2022屆北京市牛山高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（ ）A2或B2或C或D或2若集合，則=（ ）ABCD3已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（ ）A

2、B2C3D4若為過橢圓中心的弦，為橢圓的焦點(diǎn)，則面積的最大值為（ ）A20B30C50D605某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（ ）ABCD6已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，N. 若，則 （ ）ABCD7設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件8以下四個(gè)命題：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1；在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好； 若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“ ，”的充要條件；其中真命題的個(gè)數(shù)

3、為( )A4B3C2D19已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是( )ABCD10已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若則該雙曲線的離心率為A2B3CD11函數(shù)在的圖象大致為( )ABCD12下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（ ）（其中，為無理數(shù)）；.A0B1C2D3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知一組數(shù)據(jù)，1，0，的方差為10，則_14已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，函數(shù)的最小值為，則_.15已知全集，則_.16二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_，含項(xiàng)的系數(shù)為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12

4、分）已知函數(shù)，若的解集為（1）求的值；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，求證：18（12分）是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列中最小的項(xiàng).19（12分）在中，為邊上一點(diǎn)，.（1）求；（2）若，求.20（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線C交于點(diǎn)A（不同于極點(diǎn)O），與直線l交于點(diǎn)B，求的最大值.21（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）

5、求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點(diǎn)為，曲線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，求的周長的最大值22（10分）己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)（1）求的值；（2）若，且，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論，進(jìn)而求得雙曲線的離心率【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得： ，得雙曲線的一條漸近線的方程為 焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有： 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有： 求得雙曲線的離心率 2

6、或故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線 的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值此題易忽視兩解得出錯(cuò)誤答案2C【解析】求出集合，然后與集合取交集即可【詳解】由題意，則，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3A【解析】由奇函數(shù)定義求出和【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，.又當(dāng)時(shí)，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵4D【解析】先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱性可得，在表示出面積，

7、由圖象遏制，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)面積最大，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱性可得，則的面積為，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積最大，又由，可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的面積的最大值為.故選：D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.5B【解析】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐

8、的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題6D【解析】通過計(jì)算，可得，最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.7A【解析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時(shí)，故不必要.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.8C【解析】根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷, 根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判

9、斷,根據(jù)點(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，而回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，可進(jìn)行判斷.【詳解】若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故正確;用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故錯(cuò)誤;若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故正確;因?yàn)辄c(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)，點(diǎn) 必滿足線性回歸方程 ；因此“滿足線性回歸方程”是“ ，”必要不充分條件.故 錯(cuò)誤;所以正確的命題有.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性，擬合性檢驗(yàn)，兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，

10、以及兩個(gè)變量的線性回歸方程，注意理解每一個(gè)量的定義，屬于基礎(chǔ)題.9C【解析】先求得的漸近線方程，根據(jù)沒有公共點(diǎn)，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.10D【解析】本題首先可以通過題意畫出圖像并過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?！驹斀狻扛鶕?jù)

11、題意可畫出以上圖像，過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn)，因?yàn)椋陔p曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，即，因?yàn)閳A的半徑為，是圓的半徑，所以，因?yàn)?，所以，三角形是直角三角形，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得，解得，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得，化簡得，故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的邏輯思維能力，是難題。11C【解析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D，即可得解.【詳解】函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，所以排除A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，排除D選項(xiàng)；綜

12、上可知，C為正確選項(xiàng)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】對(duì)于中，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對(duì)于中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到，即可判定是錯(cuò)誤的；對(duì)于中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進(jìn)而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對(duì)于中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對(duì)于中，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，則又由，所以，即，所以不正確；對(duì)于中，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，

13、最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。137或【解析】依據(jù)方差公式列出方程，解出即可【詳解】，1，0，的平均數(shù)為，所以 解得或【點(diǎn)睛】本題主要考查方差公式的應(yīng)用140【解析】求出，求出切線點(diǎn)斜式方程，原點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出的值，求，求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極小值最小值，即可求解.【詳解】，切線的方程：，又過原點(diǎn)，所以，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)的最小

14、值，所以.故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值，屬于中檔題.15【解析】利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由全集，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算，需理解補(bǔ)集的概念，屬于基礎(chǔ)題.16 【解析】將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，令，解得，因此，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（

15、1）；（2）證明見詳解.【解析】（1）將不等式的解集用表示出來，結(jié)合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】解：（1），因?yàn)榈慕饧癁?，所以，；?）由（1）由柯西不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.18（1）；（2）.【解析】（1）由可得出，兩式作差可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用數(shù)列的單調(diào)性的定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得數(shù)列的最小項(xiàng)的值.【詳解】（1）對(duì)任意的，由得，兩式相減得，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，則.當(dāng)時(shí)，即，；當(dāng)時(shí)，即，.所以，數(shù)列的最小項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)

16、系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列中的最小項(xiàng)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19（1）；（2）4【解析】（1），利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】（1），所以， .（2），設(shè)，在中，由正弦定理得，.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.20（1）：，直線：；（2）【解析】（1）由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標(biāo)方程，求出極徑，把比值化為的三角函數(shù)，從而可得最大值、【詳解】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，曲線的極坐標(biāo)方程是；由，化為直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，掌握公式可輕松自如進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化21（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）【解析