正余弦定理與解三角形整理（含答案解析）

1、 PAGE9 / NUMPAGES9 正余弦定理考點梳理：直角三角形中各元素間的關系：如圖，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關系：a2b2c2。（勾股定理） A（2）銳角之間的關系：AB90； c（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數(shù)定義） b sinAcosB，cosAsinB，tanA。 C B2斜三角形中各元素間的關系： a如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC_（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑）正弦定理：eq f(a,sin A)eq f(b,s

2、in B)eq f(c,sin C)2R的常見變形：sin Asin Bsin Cabc；eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)eq f(abc,sin Asin Bsin C)2R；a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R).三角形面積公式：Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)casin B.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理的公式： 或.

3、（1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 2、已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角. 2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.解題中利用中，以及由此推得的一些基本關系式進行三角變換的運算，如：.9. 解斜三角形的主要依據(jù)是：設ABC的三邊為a、b、c，對應的三個角為A、B、C。（1）角與角關系：A+B+C = ；（2）邊與邊關系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關系：大角對大邊

4、，小角對小邊。習題整理：直接應用，解三角形：在中，已知，解三角形。A=60/1202.在中，已知求的周長。a=2/43.ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知B=2A,a=1,b=,則c=_.24.在ABC中，若A60，aeq r(3)，則eq f(abc,sin Asin Bsin C)_. 24.在ABC中，若A60,b=1,則eq f(abc,sin Asin Bsin C)_. （）5.(2010)在ABC中，若b1，ceq r(3)，Ceq f(2,3)，則a_.16.在ABC中，a15，b10，A60，則cos B_.7.ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別

5、為a、b、c，已知c3，Ceq f(,3)，a2b，則b的值為_.8.（2012年高考（某文）設的內(nèi)角 的對邊分別為,且,則_9.在中,若,則的形狀是（）cA鈍角三角形.B直角三角形.C銳角三角形.D不能確定.10.在ABC中,AC= ,BC=2,B =60,則BC邊上的高等于（）ABCD11.在中,若,則（）ABCD12.在三角形ABC中,角A,B,C所對應的長分別為a,b,c,若a=2 ,B=,c=2,則b=_13.在中,已知,則_.14.【2015高考某，文5】設的內(nèi)角，的對邊分別為，若，且，則（ ）ABCD【答案】B15.【2015高考某，文14】若中，則_【答案】16.【2015高考

6、某，文13】設的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為,且,則c=_.【答案】417.（2016年全國I卷高考）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，則b=（A）（B）（C）2（D）3【答案】D18、（2016年全國II卷高考）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，a=1，則b=_.【答案】19.在中，若，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為【答案】B20.中，角所對的邊分別為若，則邊（ ）A1 B2 C4 D6【答案】C變形應用：1.在中，則角A等于_.1202.（教材）已知三角形的三邊滿足條件，求角A. 603.【2014年高考某】在中，內(nèi)角所對應的邊分別為，若，則的面積為（

7、 ）A B C D【答案】C4.在中，三內(nèi)角，的對邊分別為，且，為的面積，則的最大值為（ ）（A）1 （B） （C） （D）【答案】C【解析】，設外接圓的半徑為，則，故的最大值為故選C5.在中，角的對邊分別為，且若的面積為，則的最小值為（ ）A24 B12 C6 D4【答案】D6.已知a,b,c是的邊長，滿足，求C的大小。120三邊角互化問題：1.在中，內(nèi)角，的對邊分別為，且=則ABCD【答案】C2.已知ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosB+bcosA=3ccosC，則cosC=3.,試判斷三角形的形狀。等腰或直角。4.在中，_.15.（2013,某）在，內(nèi)角所對的邊長

8、分別為 （ ）A B C D6.（2011）（4）ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asin AsinB+bcosA=則 （ ）D(A) (B) (C) (D)7在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;60(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.8.在中，,求cosA=?9.ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;（）(2)若a=3,ABC的面積為,求b,c. (2,3)(3,2)10.的周長為，且求邊長a的值. 4若,求COSA的值。（

9、）11.（2016年某高考）在中，內(nèi)角所對應的邊分別為a,b,c，已知.()求B；()若，求sinC的值.解析：（）解：在中，由，可得，又由得，所以，得；（）解：由得，則，所以12.（2016年某高考）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且。（I）證明：sinAsinB=sinC；（II）若，求tanB。解析：（）根據(jù)正弦定理，可設則a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.代入中，有，可變形得sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).在ABC中，由A+B+C=，有sin (A+B)=sin (C)=sin C，所以sin A sin B=sin

10、 C.（）由已知，b2+c2a2=bc，根據(jù)余弦定理，有.所以sin A=.由（），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B，故tan B=4.四綜合應用：1.【2015高考某，文17】的內(nèi)角所對的邊分別為，向量與平行.(= 1 * ROMANI)求；(= 2 * ROMANII)若求的面積.(= 1 * ROMANI)因為，所以由正弦定理，得，又，從而，由于所以(= 2 * ROMANII)解法一：由余弦定理，得，而，得，即因為，所以，故面積為.2.【2015高考某，文16】（本小題滿分13分）ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為,（ = 1 * ROMAN I）求a和sinC的值;（ = 2 * ROMAN II）求的值.試題解析:（ = 1 * ROMAN I）ABC中,由得由,得又由解得由 ,可得a=8.由 ,得.（ = 2 * ROMAN II）,3.【2015高考新課標1，文17】（本小題滿分12分）已知分別是內(nèi)角的對邊，.（ = 1 * ROMAN I）若，求（ = 2 * ROMAN II）若，且求的面積