理論力學(xué)A-動(dòng)力學(xué)：d-第五章 Lagrange方程C

1、5-4、哈密頓方程5-4、哈密頓方程簡(jiǎn)介 第二類Lagrange方程習(xí)題課7/11/202215-4、哈密頓方程一、主動(dòng)力為有勢(shì)力系統(tǒng)的拉格朗日方程設(shè)：LT-V （拉格朗日函數(shù)）拉格朗日方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階微分方程組AB非線性常微分方程組通常用數(shù)值方法求解將二階微分方程組降階成一階微分方程組便于數(shù)值計(jì)算且可提高計(jì)算精度。7/11/202225-4、哈密頓方程二、哈密頓方程簡(jiǎn)介對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其主動(dòng)力為有勢(shì)力，若設(shè)：哈密頓方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的一階微分方程組。則系統(tǒng)的Hamilton方程為：7/11/202235-4、哈密頓方程對(duì)于定常約束的質(zhì)點(diǎn)系，若主動(dòng)力為有勢(shì)力，則哈密

2、頓函數(shù)H就是系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和，即：哈密頓方程為數(shù)值計(jì)算提供了很好的微分-代數(shù)結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上建立的辛算法可保持長(zhǎng)期數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。對(duì)于定常約束的質(zhì)點(diǎn)系，有：7/11/202245-4、哈密頓方程例：求自由質(zhì)點(diǎn)在重力作用下的哈密頓函數(shù)和哈密頓方程1、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：2、系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的哈密頓函數(shù) H=T+V7/11/202255-4、哈密頓方程例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接。桿與滑塊用剛度系數(shù)為k1的扭簧連接時(shí)扭簧無(wú)變形求系統(tǒng)哈密頓方程（用矩陣形式給出）。AB2LM是正定對(duì)稱矩陣，是廣義坐標(biāo)的函數(shù)7/11/202265-4、哈密頓方程系統(tǒng)的哈密頓函數(shù) H=T+V

3、用矩陣形式描述方程，便于并行計(jì)算，可提高計(jì)算速度。7/11/202275-4、哈密頓方程擺桿的運(yùn)動(dòng)滑塊的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象：不同的初始條件，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為不同。算例的數(shù)值仿真結(jié)果7/11/202285-4、哈密頓方程不穩(wěn)定區(qū)域7/11/202295-4、哈密頓方程問(wèn)題：研究保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程長(zhǎng)期數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性有什么意義？研究太陽(yáng)系中行星的軌道動(dòng)力學(xué)問(wèn)題屬于保守系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題7/11/202210地球太平嗎？ 地球并不太平。天文學(xué)家們經(jīng)過(guò)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在火星的外側(cè)和木星的內(nèi)側(cè)有一個(gè)由數(shù)目眾多的小行星構(gòu)成的小行星帶。 它們一般都是按照正常軌道運(yùn)行，但是總會(huì)有小行星進(jìn)入近地軌道，給地球帶來(lái)威脅。1989年曾

4、有一顆小行星與地球擦肩而過(guò)，引起人們一陣緊張。 7/11/202211地球太平嗎？ 當(dāng)時(shí)國(guó)外科學(xué)家曾預(yù)測(cè)：2014年或2017年，地球有可能遭到小行星的撞擊。7/11/202212彗星撞擊木星的“預(yù)測(cè)” 1994年7月16日至22日，一顆命名為蘇梅克列維9號(hào)的彗星斷裂成21個(gè)碎塊（其中最大的一塊寬約4公里），以60km/s速度向木星撞去。 “伽利略”號(hào)木星探測(cè)器7/11/202213木星簡(jiǎn)介木星：是太陽(yáng)系行星中最大的一個(gè)星球半徑：71300公里，是地球的12倍；質(zhì)量：是地球的318倍，相當(dāng)于其它8大行星總質(zhì)量的2.5倍體積：是地球的1316倍公轉(zhuǎn)周期：約29.5年自轉(zhuǎn)周期：10小時(shí)14分7/1

5、1/202214太陽(yáng)系哈密頓系統(tǒng) 在研究星球的運(yùn)動(dòng)軌道時(shí)，太陽(yáng)系可視為哈密頓系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程可表示成：?jiǎn)栴}：如何精確地計(jì)算行星的運(yùn)動(dòng)軌跡，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)行星位置?解決問(wèn)題的方法：提高計(jì)算方法精度和速度、通過(guò)數(shù)值仿真預(yù)測(cè)行星的運(yùn)動(dòng)軌跡和位置，從而估計(jì)小行星撞擊地球的可能性。k=3n, n為行星的個(gè)數(shù)(=9大行星+近百個(gè)小行星)7/11/202215哈密頓系統(tǒng)的辛算法馮 康(1920.91993.8) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)家、計(jì)算數(shù)學(xué)家。1944年畢業(yè)于重慶中央大學(xué)物理系。19511953年赴前蘇聯(lián)進(jìn)修。 曾任中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事，計(jì)算數(shù)學(xué)分會(huì)副理事長(zhǎng)，中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)副主任等職。 1980年被選為中國(guó)科學(xué)院學(xué)部委員

6、(數(shù)學(xué)物理學(xué)部院士)。 在拓?fù)浯鷶?shù)、廣義函數(shù)和計(jì)算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域取得多方面首創(chuàng)性成就，并對(duì)我國(guó)計(jì)算機(jī)事業(yè)的創(chuàng)建和發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。 20世紀(jì)80年代，他提出了哈密頓系統(tǒng)的辛算法。該算法可保持長(zhǎng)期數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。7/11/202216例題的數(shù)值仿真對(duì)角隱式辛RK算法顯式RK算法CPU-time:142sCPU-time:7737s(變步長(zhǎng))1994年用當(dāng)時(shí)的PIII計(jì)算機(jī)（主頻266M）計(jì)算的結(jié)果7/11/202217預(yù)測(cè)結(jié)果 20世紀(jì)90年代末，中國(guó)科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，秦孟兆院士領(lǐng)導(dǎo)的課題組，用Hamiltom系統(tǒng)的辛算法，預(yù)測(cè)小行星撞擊地球的可能性是： 50年內(nèi)不會(huì)發(fā)生 50年后，即使有小

7、行星撞擊地球的可能性，那時(shí)侯人類的科技手段一定能夠阻止災(zāi)難的發(fā)生。7/11/202218習(xí) 題 課第二類Lagrange方程7/11/202219第二類拉格朗日方程的總結(jié) 對(duì)于具有完整理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，若系統(tǒng)的自由度為k，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：其中：T：為系統(tǒng)的動(dòng)能，V：為系統(tǒng)的勢(shì)能：為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) 的非有勢(shì)力的廣義力當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時(shí)，有：1：若系統(tǒng)存在循環(huán)坐標(biāo) ，則：2：若系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t，則：7/11/202220習(xí) 題 課例：系統(tǒng)如圖所示，已知： 為彈簧原長(zhǎng)。 求滑塊的拉格朗日方程首次積分。解：系統(tǒng)（滑塊）的廣義坐標(biāo)為q拉格朗日函數(shù) 中不顯含時(shí)間t則Lagrange方程

8、有廣義能量積分-T0為牽連慣性力的勢(shì)能7/11/202221習(xí) 題 課例：系統(tǒng)如圖所示，求系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程；維持AB勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng)所需的控制力偶M。已知： 為彈簧原長(zhǎng)。解：系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為當(dāng) 時(shí)問(wèn)題：該題還可以用什么方法求解？7/11/202222習(xí) 題 課例：在圖示機(jī)構(gòu)中，均質(zhì)圓盤(pán)在地面上純滾動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤(pán)連接。初始時(shí)，桿水平，系統(tǒng)靜止。求系統(tǒng)在圖示位置時(shí)，桿的角速度、角加速度以及A點(diǎn)的速度和加速度；。AB=LAB解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有勢(shì)力 7/11/202223習(xí) 題 課當(dāng)：上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：（1）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：7/11/202224習(xí) 題 課例： 在圖示機(jī)構(gòu)中，均質(zhì)圓盤(pán)在地面上純滾動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤(pán)連接。圖示瞬時(shí)系統(tǒng)初速度為零。求該瞬時(shí)地面的約束力。AB=L，RAB解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有勢(shì)力 7/11/202225習(xí) 題 課求地面的法向力: 研究整體求摩擦力: 研究圓盤(pán)AB7/11/202226習(xí) 題 課例：系統(tǒng)如圖所示，不計(jì)質(zhì)量的繩索繞在均質(zhì)圓盤(pán)上（無(wú)相對(duì)滑動(dòng)），另一端懸掛在A點(diǎn)。求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。關(guān)鍵問(wèn)題：求系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能P7/11/202227習(xí) 題 課例：系統(tǒng)如圖所示，均質(zhì)圓盤(pán)可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)質(zhì)量的繩索繞在圓盤(pán)上（無(wú)相對(duì)滑動(dòng)），另一端與小球A（視為質(zhì)點(diǎn)）連接，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知：m, r，Jo問(wèn)題：系統(tǒng)有幾個(gè)自由度？