機(jī)過(guò)程Yt有兩個(gè)隨機(jī) 與之對(duì)應(yīng)，其聯(lián)合分布函數(shù)為：一般的，對(duì)于任意 的聯(lián)合分布函數(shù)為：10均值方程：方差函數(shù)：自協(xié)方差函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)（ACF)：偏自相關(guān)函數(shù)（PACF)

6、：113、隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性是指隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化。隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性可以劃分為嚴(yán)（強(qiáng))平穩(wěn)和寬（弱）平穩(wěn)兩個(gè)層面。嚴(yán)（強(qiáng)）平穩(wěn)過(guò)程：一個(gè)隨機(jī)過(guò)程中若隨機(jī)變量的任意子集的聯(lián)合分布函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即無(wú)論對(duì)T的任何時(shí)間子集（t1, t 2, , tn）以及任何實(shí)數(shù)k, (ti + k) T, i = 1, 2, , n 都有F( x(t1) , x(t2), , x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), , x(tn + k) )成立，其中F() 表示n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱其為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程。12寬（弱）平穩(wěn)過(guò)程如果一

7、個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值和方差在時(shí)間過(guò)程上都是常數(shù)，并且在任何兩期之間的協(xié)方差只和兩期間隔的時(shí)間長(zhǎng)度相關(guān)，而和計(jì)算該協(xié)方差的實(shí)際時(shí)間不相關(guān)，則稱該隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，也稱之為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程、二階平穩(wěn)過(guò)程或廣義隨機(jī)過(guò)程。用公式表述就是，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt ，如果其均值 ，方差 ，協(xié)方差 的大小只與k的取值相關(guān)，而與t不相關(guān)，則稱xt為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。13數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對(duì)時(shí)間序列分析非常重要，經(jīng)典的時(shí)間序列回歸分析，都是假定數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。直觀的看，平穩(wěn)的數(shù)據(jù)可以看作是一條圍繞其均值上下波動(dòng)的曲線。下面，我們用由Eviews軟件模擬一個(gè)均值為5、標(biāo)準(zhǔn)差為0.2、樣本量為500的平穩(wěn)數(shù)據(jù)。 平穩(wěn)數(shù)據(jù)例如14

8、4、常見的隨機(jī)過(guò)程：白噪聲過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 xt , tT , 如果E(xt) = 0, Var (xt) = 2 , tT; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) T , k 0 , 則稱xt為白噪聲過(guò)程。 由白噪聲過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列（nrnd）日元對(duì)美元匯率的收益率序列15隨機(jī)游走（random walk）過(guò)程對(duì)于下面的表達(dá)式： xt = xt -1 + ut 如果ut 為白噪聲過(guò)程，則稱xt 為隨機(jī)游走過(guò)程。由隨機(jī)游走過(guò)程產(chǎn)生時(shí)間序列深圳股票綜合指數(shù)16差分與滯后算子差分：時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算一階差分： 為一階差分算子。L 滯后算子，其定義是

9、二次一階差分:k階差分:k階差分常用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的差分，如4階差分、12階差分。17滯后算子的性質(zhì)：常數(shù)與滯后算子相乘等于常數(shù)。滯后算子適用于分配律。 滯后算子適用于結(jié)合律。滯后算子的零次方等于1。滯后算子的負(fù)整數(shù)次方意味著超前。n次一階差分展開式：，其中18 時(shí)間序列模型19 20自回歸模型的平穩(wěn)性212223AR(p)模型的平穩(wěn)性條件24 2252.移動(dòng)平均模型(MA) （1）移動(dòng)平均模型的定義 若時(shí)間序列xt為它的當(dāng)期和滯后若干期隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的線性組合，即： 其中， 是參數(shù)，ut是均值為0，方差為 的白噪聲過(guò)程，稱上式為q階移動(dòng)平均(Moving Average，MA)模型，記為MA(q)

10、。之所以稱為“移動(dòng)平均，是因?yàn)閤t是由ut的加權(quán)和構(gòu)造而成，類似于一個(gè)平均。 由定義可知，任何一個(gè)q階移動(dòng)平均過(guò)程都是由q+1個(gè)白噪聲過(guò)程的加權(quán)和組成，由于白噪聲過(guò)程是平穩(wěn)的，所以任何一個(gè)移動(dòng)平均模型都是平穩(wěn)的。 26（2）移動(dòng)平均模型的可逆性對(duì)于MA(1)模型： 給定條件 ，如果MA(1)模型可以表述為即MA(1)模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型，我們稱MA(1)模型具有可逆性。由AR(p)模型平穩(wěn)性可知，MA(1)模型具有可逆性的條件是 1。更一般地，任何一個(gè)可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型。2728293031自回歸模型與移動(dòng)平均模型的關(guān)系以上的分析說(shuō)明，一個(gè)平穩(wěn)的

11、AR(p)模型可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均模型；一個(gè)可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型。 AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問題，不必考慮可逆性問題。MA(q)模型，只需考慮可逆性問題，不必考慮平穩(wěn)性問題。3233 日本人口差分序列 34353637383940（第3版第293頁(yè)）4142 AR(1) 實(shí)根 AR(2) 實(shí)根 AR(2) 復(fù)根用生成的序列演示。MA (1) MA (2) MA (2)43用生成的序列演示。 AR(1) AR(2) AR (2)MA (1) 實(shí)根 MA (2)實(shí)根 MA (2) 復(fù)根4445時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)46時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)AR(1

12、)序列與相關(guān)圖 47時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) MA(1)序列與相關(guān)圖 48時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)49時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)50時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)51時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)52ARIMA模型識(shí)別舉例53時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)54（第3版309頁(yè)）55（第3版309頁(yè)）時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)56file: 5arma0757 案例1（中國(guó)人口時(shí)間序列分析） （第3版310頁(yè)）58 案例1（中國(guó)人口時(shí)間序列分析）（第3版311頁(yè)）59 案例1（中國(guó)人口時(shí)間序列分析）（第3版312頁(yè)）60EViews 7 案例1（中國(guó)人口時(shí)間序列分析）61案例分析（中國(guó)人口時(shí)間序列模型）EViews

13、7注意表達(dá)式寫法62 案例1（中國(guó)人口時(shí)間序列分析）63案例分析（中國(guó)人口時(shí)間序列模型）64差分序列Dyt中的常數(shù)，在原序列yt中是斜率。 案例1（中國(guó)人口時(shí)間序列分析）65案例分析（中國(guó)人口時(shí)間序列模型）66案例分析（中國(guó)人口時(shí)間序列模型）67案例分析（中國(guó)人口時(shí)間序列模型）（4）點(diǎn)擊時(shí)間序列模型估計(jì)結(jié)果窗口中的Forcast鍵，在隨后彈出的對(duì)話框中做出適中選擇，就可以得到y(tǒng)t和Dyt的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)預(yù)測(cè)值，結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)和非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)值。12.788EViews 768file: 7arma0769DD(y)過(guò)度差分file: 7arma0770EViews 771參數(shù)t檢驗(yàn)都有顯著性，特征根倒數(shù)都在單位圓之內(nèi)，Q(15)對(duì)應(yīng)的p值是0.50，大于0.05。三個(gè)條件都得到滿足。7273EViews 7靜態(tài)預(yù)測(cè)2007年中國(guó)糧食產(chǎn)量5226274 回歸與ARMA組合模型75 回歸與ARMA組合模型76 回歸與ARMA組合模型77 回歸與ARMA組合模型78 回歸與ARMA組合模型例3：中國(guó)儲(chǔ)蓄存款總額（Y，億元）與GDP（億元）的關(guān)系研究79 回歸與ARMA組合模型例3：中國(guó)儲(chǔ)蓄存款總額（Y，億元）與GDP（億元）的關(guān)系研究80 EViews 7Eviews 估計(jì)命令：Y c GDP AR(1) AR(2)例3：中國(guó)儲(chǔ)蓄