第33講周期函數(shù)與周期數(shù)列

1、. .PAGE10 / NUMPAGES10第14講 周期函數(shù)與周期數(shù)列本節(jié)主要容有周期；周期數(shù)列、周期函數(shù)周期性是自然規(guī)律的重要體現(xiàn)之一，例如地球公轉(zhuǎn)的最小正周期就體現(xiàn)為年的單位在數(shù)學(xué)中，我們就經(jīng)常遇見各種三角函數(shù)，這類特殊的周期函數(shù)，特別是正弦、余弦函數(shù)與音樂有著密切的聯(lián)系:19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家傅立葉證明了所有的樂聲不管是器樂還是聲樂都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們一定是一些簡單的正弦周期函數(shù)的和 作為認(rèn)識(shí)自然規(guī)律的主要手段，數(shù)學(xué)在本學(xué)科中嚴(yán)格地引進(jìn)了“周期”這個(gè)重要概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們僅僅討論定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)軸的實(shí)值映射的周期性，盡管形式十分簡單，但與之相關(guān)的問題仍有待研究中學(xué)數(shù)學(xué)里稱函數(shù)的

2、周期，沒有特殊說明是指其最小正周期如果函數(shù)yf(x)對(duì)于定義域任意的x，存在一個(gè)不等于0的常數(shù)T，使得f(xT)f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期一般情況下，如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(kN)也是f(x)的周期1若f (xT)=f ( x)，則2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)證明：f(x2 T)= f(xTT)= f(xT)= f ( x)，由周期函數(shù)的性質(zhì)可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)2若f (xT)=eq f(1, f ( x)，則2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)僅以f (xT)=eq f

3、(1, f ( x)證明如下：f(x2 T)= f(xTT)= eq f(1, f ( x+T)= f ( x)由周期函數(shù)的性質(zhì)可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)3在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)，使得對(duì)于任意的非零自然數(shù)均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫數(shù)列的周期A類例題例1（2001年春季卷） 若數(shù)列前8項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項(xiàng)值的數(shù)列為 （ ）A B C D解析 由數(shù)列an前8項(xiàng)的值各異，對(duì)任意nN都成立，得數(shù)列an的周期T= 8，則問題轉(zhuǎn)化為2k1， 3k1， 4k1， 6k1中k= 1，2，3，代入被8除若余數(shù)能取到0， 1， 2， 3， 4，

4、 5，6， 7即為答案經(jīng)檢驗(yàn)3k 1可以，故可取遍an的前8項(xiàng)值答案為B說明 本題還可以奇偶性的角度考慮，在2k1， 3k1， 4k1， 6k1中，2k1， 4k1， 6k1都是奇數(shù)，除8后仍都是奇數(shù)，只有3k1除8后余數(shù)能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7例2 定義在R上的奇函數(shù)且f ( x2)=f ( x2)，且f (1)= 2則f ( 2)f (7)= 解 因?yàn)閒 ( x2)=f ( x2)，知f(x2T)= f ( x)即f(x4)= f ( x)所以f(7)= f ( 34)= f(14)= f ( 1)= f ( 1)=2f(2)= f ( 24)= f(2) 所以f(

5、2)=0 從而f ( 2)f (7)=2若f (xT)=f ( xT)，f (xT)=f ( xT)，2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)證明：f(x2 T)= f(xTT)=f(xTT)= f ( x)f (xT)=f ( xT)，4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x)證明：f(x2T)= f(xTT)= f(xT)T= f ( x)所以由(一)可得f(x4T)= f ( x)情景再現(xiàn)1已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，求證:2|ab|是f(x)的一個(gè)周期(ab)2 已知數(shù)列滿足x1=1，x2=6，(n2)，

6、求x2006與S2006B類例題例3定義在R上的奇數(shù)滿足 f (1x)=f (1x)，當(dāng)時(shí)， f ( x)=2x4，則時(shí)f ( x)=因?yàn)閒 (1x)=f (1x)， f (x)=f (x)，知f(x4)= f ( x)，故當(dāng)時(shí)， x4， f ( x)= f(x4)= 2x44=2x又時(shí)，即，所以f ( x)=f ( x)= 2x()：若f (T x)=f (T x)，(1) f (T x)=f (T x)若f ( x)是偶函數(shù)，則2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)若f ( x)是奇函數(shù)，則4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x) (2) f (T x)=

7、f (T x)若f ( x)是偶函數(shù)，則4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x)若f ( x)是奇函數(shù)，則2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)例4 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1、x20，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a0(1)求f()、f();(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(2n)，求（2001年全國高考題）分析 本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以與數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1x2)=f(x1)f(x2

8、)找到問題的突破口由f(x1x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵解 (1) 因?yàn)閷?duì)x1，x20，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，所以f(x)=0，x0，1又因?yàn)閒(1)=f()=f()f()=f()2f()=f()=f()f()=f（）2又f(1)=a0f()=a，f()=a(2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(11x)，即f(x)=f(2x)，xR又由f(x)是偶函數(shù)知f(x)=f(x)，xR， f(x)=f(2x)，xR將上式中x以x代換得f(x)=f(x2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期(3)解：由(1)知f(x

9、)0，x0，1f()=f(n)=f(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a又f(x)的一個(gè)周期是2f(2n)=f()，因此an=a例5 (1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)已知數(shù)列滿足(n2)，x1a， x2b， 記Snx1x2xn，則下列結(jié)論正確的是 ( )A x100a，S100=2baBx100b，S1002ba Cx100b，S100=baDx100a，S100ba解 因?yàn)?，于是得所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6k(kZ)，且x1x2x6=0，x100=x4=x1 =a故S10016(x1x2x6)x97x98x99x100= x1x2 x3x4=x2x3=

10、2ba例6設(shè)數(shù)列 a1，a2，a3，an，滿足a1=a2=1，a3=2，且對(duì)任意自然數(shù)n都有anan1 an21，anan1 an2an3=anan1 an2an3，求a1a2 a3a100解 由anan1 an2an3=anan1 an2an3， 得an1an2 an3an4=an1an2 an3an4， 兩式相減得：(anan4)(an1an2an31)=0， 由于an1an2an31，所以an4=an又a1=a2=1，a3=2，由得2a4=4a4 ，所以a4=4故 a1a2 a3a4=8，于是a1a2 a3a100=25(a1a2 a3a4)=200情景再現(xiàn)3設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(，)

11、上以2為周期的函數(shù)，對(duì)kZ，用Ik表示區(qū)間(2k1，2k1，已知當(dāng)xI0時(shí)f(x)=x2()求f(x)在Ik上的解析表達(dá)式;()對(duì)自然數(shù)k，求集合Mk=a使方程f(x)=ax在Ik上有兩個(gè)不相等的實(shí)根4(2005年理科卷)在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)，其中是正整數(shù)對(duì)平面上任一點(diǎn)，記為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(1)求向量的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求以曲線為圖象的函數(shù)在的解析式；對(duì)任意偶數(shù)，用表示向量的坐標(biāo)C類例題例7 (2005年卷19)設(shè)函數(shù)，且在閉區(qū)間0，7上，只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程在閉

12、區(qū)間2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解 （）由，從而知函數(shù)的周期為又，所以故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II) 又故f(x)在0，10和10，0上均有有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)在0，2005上有402個(gè)解，在20050上有400個(gè)解，所以函數(shù)在2005，2005上有802個(gè)解若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，(ab)(1)若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，或f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，則2(ba)是f ( x)的周期，即fx2( ba)= f ( x)證明：因?yàn)閒 (2ax)=f a(a x)=f

13、 (2ax)=f (x)，同理f (2bx) =f (x)，因?yàn)閒x2( ba)= f2b(x2a)= f(x2a)= f ( x)或f (2ax)=f a(a x)=f a(ax)=f (x)，同理f (2bx) =f (x)，因?yàn)閒 x2(ba) = f 2b(x2a) = f 2a(x) = f (x)(2)若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，或f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，則4(ba)是f ( x)的周期，即fx4( ba)= f (x)(證明留給讀者完成)例8數(shù)列 an 滿足 an = an1 an2 (n 3)如果它的前1

14、492項(xiàng)之和是1985， 而它的前1985項(xiàng)之和是1492那么前2 001項(xiàng)的和是多少? (1985年中美數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽試題)解因?yàn)閍n = an1 an2 =( an2 an3 ) an2 = an3同理an3= an6所以an = an6故數(shù)列 an 是周期數(shù)列其周期為6 且f( n)=f( 6kn)， (kN) Sn= anan1an2La1， 且an = an1 an2 (n 3)所以Sn=( an1 an2)( an2 an3) ( an3 an4) ( a2 a1) a2a1= an1 a2 (n 3)因此S1492= a1491 a2= a24863 a2= a3 a2=1985

15、，S1985= a1984 a2= a33064 a2= a4 a2= a3=1492由以上兩式得a2=493，所以S2001= a2000 a2= a33362 a2= a2 a2=986情景再現(xiàn)5已知f (x)是定義在R上的函數(shù)f (10 x)= f (10 x)， f (20 x)= f(20 x) 則f (x)是( ) A周期為20的奇函數(shù) B周期為20的偶函數(shù) C周期為40的奇函數(shù) D周期為40的偶函數(shù)6在數(shù)列 an 中 an = 13， an = 56對(duì)所有的正整數(shù)n都有an1 = an an2，求a1994 (1994年第5屆希望杯”競賽題)習(xí)題14A類習(xí)題1定義“等和數(shù)列”：在

16、一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么(1)的值為_，(2)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_ (2004年理工卷) 2若存在常數(shù)，使得函數(shù)的一個(gè)正周期為（2003年春季卷）3對(duì)任意整數(shù)x，函數(shù)滿足，若，則 4已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹，且對(duì)任意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)5已知對(duì)于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求證：f(x)是偶函數(shù)；若存在正整數(shù)m使得f(m)0，求滿足f(xT)f(x)的一個(gè)T值(T0

17、)6記f(n)為自然數(shù)n的個(gè)位數(shù)字，an = f(n2) f(n)求a1a2a3La2006的值B類習(xí)題7函數(shù)定義在整數(shù)集上 滿足：=， 求的值8已知數(shù)列 an 滿足a1=1，a2=2，anan1an2=an an1an2，且 an1an21，求的值9 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1求證：(1)f(x)是奇函數(shù)(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是4a10 已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意xR，有f(xT)=T f(x)成立（1）函數(shù)f(x)= x是否屬于集合M？說明理由；（2）設(shè)函數(shù)f

18、(x)=ax（a0，且a1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f(x)=axM；（3）若函數(shù)f(x)=sinkxM ，數(shù)k的取值圍(2003年卷)C類習(xí)題11整數(shù)數(shù)列，時(shí)對(duì)于每個(gè)n3都有an=an1an2，若前2003項(xiàng)的和為a，(a0)則S5=( )AaB eq f(a,5)C eq f(5,a)D 5 a( 2003年希望杯)12 設(shè)f(x)是一個(gè)從實(shí)數(shù)集R到R的一個(gè)映射，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有|f(x)|1，并且f(x)，求證:f(x)是周期函數(shù)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1 不妨設(shè)ab， 于是f(x2(ab)f(a(xa2b)f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb)f(b(xb)f(x

19、) 2(ab)是f(x)的一個(gè)周期當(dāng)ab時(shí)同理可得 所以，2|ab|是f(x)的周期2解法一：由x1=1，x2=6，與得x3=5，x4=1， x5=6，x6=5， x7=1，x8=6， 所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6k(kZ)，且 x1x2x6=0，所以x2006= x63342= x2=6 S2006=7解法二：因?yàn)?，于是得所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6k(kZ)，且x1x2x6=0，所以x2006= x63342= x2=6 S2006=73 證明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x) ， 所以，f(x)為偶函數(shù)令axm，bm 得f(x

20、2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x) 于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函數(shù))4 ():f(x)是以2為周期的函數(shù)，當(dāng)kZ時(shí)，2k是f(x)的周期又當(dāng)xIk時(shí)，(x2k)I0，f(x)=f(x2k)=(x2k)2即對(duì)kZ，當(dāng)xIk時(shí)，f(x)=(x2k)2()解:當(dāng)kN且xIk時(shí)，利用()的結(jié)論可得方程(x2k)2=ax，整理得x2(4ka)x4k2=0 它的判別式是=(4ka)216k2=a(a8k)上述方程在區(qū)間Ik上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是a滿足， 化簡由知a0，或a0時(shí):因2a2a，故從，可得eq r(a(a+8k) )2a，即EQ blc(aal(a(a+8k)(2a)2，,2a0.)即EQ blc(aal(2k+1)a1，,a2.)所以 當(dāng)a8k時(shí):2a28k0，易知eq r(a(a+8k) )0 時(shí)(2)K=0 ， a1a0， 或0a0且a1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去y得ax=x，顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T 于是對(duì)于f(x)=ax有故f(x)=axM（3）當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=0，顯然f(x)=0M當(dāng)k0時(shí)，因?yàn)閒(x)=sinkxM，所以存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x